经典的小船渡河问题与绳子拉船问题

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小船渡河问题

例1 一条宽度为L的河,水流速度为为v水,已知船在静水中的航速v船,那么

(1)怎样渡河时间最短?

(2)若v水<v船,怎样渡河位移最小?

(3)若v水>v船,怎样渡河船漂下的距离最短?

【分析与解答】:

(1)如图1—1所示,设船的航向与河岸成任意角θ斜向上,这时船速在y轴方向上的分速度为v y=v船sinθ,渡河所需的时间为L/v船sinθ

可以看出:在L、v船一定时,t随sinθ增大而减小;当θ=900时,sinθ=1,最大,即船头与河岸垂直时,渡河时间最短,且t min=L/v船

(2)如图1—2所示,渡河的最小位移即河的宽度L,要使渡河位移等于L,必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直。此时船沿河岸方向的速度分量v x=0,这时船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ,即v水-v船cosθ=0,θ=arccosv水/v船

因为0≤θ≤1,所以只有在v水<v船时,船才有可能垂直河岸横渡。

(3)则不论船的航向如何,总要被水冲向下游,怎样才能使船的航程最短呢?如图1—3所示,设船头(v船)与河岸成θ角,合速度(v)与河岸成α角,可以看出:α角越大,船到下游的距离x越短。那么,在什么条件下,α角最大呢?请看可见,以v水的矢尖为圆心,为半径画圆,当与圆相切时如图1—4,角最大。此时sinα=v船/v水,船的最短航程为s=d/sinα=dv船/v水

可见,正交分解是解决渡船问题的一种比较好的方法

绳子拉船问题

一个速度岸矢量运算法则分解为两个分速度,可以有无数组解,但若与实际情况不服,则所得分速度就毫无物理意义。所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解。常用的思想方法有两种:

一种思想是现虚拟合运动的一个位移,看看这个位移产生了什么效果,从中找到运动分解的办法;

另一种思想方法实现确定合运动的速度方向(这里有一个简单的原则:物体的实际运动方向就是合速度的方向),然后分析有这个合速度所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向。

例2:如图2-1所示,用绳牵引小船靠岸,若收绳的速度为v1,在绳子与水平方向夹角为α的时刻,船的速度v有多大?

【分析与解答】:方法一:虚拟小船在Δt时间内从A移过Δs到达C如图2—2所示,这个运动可设想为两个分运动所合成:先被绳拉过Δs1到B,再随绳绕滑轮O点做圆周运动到C点,位移为Δs2

因为OB=OC,∠OBC=β=(180-Δθ)/2

若Δt很小很小,Δθ→0,则β→900,即Δs2与Δs1垂直,此时有Δs1=Δscosα,也就是Δs1/Δt=(Δs/Δt)cosα,则v1=vcosα,v=v1/cosα。

方法二:船的速度v的方向就是合运动的速度方向。由于这个v产生两个效果:一是使绳系着小船的一端沿绳拉方向以速率v1运动;二是师生的这段绕滑轮做顺时针方向的圆周运动,那么合速度v应沿着绳子的牵引方向和垂直于绳子的方向分解如图2—3所示,从图中可知:

v=v1/cosα.

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