概率论课件

别为0.7，0.2，0.1。一位顾客欲购买一箱产品，在购买时，营 业员随机地取一箱，而顾客从中任取4只检查，若无次品，则
买下该箱产品，否则退货，求:
1）顾客买下该箱产品的概率； 2）已知顾客买下一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？
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例6 袋中N个球，其中红球个数从0～N等可能，每次从中
任取1球，观察其颜色后放回，如此重复了k次。结果k次 都观察到红球，问袋中全是红球的概率。
为在条件A下，事件B发生的（条件）概率。
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注意：
（1）条件概率也是概率，所以满足概率的6条性质 。
（2）一般的，概率与条件概率之间没有必然的大小关系。
若 A B , 则 有 P (B | A) P (B )
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例1。设10件产品中有2件次品，8件正品。现 每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求 下列事件的概率。
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B, B A A B
（2）并 定义：事件A，B至少有一个发生，称为事 件A与B的并（或和），记为A∪B或 A+B
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(3)交 定义：事件A，B同时发生，称为事件A与B 的交（或积），记为A∩B（或AB）。 (4)对立(逆) 定义：若A∪B＝Ω ，AB＝Ф，则称A、B为 相互对立的事件（简称互逆），事件A 的逆事件记为 A 。 (5)差 定义 ：事件A发生而事件B不发生称为A与B 的差。记为A－B。 A B A B
mA n
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例1 盒中有a个黑球，b个白球，从中分不放回 和有放回地抽取n个球，求 事件A：“刚好取到k个黑球”的概率。
例2(抽签的公平性) 盒中有a个黑球，b个白球， 每次任取1个球（不放回），求 事件A：“第k（1≤ k ≤ a＋b）次取到黑 球”的概率。
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例3 一盒中含有N－1个黑球，一个白球，每次从盒中随机地取 一只球，并还入一只黑球，这样继续下去，求事件A：“第k次
推论：“加奇减偶原则”
n
P ( Ai )
i 1

n
P ( Ai )
i 1
1 i j n

P ( Ai A j )
1 i j k n

P ( Ai A j A k ) ( 1)
n 1
P ( A1 A 2 A n ).
性 质 5 . ( 减 法 公 式 ) 对 任 意 事 件 A , B ， P ( B A ) P ( B ) P ( A B ). 有 性 质 6. 单 调 性 ）若 A B， 则 有 P ( A ) P ( B ). （
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2、全概率公式与贝叶斯公式
设Ω为随机试验E的样本空间， 1 , A2 ,, An为 A , 样本空间的一个划分。则：

(1)全概率公式：P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 1
(2)贝叶斯公式：P( Ai B)
P( A ) P( B A )
i 1 i i
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（1）前两次均取到次品 （2）第一次、第二次取到次品 （3）已知第一次取到次品的条件下第二次也取到次品
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例2：有10个产品，其中4个是次品，从中不
放回的抽取2个，已知取出的一个是次品的
条件下另外一个也是 次品的概率。
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1.4.2 概率的乘法公式
定理：两个事件的交的概率等于其中一个事件的概率与另

P( Ai ) P( B | Ai )
例4、 设有一箱同类型的产品是由三家工厂
1 所生产的，已知其中有 的产品是由第一家 2
1 工厂生产的，其它二厂各生产 ；又知第一 4 第二两厂生产的有 2％是次品，第三家工厂
生产 的有4％是次品，现从箱中任取一件产 品，问拿到的是次品的概率为多少？
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例5 产品整箱出售，每箱20个。各箱有0，1，2个次品的概率分
i 1
29
n
例3：把3个球随机地放到4个盒子中，A表示有 球盒子的最小号码为3，求P(A)。
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1.4.3
全概率公式、贝叶斯公式
1、划分：设Ω 为随机试验E的样本空间，
A1 , A2 ,, An 为E的一组事件，若
（1）
Ai Aj .
(i j )
（2） A1 A2 An 则称 A1 , A2 ,, An 为样本空间的一个划分。
事件称为该试验的随机事件（简称事件） 通常用大写字母A、B、C等表示。
基本事件：试验E的每一种可能的结果称为一个基本事
件 ，一般用ω 表示。
样本空间：基本事件的全体组成的集合称为该试验的样本空间。
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必然事件：每次试验中必然发生的事件称为 必然事件，记为Ω。 不可能事件：每次试验中不可能发生的事件 称为不可能事件，记为Φ。
随机试验一般用字母E表示。
4
例1 E1：掷一枚硬币，观察其正面（H）和反面（T） 出现的情况。
例2 E2：从含有2个黑球和3个白球的盒子中任意地取出3个球，
观察取出的球的颜色组合。
例3
E3：记录某网站在1分钟内的点击次数。
例4
E4：观察某厂生产的灯泡的使用寿命t。
5
1.1.2 随机事件 随 机事件 ： 随 机 试 验 E 中 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的
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例1、在一个口袋里装有红、黄、白三种球， 每种球都不止一个，一次任取两个球，观察 它们的颜色。设A＝{两个同色球}，B＝{至少
一个红色球}，问A∪B由哪些基本事件组成？
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例2、设A、B、C为三个事件，试将下列事件用A、 B、C表示出来。 （1）三个事件都发生；
（2）三个事件都不发生；
（3）三个事件至少有一个发生； （4）A发生，B、C不发生； （5）A、B都发生，C不发生； （6）三个事件中至少有两个发生； （7）不多于一个事件发生 ； （8）不多于两个事件发生。
授课教师：王峰
第一章 随机事件及概率
随机事件 随机事件的概率 等可能概型 条件概率 事件的独立性

