向量的概念及表示(公开课)
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《向量概念》课件
混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合 积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无 关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为 向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量 的空间关系。具体来说，当三个向量 构成一个右手坐标系时，它们的混合 积为正；如果构成左手坐标系，则混 合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换 律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺 序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具 有重要的作用。
向量的概念公开课
相等的所有向量； （ 1）写出 相等的所有向量； ）写出AB相等的所有向量 共线的所有向量； （2）写出 共线的所有向量；A ）写出AB共线的所有向量 的关系。 （3）试找出 ）试找出AB,BC,AC的关系。 的关系 E D B
C
作业: 作业
p98
习题
第1，3题 ， 题
2.1向量 2.1向量
例1
如图， 是正六边形ABCDEF的中心，分别写出 的中心， 如图，设O是正六边形 是正六边形 的中心 图中与向量OA、OB、OC相等的向量。 相等的向量。 图中与向量 、 、 相等的向量 B A C D O E F
解 OC=AB=ED=FO。 。
OA=CB=DO=EF； ； OB=DC=EO=FA； ；
2.1
3.几类特殊的向量 几类特殊的向量
向量
1。零向量： 长度为 的向量叫做零向量。记作 0 。零向量 长度为0的向量叫做零向量。 的向量叫做零向量 零向量方向是任意的。 零向量方向是任意的。 2。单位向量：长度为 个单位长度的向量叫作单位向量 。单位向量 长度为1个单位长度的向量叫作单位向量 B A C 。 o 3。平行向量： 方向相同或相反的向量叫作平行向量。 。平行向量 方向相同或相反的向量叫作平行向量。 如图：就为一组平行向量，记作 图 就为一组平行向量，
2.1 向量
A B
思考1 若把例2中第 ）问改为AB=0.5DC， 中第（ 思考 若把例 中第（1）问改为 ，
四边形ABCD的形状又会是怎样的呢？ 的形状又会是怎样的呢？ 四边形 的形状又会是怎样的呢 D C
思考2 如图 四边形ABCD与ABDE都为平行四边形 如图， 思考 ：如图，四边形 与 都为平行四边形
2.1
B O A
C
作业: 作业
p98
习题
第1，3题 ， 题
2.1向量 2.1向量
例1
如图， 是正六边形ABCDEF的中心，分别写出 的中心， 如图，设O是正六边形 是正六边形 的中心 图中与向量OA、OB、OC相等的向量。 相等的向量。 图中与向量 、 、 相等的向量 B A C D O E F
解 OC=AB=ED=FO。 。
OA=CB=DO=EF； ； OB=DC=EO=FA； ；
2.1
3.几类特殊的向量 几类特殊的向量
向量
1。零向量： 长度为 的向量叫做零向量。记作 0 。零向量 长度为0的向量叫做零向量。 的向量叫做零向量 零向量方向是任意的。 零向量方向是任意的。 2。单位向量：长度为 个单位长度的向量叫作单位向量 。单位向量 长度为1个单位长度的向量叫作单位向量 B A C 。 o 3。平行向量： 方向相同或相反的向量叫作平行向量。 。平行向量 方向相同或相反的向量叫作平行向量。 如图：就为一组平行向量，记作 图 就为一组平行向量，
2.1 向量
A B
思考1 若把例2中第 ）问改为AB=0.5DC， 中第（ 思考 若把例 中第（1）问改为 ，
四边形ABCD的形状又会是怎样的呢？ 的形状又会是怎样的呢？ 四边形 的形状又会是怎样的呢 D C
思考2 如图 四边形ABCD与ABDE都为平行四边形 如图， 思考 ：如图，四边形 与 都为平行四边形
2.1
B O A
向量的概念及表示(公开课)
|= 。
思考：观察上图中的向量，我们可将其分为模为 和 两类；你能否将这些向量按照“方向”进行分类？
三、向量的关系
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
数量
向量
１、向量的定义：既有大小又有方向的量。
一．向量的相关概念
学生活动
判断下列说法是否正确: 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量. 错误,因为温度没有方向. 坐标平面上的x轴和y轴是向量. 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
“大小”和“方向”是向量的两个重要方面！
1 零向量是没有方向的向量。 2 若 ，则 。
巩固练习
（1）与 相等的向量为 ；
（2）与 共线的向量为 ；
（3）与 的模相等的向量为 ；
单位向量
平行向量 （共线向量）
向量的概念
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量。 大约公元前３５０年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量．向量一词来自力学、解析几何中的有向线段。 最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
思考：观察上图中的向量，我们可将其分为模为 和 两类；你能否将这些向量按照“方向”进行分类？
三、向量的关系
