研究背景及意义
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特征值与特征向量的应用
矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用。因此研究特征值问题的应用具有重要价值。
应用一 特征值与特征向量在处理数学问题中的应用
例1 设k 阶线性循环数列{n x }满足递推关系:
n x =1c 1n x -+2c 2n x -+…+k c n k x -, (n=k+1,k+2,…)其中i c (i =1,2,…k)是常数,且k c ≠0。
方程组 1122112211
n n n k n k n n n n n k n k x c x c x c x x x x x x x --------+-+=+++⎧⎪=⎪⎪
=⎨⎪⎪=⎪⎩…………… 可表示为矩阵形式：
121n n n n k x x x x ---+⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
= 12112100001000010k k n n n k c c c c x x x ----⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪⎝⎭ ⎪⎝
⎭
(4)
令
1n k X -+=121n n n n k x x x x ---+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
…，A=12
110
0001
00001
0k k c c c c -⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,n k X -=12n n n k x x x ---⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭… 则(4)可写成：
1n k X -+n k AX -= (5) 由(5)式递推得 1n k X -+=2A 1n k X --=…=A n k -1X (6) 其中1X =[]121,,,,T
k k x x x x -…，于是求通项n x ,就归结为求1n k X -+，也就是求
A n k -。
如果A 可对角化，即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1.则n k A -=1--ΛP P k n ,
由于
E A λ-=1100c λ--... 210c λ--... (10)
01
k c ---… 00k c λ-…
从第一列开始每一列乘以λ加到后一列上，就得到如下行列式：
2121112111100001000
1
k k k k k k
c c c c c c c λλλλλλλ---------------……………………………
111k k k k c c c λλλ--=----…
若λ是A 的特征值，显然有()1R E A k λ-=-
，则齐次线性方程组()
0E A X λ-=的基础解系中只含有一个向量。
因此当A 有k 个特征值12,,,k λλλ…时，这k 个特征值对应的特征向量分别为12,,,k P P P …，由这k 个特征向量为列构成的方阵记为P ，则P 是可逆的，并且1P AP -=Λ．
其中 12
000000
k λλ
λ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥Λ=⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
例1 设数列{}n x 满足递推关系：
12322n n n n x x x x ---=+- （4n ≥），并且11,x = 22,x =- 33,x = 求通项n x
解： {}n x 是三阶循环数列，将方程组 123
112
222n n n n n n n n x x x x x x x x
-------=+-⎧⎪
=⎨⎪=⎩用矩阵表示为：
11223212100010n n n n n n x x x x x x ------⎡⎤⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎢⎥= ⎪⎢⎥⎢⎥
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
， 令 212100010A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并由上式递推得：
1232312321234n n n n n n n n n n x x x x x A x A x A x x x x x ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
…，其中 11,x = 22,x =- 33x =。 由E A λ-=0，即 210λ--11λ--2
0λ
=32220λλλ-+-=，
得A 的特征值为：11,λ= 21,λ=- 32λ=。
再由特征方程()()01,2,3i E A X i λ-==解得对应于A 的特征值123,,λλλ线性无关的特征向量分别为：
111,1P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 211,1P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3421P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
令 []123114,,112111P P P P ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ 则 1
3361132,6202P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1100010,002A P P -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪
⎝⎭
3
3
1100010002n n A P P ---⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
=()()()3213231213126312n n n n n n -----⎡-+-+⎢⎢-+-+⎢⎢-+-+⎣ ()()()321331331331n n n --------- ()()()3
21
32621262126212n n n n n n -----⎤+--⎥
⎥+--⎥⎥+--⎦
代入（6）式得： ()()
()()()()
333
321131233162126n n n n n n x x x x ---⎡⎤=
-+-++--++--⎣
⎦
=()311911126n n -+⎡⎤-+-+⎣⎦=()3
1311212263
n n ---+-+⋅