行列式的计算方法

学年论文

行列式的计算方法

姓名：王海洋

学号：902091134

院系：统计与数学学院

专业：数学与应用数学

指导老师：张志远

日期：2012年5月12日

目录

1.定义法

2.化三角形法

3.数学归纳法

4.范德蒙行列式

5.加边法

6.降阶法

7.递推法

8.析因法

9.利用方阵特征值

10.对称法

行列式是研究线性代数的一个重要工具,在线性方程组,矩阵,二次型中用到行列式,在数学其它分支也常常用到行列式,因此行列式的计算显得尤其重要,但行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧。主要有下面几种算法：

1 定义法

根据行列式的定义121212()

12(1)

n n n

j j j n j j nj j j j D a a a τ=

-∑

我们可以利用定义直接计算行列式,其中

11()n j j j τ 是11n j j j 的逆序数.

例1证明111213141521

22232425

31

3241

4251

52

00000000

a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.

证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a

则 12512125

()

12(1)

n j j j n j j nj j j j D a a a τ=

-∑

. （1）

其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列. 故D =0.

注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.

2化三角形法

化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法,是计算行列式最基本的计算方法之一,这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式.

一般而言,对任意行列式都可化为三角形行列式,但是有的行列式化简时非常繁琐,应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简.

例2 计算行列式1231

23413451

21221

n n n n D n n n -=--

.

分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,

后面元素与前面元素相差1,因此先从第1n -列乘-1加到第n 列,第2n -列乘-1加到第1n -列, 这样做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再计算就显得容易.

解 12312341345121221n n n n D n n n -=--

11111

21

111311111111

n n n n

-=--

111111

0002

001000

n

n n n -=--- 120000

10001

20

001

000

n

n n n

n n +++-=

--- 0

000

0001(1)00002

00

n n

n n n n ---=-

(1)(2)

21(1)(1)2

n n n n n ---=- (1)

12(1)(1)2

n n n n n --+=-.

问题推广

在例2中1,2,,n ,这n 个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.

1

1111111111111

1111112(1)23234(1)(3)(2)a a d a d a n d a nd a d a d a d a nd a D a d a d a d a a d a n d

a a d a n d a n d

+++-+++++=

+++++-++-+-

1

111(1)2(1)(1)(1)a d d d

d a d d d d n d a d d d n d d a n d n d d d

d

+-=

+-+--

1

2(1)000a d

d d

d d nd

d nd

n d nd

-=

---

1(1)0

00

02(1)00

d n d a n n

d

nd d nd n d

nd

-+++-=

---

(1)(2)

1

21(1)()()(1)n n n d n d a nd n n

----=+++--

(1)(2)

1112((1))1()()(1)2

n n n n a a n d nd n ---++-=--. 如果将例2中的数11a =，

1d =代入(1)(2)

1

112((1)1()()(1)2

n n n n a a n d nd n ---++-=--结论显然成立. 3数学归纳法

数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性.