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
数量
向量
１、向量的定义：既有大小又有方向的量。
一．向量的相关概念
学生活动
判断下列说法是否正确: 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量. 错误,因为温度没有方向. 坐标平面上的x轴和y轴是向量. 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
“大小”和“方向”是向量的两个重要方面！
1 零向量是没有方向的向量。 2 若 ，则 。
巩固练习
（1）与 相等的向量为 ；
（2）与 共线的向量为 ；
（3）与 的模相等的向量为 ；
单位向量
平行向量 （共线向量）
向量的概念
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量。 大约公元前３５０年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量．向量一词来自力学、解析几何中的有向线段。 最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
《向量的概念课件》课件
运算性质
混合积满足分配律和双线性性，即$(lambda mathbf{A}) cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (lambda mathbf{B}) cdot (mathbf{C} times lambdamathbf{A}) = (lambdamathbf{C}) cdot (lambdamathbf{A} timeslambdamathbf{B})$。
定义
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的向量积定义为$mathbf{A} times mathbf{B}$， 它是一个向量，垂直于$mathbf{A}$和$mathbf{B}$，其模长为$|mathbf{A}| times |mathbf{B}| times sin theta$，其中$theta$是$mathbf{A}$和$mathbf{B}$之间的夹角 。
向量在几何中的应用
描述方向和角度Biblioteka 向量可以用来表示方向和角度，从而在几何中描述直 线、平面、旋转等基本元素。
解决线性代数问题
向量可以用于解决线性代数问题，如线性方程组、矩 阵运算等。
计算面积和体积
向量可以用于计算几何形状的面积和体积，如平行四 边形、长方体等。
向量在计算机图形学中的应用
描述二维和三维坐标
运算性质
数量积满足交换律和分配律，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$和 $(lambda mathbf{A}) cdot mathbf{B} = lambda (mathbf{A} cdot mathbf{B})$。
向量的向量积
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示等。
混合积满足分配律和双线性性，即$(lambda mathbf{A}) cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (lambda mathbf{B}) cdot (mathbf{C} times lambdamathbf{A}) = (lambdamathbf{C}) cdot (lambdamathbf{A} timeslambdamathbf{B})$。
定义
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的向量积定义为$mathbf{A} times mathbf{B}$， 它是一个向量，垂直于$mathbf{A}$和$mathbf{B}$，其模长为$|mathbf{A}| times |mathbf{B}| times sin theta$，其中$theta$是$mathbf{A}$和$mathbf{B}$之间的夹角 。
向量在几何中的应用
描述方向和角度Biblioteka 向量可以用来表示方向和角度，从而在几何中描述直 线、平面、旋转等基本元素。
解决线性代数问题
向量可以用于解决线性代数问题，如线性方程组、矩 阵运算等。
计算面积和体积
向量可以用于计算几何形状的面积和体积，如平行四 边形、长方体等。
向量在计算机图形学中的应用
描述二维和三维坐标
运算性质
数量积满足交换律和分配律，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$和 $(lambda mathbf{A}) cdot mathbf{B} = lambda (mathbf{A} cdot mathbf{B})$。
向量的向量积
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示等。
《向量的概念及运算》课件
THANKS
感谢观看
详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的 向量积是一个向量C，记作C=A×B， 其长度和方向可以通过外积法则来确 定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直 交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向 量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的 向量积存在时，它们之间的夹角为90度。
