0_3 格林公式

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常见错误：
ydx xd y L 2(x2 y2 )
(Q P) d xd y 0 D x y
错误原因：P、Q及其一阶偏导数在（0，0）点没有 意义，故不能直接利用格林公式。
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例3. 计算
a
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2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令 P 0, Q xe y2 , 则
y
B(0,1)
4 l
4D

xd y ydx l x2 y2
提示: x2 y2 0时 (1) Q P

1 4
l
x
d
y

yd
x

1 4
D
2
d
x y (2) Q P
2
x y
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备用题 1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
则有

D

Q x

P y
d xd
y


L
Pd
x

Qd
y
( 格林公式 )
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1

(
x) a

y x


b
2
(
x)
y d
E
AD B
cC oa bx
则
ydx xd y
Q P
( )d xd y LL1 2(x2 y2 ) D x y

D
(
Q x

P y
)
d
xd
y

0

ydx xd y L 2(x2 y2 )
Q P
ydx xdy
( )d xd y
D x y
L1 2(x2 y2 )
其中L为：
（1）任一简单闭曲线包围的区域不含有原点 ； （2）以原点为圆心的任一圆周。
解: 由题意
P、Q在不含原点的任意区域内具有一阶连续偏导数。
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（1）这个曲线积分与路径无关，所以
（2）由这一圆周所包围的区域内含有原点，因此， 不满足定理2及格林公式的条件，只能直接计算，这 一圆周L的参数方程为
到点 (0,a) 的半圆, 计算
y2 dx ax 2y ln(x
C a2 x2
y
a2 x2 ) dy
C
D
a
C ox
a
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 .
原式 =

CC C

D


2y a2
x2

d
xd
y
a (2y ln a) d y
(sin x y2 ) dx (e x 2xy) d y 0 L
证: 由题意 P sin x y2, Q ey 2x y,
则
利用格林公式 L 2xy dx x2 dy 0dx dy 0 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.分段光滑正向曲线 L围成 区域 D，证明 D的面积
y D2 D1 L
Dn
o
x
n

Pdx Qdy
k 1 Dk
(Dk 表示 Dk的正向边界)
L Pdx Qdy
证毕
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格林公式:

D

Q x

P y

d
xd
y


L
P
dx

Q
d
y
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 取正向，证明
x x0 x x0
同理可证 u Q(x , y), 因此有 d u P dx Q dy
y
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证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得 du P dx Q dy
则 u P(x, y), u Q(x, y)
0
r2
cos2 r 2 sin2
r2
d

2
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 ,函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D内 任一按段光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L 与路径无关, 只与起止点有关.
与路径无关,有函数
B(x, y ) C(x x, y )
A(x0 , y0 )
则 xu u(x x, y) u (x, y)

(xx , (x, y)
y)
Pd
x

Qd y

xx
x
P(x,
y)d
x
P(x x, y)x
u lim xu lim P(x x, y) P(x , y)
A


D
dxdy

1 2

L
xd
y

y
dx
并计算椭圆 x a cos , y b sin所围图形的面积A。
证: 由题意 P y, Q x, 则
利用格林公式 A 1 2dxdy 1 xd y y dx
2D
2L
取
则 A 1 2 (ab cos2 ab sin2 ) d ab
(3)
是D 内某二元函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q dy
(4) P Q y x
在 D 内恒成立。
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证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数

x
0dx x
1
y dy 0 x2 y2
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或

y dy 0 1 y2
arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) o (1,0) ( x,0) x
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补充例题1：计算
20
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例3. 计算
其中L 为上半
圆周
y
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
L D
o
Ax
解: 为利用格林公式, 添加 AO与L 围成区域D ,
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA
。
(0,0)
( x,0)
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例6. 验证
x
d x
y
2

y y
d
2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x y2
则
P x

y2 x2 (x2 y2)2

Q y
( x 0 ) o (1,0)
其中C为单位圆周的正向.
解: 因C包围的区域中有洞(0,0)，则不能用格林公式。
如果直接用曲线C的参数方程
则
积分比较繁琐，利用环绕同一些洞闭曲线（同方向）
的积分相同，来计算就比较方便，取椭圆
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例4. 计算 其中
解:
顺时针.
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x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,
从而在D内每一点都有 P Q y x
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证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D
(如图) , 因此在 D上 P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
L Pd x Qd
注意：利用L的方程简化被积函数。
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内容小结
1. 格林公式
L Pd x Qd y

D

Q x

P y

d
x
d
y
2. 等价条件
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
P d x Q d y 在 D 内与路径无关. L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L
§10.3 格林公式及其应用 第10章
一 、格林公式 三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
域 D 边界L 的域正) 向: 域的内部靠左
L D
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数
在 D 上具有连续一阶偏导数,
L1
L2
L2
B
A
L1
L1L2 Pdx Qd y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
AB
A
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证明 (2)
(3)
在D内取定点
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
2
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例2. 计算 沿逆时针方向。
解: 由题意
其中
适当选取 r 0, 作圆周 L1 : x r cost, y r sin t
y
oL1 1
L x
D1
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使L1包含在L的内部，并取L1的方向为顺时针,则P、Q
在L、L1所包围的区域 D内有连续的一阶偏导数，且 L、L1构成D的边界，由格林公式
(x,y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y
( x0 , y0 )
x
y

x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
y
x
y0 x0 x
或 u (x, y)
y0 Q(x0 , y)dy
P(x, y)dx
x0
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D

Q x
P y
d xd y

L Pdx
Qdy
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2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
D
Q x

P y
d xd y
n

Q P dxdy
k 1 Dk x y
y

D (
Q x
Q x
)d xd y

0
证毕
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说明:根据定理2 , 若在某区域内
P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy 在域 D 内的原函数:
取定点 ( x0, y0) D 及动点 ( x, y ) D, 则原函数为
例5. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证: 设 P xy2 , Q x2 y, 则 P 2xy Q
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du xy2 dx x2 ydy
(x, y) 。

x
x 0 dx
y x2y dy
0
0
y x2 y dy 0
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q dy
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思考与练习
设
y 2
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ?
DL o 1 2x

பைடு நூலகம்
xd y 4ydx l x2 y2
1 x d y 4 y d x 1 5d 5
4 dxd y 4 x2 dx 64 8
D
0
3
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例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 由题意
若 x2 y2 0
设 L 所围区域为D,若 (0, 0) D
利用格林公式
y L
ox
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Q dxdy
D x
d
dy
c
2 ( y) Q dx 1(y) x

d
c Q( 2 ( y), y ) dy
d
c Q(1( y), y ) dy
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Q(x, y)d y Q(x, y)dy
CBE
EAC
即
①
同理可证
②
①、②两式相加得:
若 (0, 0) D , 在D 内作 l : x2 y2 r2 取逆时针方向,
记 L 和 lˉ 所围区域为 D1, 对 D1 利用格林公式 ,

xdy ydx l x2 y2

xdy ydx
Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
y
lL
o
x
D1

2