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§1.1 随机事件 1.1.1 随机试验
随机现象：在一定条件下，事先不能断定会出
现哪种结果，这种现象称为随机现象。
例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情况。
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随机试验必需满足：
（1）在相同条件下，可以进行大量重复试验。 ――可重复性 （2）每次试验中可以出现不同的结果，但不能 预知发生哪种结果。――偶然性 （3）试验中可以预知一切可能出现的结果。 －－必然性（统计规律性）
（1）非负性：
（2）规范性：
P( A) 0 P ( ) 1
（3）可列可加性： A , A2 ,, An , 1 是互不相容的事件，则有：
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
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概率性质
性 质1 . 不 可 能 事 件 的 概 率 为 0 ， 即 P ( ) 0 .
n n
性 质 2.有 限 可 加 性 : A1 , A 2 , , A n 互 不 相 容 ， 则 有 P ( Ai )
i 1
Hale Waihona Puke P ( Ai )i 1
性 质 3. ( 对 立 事 件 概 率 ) P ( A ) 1 P ( A ).
性 质 4. ( 加 法 公 式 ) 对 任 意 两 事 件 A， B 有 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ).
取到黑球”的概率。
( N 1) k 1 P( A) 1 P( A) 1 k N
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§1.4 条件概率与乘法公式 1.4.1 条件概率
在实际问题中，有时还要考虑在“已知事件A 发生”的条件下，事件B发生的概率。 P 称为条件概率，记为 ： ( B A )
定义：A，B两个事件，P(A)>0，称 P( AB) P( B | A) P( A)
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(6)互不相容
定义：若事件A、B不能同时发生，即AB＝Ф， 则称事件A、B是互不相容的事件。 结论：互不相容事件没有公共的基本事件。 任何两个基本事件都是互不相容的。 A、B互逆 A、B互不相容 A、B互不相容； A、B互逆。
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（7）事件的运算规律
交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC) 分配律：(AB)∪C＝(A∪C)· (B∪C) ， (A∪B)C＝(AC)∪(BC) 德摩根公式 A B A B （对偶公式） A B A B
f n ( Ai )
i 1 m m

f n ( A i )。
i 1
说明
1）事件A发生的可能性愈大等价于其频率愈大； 2）频率有稳定性，即当n很大时，频率在一个常 数值附近摆动。
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1.2.2 概率的定义
（1）概率的统计定义
定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验
中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的
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§1.2 随机事件的概率 1.2.1 事件的频率
定义：如果在n次重复随机试验中，事件A发
nA 生了nA次，那么就称比值 f n ( A) 为事件A n
发生的频率，其中nA称为在这n次试验中A发
生的频数。
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频率的性质： （1）对任意事件A，0 f n ( A) 1 。
（2） f n () 1 。 （3）对任意有限多个互不相容的事件A1,A2,…, Am , 有
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注 意
（1）样本空间的构成是由试验的条件和观察的目的 所决定。
（2）基本事件是事件的一种，一般的事件是由若干 个基本事件共同组成的，因而是样本空间的子 集，通常又称其为复合事件。 （3）随机事件的另一个定义：样本空间Ω 的某个子