向量的数量积定义为两个向量的对应分量相乘，然后求和。具体公式为：$vec{A} cdot vec{B} = a times b cos theta$，其中$vec{A}$和$vec{B}$是向量，$a$和$b$分别是
向量$vec{A}$和$vec{B}$的模，$theta$是两向量的夹角。
向量的数量积的几何意义
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配 律、结合律、交换律等。此外，向量的数量 积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为 零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和 结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是Байду номын сангаас个向 量运算，其结果是一个向量。
向量的表示方法
总结词
向量可以用大写字母表示，如A、B 、C等，也可以用有向线段表示。
详细描述
在数学中，向量通常用大写字母表示 ，如A、B、C等。同时，向量也可以 用有向线段表示，起点在原点，终点 在平面内任意一点。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。
向量混合积的几何意义在于它表示三个向量的空间关 系。具体来说，当三个向量形成一个闭合三角形时， 向量混合积的值为正；当三个向量不形成闭合三角形 时，向量混合积的值为负。
《向量的概念》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（3） AB ；AC ; AD ; | AB | = | AD | ，但方向不同
| AC | = 1 | AD |，方向相同 3
B
AC
D
北 100 m
向量的概念
新知探究 零向量：始点和终点相同的向量(或者是长度为0的向量)
零向量的方向是不确定的，| 0 | ＝0 单位向量：模等于1的向量 ，即 | e | 1
向量的概念
例题精讲
如图，已知四边形ABCD，“ AB DC”是“四边形ABCD为平行
四边形”的什么条件？
D
C
A
B
解：∵ AB DC，即这两个向量的方向相同而且大小相等，AB DC
∴AB=DC且AB∥DC ，∴四边形ABCD为平行四边形，
ห้องสมุดไป่ตู้
反之，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ AB=DC且AB∥DC ，
特殊向量 的表示
名称 零向量 单位向量
印书体
0
e
若a是非零向量，则| a | 0
手写体
0 e
特征 模为零 模为单位1
向量的概念
新知探究 图1中，模相等的向量有哪些？图2中，单位向量有哪些？
B
E
H
c
aD
d
F
b
A
CG
图1
| AB | | GH | 2 2
| CD | | EF | 2
B
b
Aa
向量的概念
目标检测 给出下列命题中，其中正确命题的序号是____③____． ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量 AB 与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 解析：①错误．由|a|＝|b|说明a与b模相等，但不能说明它们方向关系．
| AC | = 1 | AD |，方向相同 3
B
AC
D
北 100 m
向量的概念
新知探究 零向量：始点和终点相同的向量(或者是长度为0的向量)
零向量的方向是不确定的，| 0 | ＝0 单位向量：模等于1的向量 ，即 | e | 1
向量的概念
例题精讲
如图，已知四边形ABCD，“ AB DC”是“四边形ABCD为平行
四边形”的什么条件？
D
C
A
B
解：∵ AB DC，即这两个向量的方向相同而且大小相等，AB DC
∴AB=DC且AB∥DC ，∴四边形ABCD为平行四边形，
ห้องสมุดไป่ตู้
反之，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ AB=DC且AB∥DC ，
特殊向量 的表示
名称 零向量 单位向量
印书体
0
e
若a是非零向量，则| a | 0
手写体
0 e
特征 模为零 模为单位1
向量的概念
新知探究 图1中，模相等的向量有哪些？图2中，单位向量有哪些？
B
E
H
c
aD
d
F
b
A
CG
图1
| AB | | GH | 2 2
| CD | | EF | 2
B
b
Aa
向量的概念
目标检测 给出下列命题中，其中正确命题的序号是____③____． ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量 AB 与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 解析：①错误．由|a|＝|b|说明a与b模相等，但不能说明它们方向关系．
向量的概念及表示(公开课)
向量
向量
向量的表示
向量的大小 (模)
向量的方向
平行向量 共线向量) (共线向量)
零向量
单位向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学, 向量最初被应用于物理学,被称为矢 很多物理量,如力,速度,位移, 量.很多物理量,如力,速度,位移,电 场强度,磁场强度等都是向量. 场强度,磁场强度等都是向量. 大约公元前350 350年 大约公元前350年,古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 向量一词来自力学, 量.向量一词来自力学,解析几何中的有 向线段 向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿 学家牛顿. 大科学家牛顿.
共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 相反向量 : 长度相等 且方向相反的向量 叫做相反向量. 记作: 叫做相反向量. 记作: a
思考: 思考:
1,若两个向量相等,则它们的起点和终点 ,若两个向量相等, 分别重合吗? 分别重合吗? 2,向量 AB 与 CD 是共线向量,则A,B, 是共线向量, , , , C,D四点必在一直线上吗 C,D四点必在一直线上吗? 四点必在一直线上吗? 3,平行于同一个向量的两个向量平行吗? ,平行于同一个向量的两个向量平行吗? 4,若四边形 若四边形ABCD是平行四边形,则有 是平行四边形, 是平行四边形 A AB = DC 吗? B
学生活动
a
(1),如上图,设图中小正方形的边长为1,则| a |= ),如上图 设图中小正方形的边长为1 如上图,
.
(2),请在上图中画出与| a |相等的向量(要求所画向量的 请在上图中画出与| |相等的向量 相等的向量( ),请在上图中画出与 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). (3),请在上图中画出模为| a |的2倍的向量. 请在上图中画出模为| |的 倍的向量. ),请在上图中画出模为 思考:观察上图中的向量,我们可将其分为模为 2 和 2 2 思考:观察上图中的向量, 两类;你能否将这些向量按照" 进行分类? 两类;你能否将这些向量按照"方向"进行分类?
向量概念公开课课件
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点的轨迹是什么图形？
向量之间的关系：
1.平行向量的定义： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 我们规定：零向量与任一向量平行，即 0 // a
b
a
c
记 做：// b // c a
e
f
那么e与 f 之间是什么关系？
相等向量一定是平行向量吗? 平行向量一定是相等向量吗?
向量相等
向量平行
向量之间的关系：
3.共线向量与平行向量的关系：
a// b// c
c
b
a
a,b,c为 共 线 向量
B O A C
l
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
例1 第二次龟兔赛跑：兔子因为贪玩而忘记了两点之间线段 最短，走了弯路。但聪明的乌龟由起点A向东南方向前进100米 直达终点B。乌龟获胜。 请用有向线段表示下列向量 （1）乌龟的位移 （用1cm表示50m) （2）1千克乌龟所受的重力。(用1cm长度表示5N)
（3）任一向量与它的相反向量 (长度相同,方向相反的向量)不相等.
（1）若两个向量在同一条直线上， 那么这两个向量是什么向量？ （2）共线向量一定在一条直线上吗？ （3） 若a // b , b // c , 则a // c 成立吗？
设O为正△ABC的中心，则向量AO，B0，CO是 （ B ） A.相等向量 B.模相等的向量 D.共起点的向量
（ 3.向量AB的大小： 指向量AB的长度 或称为 模 ） 记作： | AB | 两个特殊向量：
零向量：
长度为0的向量称为零向量
记作： 0 |0|= ? 0
《向量的概念与表》课件
《向量的概念与表示》PPT 课件
目录
• 向量的基本概念 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01
向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，表 示为有向线段。
详细描述
向量是数学中一个基本概念，表示为 有向线段，由起点、终点和方向确定 。向量的大小或模表示其长度或大小 ，而方向则由起点指向终点。
05
向量的混合积
混合积的定义
混合积
三个向量的有序实数乘积，记作$a cdot b cdot c$，其中$a, b, c$是三个向量。
定义公式
$a cdot b cdot c = |a||b||c| cos theta$， 其中$theta$为向量$a, b, c$之间的夹角。
混合积的几何意义
01
混合积的几何意义：表示三个向 量围成的平行六面体的体积。
02
当混合积为正时，三个向量围成 的平行六面体体积为正；当混合 积为负时，体积为负；当混合积 为零时，三个向量共线。
混合积的运算律
交换律
$a cdot b cdot c = b cdot a cdot c$
结合律
$(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c$
几何意义
向量加法在几何上表示为 平行四边形的对角线，或 者三角形的一条边。
数乘
定义
数乘是标量与向量的乘积 ，结果仍为向量。
性质
数乘满足结合律和分配律 ，即λ(μa)=μ(λa)和 λ(a+b)=λa+λb。
几何意义
数乘在几何上表示为将向 量按比例放大或缩小。
向量加法和数乘的几何意义
目录
• 向量的基本概念 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01
向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，表 示为有向线段。
详细描述
向量是数学中一个基本概念，表示为 有向线段，由起点、终点和方向确定 。向量的大小或模表示其长度或大小 ，而方向则由起点指向终点。
05
向量的混合积
混合积的定义
混合积
三个向量的有序实数乘积，记作$a cdot b cdot c$，其中$a, b, c$是三个向量。
定义公式
$a cdot b cdot c = |a||b||c| cos theta$， 其中$theta$为向量$a, b, c$之间的夹角。
混合积的几何意义
01
混合积的几何意义：表示三个向 量围成的平行六面体的体积。
02
当混合积为正时，三个向量围成 的平行六面体体积为正；当混合 积为负时，体积为负；当混合积 为零时，三个向量共线。
混合积的运算律
交换律
$a cdot b cdot c = b cdot a cdot c$
结合律
$(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c$
几何意义
向量加法在几何上表示为 平行四边形的对角线，或 者三角形的一条边。
数乘
定义
数乘是标量与向量的乘积 ，结果仍为向量。
性质
数乘满足结合律和分配律 ，即λ(μa)=μ(λa)和 λ(a+b)=λa+λb。
几何意义
数乘在几何上表示为将向 量按比例放大或缩小。
向量加法和数乘的几何意义
平面向量---向量的概念及表示 公开课课件
平面向量---向量的概念及表示
问题1：物理中位移和路程有 区别吗？
问题2：物理中位移和路程 怎么表示的呢？
向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量称为向量； 例如位移，速度，加速度，力等。
我们把只有大小没有方向的量称为数量； 例如距离，身高，质量，路程等
思考？
（1）温度计上的刻度有零上也有零下，那么温度是向 量吗？ （2）直角坐标系中的x轴，y轴是向量吗？
向量的大小 （模）
向量的方向
零向量
单位向量 平行向量 （共线向量）
课堂小知识：
向量及向量符号的由来： 向量最初被应用于物理学，被称为矢量，很多物理 量，如力，速度， 位移，电场强度，磁场强度等都是向量。 大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就 知道了力可以表示为向量。向量一词来自力学，解析 几何中的有向线段。 最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿。
注意和0的区别。 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 思考：起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？ 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 注：向量与向量
之间不能比较大 相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。 小。
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 规定：零向量与任一向量平行。 共线向量：任一组共线向量都可以平移到同一直线上。 平行向量就是共线向量，零向量与任一向量共线。
（1）与向量 FE 共线的有:
（2）与向量 DF 的模相等的有：
（3）与向量 ED 相等的有 ：
例3：如图，在4*5方格纸中有一个向量 AB ，分别以 图中的格点为起点和终点作向量，其中与 AB 相等的 向量有几个？长度相等的共线向量有几个？
高一数学人必修课件向量的概念
向量的减法
向量的减法满足三角形法则。即两个向量相减，等于加上 这个向量的相反向量。
向量的数乘
实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。 当实数与向量相乘时，它的长度与这个实数的绝对值成正 比，它的方向与这个实数的符号有关。
空间向量数量积和夹角
向量的数量积
两个向量的数量积是一个实数，记作$vec{a} cdot vec{b}$，它的值等于这两个向量的模 的乘积再乘以它们夹角的余弦值，即$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| cdot |vec{b}| cdot cos < vec{a}, vec{b} >$。
02
性质
数乘满足分配律和结合律，即$(lambda + mu)vec{a} =
lambdavec{a} + muvec{a}$和$(lambdamu)vec{a} =
lambda(muvec{a})$。
03
特殊值
当$lambda = 0$时，$lambdavec{a} = vec{0}$；当$lambda < 0$时
，$lambdavec{a}$与$vec{a}$方向相反。
向量运算性质总结
封闭性
向量加、减、数乘运算的结果仍 是向量。
结合律
向量加法和数乘满足结合律。
交换律
向量加法满足交换律，但向量减 法不满足交换律。
分配律
数乘对向量加法和减法满足分配 律。
03
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理内容
向量的定义
拓展延伸：向量在物理等其他领域应用
向量在力学中的应用
在力学中，力、速度、加速度等物理量都是矢量，可以用向量表示。例如，力的合成与分解、运动的合成与分解等问 题都可以转化为向量的运算问题。
向量的减法满足三角形法则。即两个向量相减，等于加上 这个向量的相反向量。
向量的数乘
实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。 当实数与向量相乘时，它的长度与这个实数的绝对值成正 比，它的方向与这个实数的符号有关。
空间向量数量积和夹角
向量的数量积
两个向量的数量积是一个实数，记作$vec{a} cdot vec{b}$，它的值等于这两个向量的模 的乘积再乘以它们夹角的余弦值，即$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| cdot |vec{b}| cdot cos < vec{a}, vec{b} >$。
02
性质
数乘满足分配律和结合律，即$(lambda + mu)vec{a} =
lambdavec{a} + muvec{a}$和$(lambdamu)vec{a} =
lambda(muvec{a})$。
03
特殊值
当$lambda = 0$时，$lambdavec{a} = vec{0}$；当$lambda < 0$时
，$lambdavec{a}$与$vec{a}$方向相反。
向量运算性质总结
封闭性
向量加、减、数乘运算的结果仍 是向量。
结合律
向量加法和数乘满足结合律。
交换律
向量加法满足交换律，但向量减 法不满足交换律。
分配律
数乘对向量加法和减法满足分配 律。
03
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理内容
向量的定义
拓展延伸：向量在物理等其他领域应用
向量在力学中的应用
在力学中，力、速度、加速度等物理量都是矢量，可以用向量表示。例如，力的合成与分解、运动的合成与分解等问 题都可以转化为向量的运算问题。
向量的概念表示PPT课件
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2.下列说法正确的是 ( A )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
(5)若a //c,b//c,则a //b
（1）错 （2）错 （3）错 （4） 对 （5）错
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2.下列说法是否正确
A.若|a|>|b|, 则a > b×
B.若|a|= 0, 则a = 0 ×
C.若|a|=|b|, 则a = b或a = -b×
D.若a //b, 则a = b ×
E.若a = b, 则|a|=|b|
22有向线段有向线段有有起点起点大小大小和和方向方向三个要素三个要素尽管大小和方向相同只要尽管大小和方向相同只要起点不同起点不同也是不同也是不同的有向线段
一. 向量的定义：
既有大小又有方向的量叫向量.
注意：数量与向量的区别：
数量： 只有大小一个代数量，可以进行代数运算、 能比较大小；
向量： 既有大小又有方向的量，不能ห้องสมุดไป่ตู้较大小.
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例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写
出图中与向量 OA 、 OB 、OC 相等的向量
与OA相等的向量有 B
A
DO, CB.
O
与OB相等的向量有 C
F
EO, DC.
与OC相等的向量有 D
E
F0,ED.AB.
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练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE
2.下列说法正确的是 ( A )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
3.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
(5)若a //c,b//c,则a //b
（1）错 （2）错 （3）错 （4） 对 （5）错
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2.下列说法是否正确
A.若|a|>|b|, 则a > b×
B.若|a|= 0, 则a = 0 ×
C.若|a|=|b|, 则a = b或a = -b×
D.若a //b, 则a = b ×
E.若a = b, 则|a|=|b|
22有向线段有向线段有有起点起点大小大小和和方向方向三个要素三个要素尽管大小和方向相同只要尽管大小和方向相同只要起点不同起点不同也是不同也是不同的有向线段
一. 向量的定义：
既有大小又有方向的量叫向量.
注意：数量与向量的区别：
数量： 只有大小一个代数量，可以进行代数运算、 能比较大小；
向量： 既有大小又有方向的量，不能ห้องสมุดไป่ตู้较大小.
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例2:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写
出图中与向量 OA 、 OB 、OC 相等的向量
与OA相等的向量有 B
A
DO, CB.
O
与OB相等的向量有 C
F
EO, DC.
与OC相等的向量有 D
E
F0,ED.AB.
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练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE
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位移、力、速度、加速度、电场强度等
数量
哪些量只有大小没有方向？
距离、身高、质量、时间、面积等Fra bibliotek学生活动
• 判断下列说法是否正确:
• 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可 以用负数来表示,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向.
• 坐标平面上的x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
D C
例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与 OA、OB、OC 相等的向量。
解：OA=CB=DO=EF
OB=DC=EO=FA OC=AB=ED=FO
C
B
A
O
F
D
E
例2：如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形 A BCMF是平行四边形，请分别写出： （1）与ED共线的向量； （2）与ED相等的向量； （3）与FE相等的向量。
；
E
A
B F O
；
D
C
； ．
（4）向量 AO 与 CO
AO
是否相等？答
练习 1：判断下列命题是否正 确 B (1)向量 AB和向量BA长度相等; (2)方向不同的两个向量一 定不平行; (3)向量就是有向线段 ; (4)向量0 0; (5)向量 AB大于向量CD. 其中正确命题的个数是 B .1 C .2 A.0
解：（1）DE、BF、FB、FA、 AF、CM、MC、AB、BA （2）FB、AF、MC （3）BD、DC、EM F E M
B
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量 中：
（1）与 AO 相等的向量为
（2）与 AO 共线的向量为 （3）与 AO 的模相等的向量为
例2： 在4 5达 到 方 格 中 有 一 个 向 量 AB,以 图 中 的 格 点 为 起 点 和 终 点向 作量 ， 其 中 与 AB相 等 的 向量有多 少 AB长 度 相 等 的 共 线 向 量 多 有 个？与 （ AB 除外 ） 少个？
B
相等的有 7个
A
长度相等 的有15个
思考： AB与BA相同吗？AB 与 BA 相同吗？
建构数学
零向量：长度为 0 的向量，记作
0.
单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量． 思考: • 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向 量,它们终点的轨迹是什么图形?
注意：数学中的向量与物理中的矢量是
有区别的．在数学中我们研究的是仅由大
小和方向确定，而与起点位置无关的向量，
也称为自由向量．
什么是相等向量？
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
a b A4 c a=b=c
A3A2
A1 B2
B1
B4 A1B1=A2B2=A3B3=A4B4
B3
注：1.若向量 a b相等，则记为 a= b ； 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关。
建构数学
三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量 叫做平行向量。 记作：a // b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作：a b.
共线向量： 平行向量也叫做共线向量。 相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量 叫做相反向量。 记作： a
B.3 C .4 D.5
练习3.下列说法是否正确 A.若 | a || b |, 则a b B.若 | a | 0, 则a 0 C.若 | a || b |, 则a b或a b D.若a // b, 则a b E.若a b, 则 | a || b | F .若a b, 则a与b不是共线向量 G.若a 0, 则 a 0
课堂小结
向量
向量
向量的表示
向量的大小 （模）
向量的方向
平行向量 （共线向量）
零向量
单位向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。 • 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。 • 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
◆结论：猫 不能
B
A
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程 只有大小没有方向 数量 标量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向
矢量 向量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
一:向量定义 既有大小又有方向的量叫
向量
向 量
现实生活中还有哪些量既有大 小又有方向？
D.2
练习2：判断下列命题是否正 确 (1)两个向量相等，则它们 的起点相同，终点相同 ; (2)若 | a || b |, 则a b; (3)若 AB DC，则四边形ABCD是平行四边形 ; (4)平行四边形ABCD中，一定有AB DC; (5)若m n, n k , 则m k ; (6)若a // b, b // c, 则a // c 其中不正确命题的个数 是 B A.2
思考：
• 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点 分别重合吗？ • 2、向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、 C、D四点必在一直线上吗？ • 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？ • ４、若四边形ABCD是平行四边形，则有 A AB ＝ DC 吗? B
“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 ！
建构数学
几何表示 向量常用一条有向线段来表示 . Ｎ i : 有向线段的长度表示向量的大小 . f ii: 箭头所指的方向表示向量的方向.
Ｇ
2、向量的表示
字母表示 向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如： AB 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c 来表示; 手写时则可用带箭头的小写字 a, b ,c 母 来表示 .
说明1： 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
B D B D
A
C
A
C
有向线段AB、CD 是不同的。
向量 AB、CD 是同一个 向量。
建构数学
3、向量的大小(模)
向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的 长度(或称 模). 记作 | AB | .
高中数学必修 4
第二章
平面向量
问题情境
请同学们到我家 来做客!
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到老 师家的位置变化，应该用哪个量？ • “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
• 老鼠由A向东方向以每秒6米的速度逃窜,而 猫由B向西北方向每秒10米的速度追. 问猫 能否抓到老鼠? 追上老鼠。 猫的速度再快也没用，因为 方向 错了。 ◆速度是既有大小又有方向的量。