判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。
判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。
在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。
下面将介绍一些常用的方法。
1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。
a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。
b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。
c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。
2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。
a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。
b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。
c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。
3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。
a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。
b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。
c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。
4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。
否则称为条件收敛的。
5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。
a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。
以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。
-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。
-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。
2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。
-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。
3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。
4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。
收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。
5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。
- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。
6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。
例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。
通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。
但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。
8.3任意项级数敛散性的判别
ρ <1
ρ >1
收 敛
发 散
3. 任意项级数判别法 概念: 概念 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法 判别法: 判别法
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(1)nun收敛
n=1
∞
作业 13(1)(4)( P287 13(1)(4)(9)(12)
n =1 n =1
∞
∞
×
对正项级数有比较判别法 1 取vn = ( un + un ) ∵ un ≤ un ∴0 ≤ vn ≤ un 2 ∞ ∞ ∞ 故∑ | un |收敛 ∑ vn收敛 ∑ 2vn收敛
n =1 n =1 n =1
而un = 2vn un ∑ un收敛
n =1
性质 2 ∞
发散, 如何? 问题: 问题: 若∑ un 发散, un如何? ∑
n =1
∞
练习 : 一.下列级数是条件收敛还 是绝对收敛 ?
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞
2.∑ ( 1)
n =1
∞
n ( n 1 ) 2
n2 2n
3.∑ ( 1)
n =1
∞
( n 1 )
2n + 1 n( n + 1)
sin n 4.∑ ( 1) n2 n =1
n
∞
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞ ∞ n =1 n =1
∞
x ∈ [1,1) 其他
三.设级数 ∑ an , ∑ cn均收敛 , 且对任意的 n, an ≤ bn ≤ cn ,
证明级数 ∑ bn收敛 .
n =1
判断级数的敛散性的方法
判断级数的敛散性的方法要判断级数的敛散性，我们可以使用不同的方法和定理。
下面我将介绍一些常用的方法和定理。
1. 常比较法：常比较法是判断级数收敛性最常用的方法之一。
当我们需要确定一个级数是否收敛时，我们可以将它与一个已知收敛或发散的级数进行比较。
1.1. 比较法：设a_n和b_n是两个正数列，若对于n＞N，总有a_n≤b_n，则有以下结论：a) 若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也一定收敛；b) 若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也一定发散。
1.2. 极限比较法：设a_n和b_n是两个正数列，若存在正数λ，使得对于足够大的n，总有0≤a_n / b_n ≤λ，则有以下结论：a) 若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也一定收敛；b) 若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也一定发散。
使用比较法时，我们可以通过找到一个已知的收敛或发散的级数，将其与我们需要判断的级数进行比较。
根据比较的结果，我们可以得出结论。
2. 极限判别法：极限判别法是一种通过普遍公式或形式上的特殊处理，通过对级数的极限进行判断来判断级数的敛散性的方法。
2.1. 根值判别法：设a_n≥0，乘幂项是级数常见的形式之一，即∑a_n的n次方。
如果存在正数p 使得lim(n→∞)√n*a_n = a，则有以下结论：a) 若a < 1，则级数∑a_n收敛；b) 若a > 1，则级数∑a_n发散；c) 若a = 1，则极限判别法不能确定级数的敛散性。
2.2. 比值判别法：设a_n≠0，存在lim(n→∞) a_n+1 / a_n = q，则有以下结论：a) 若q < 1，则级数∑a_n绝对收敛；b) 若q > 1，则级数∑a_n发散；c) 若q = 1，则极限判别法不能确定级数的敛散性。
2.3. 积分判别法：对于一些形式上类似于函数积分的级数，我们可以使用积分判别法来判断其敛散性。
设f(x)是一个连续正函数，自变量x在[a, ∞)上连续递减，则有以下结论：a) 若∫(a, ∞) f(x) dx收敛，则级数∑f(n)从n = a到∞收敛；b) 若∫(a, ∞) f(x) dx发散，则级数∑f(n)从n = a到∞发散。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
高数：级数敛散判别法
则称无穷级数收敛;
S un 级数的和
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散 。
n1
rn S Sn
uk
级数的余项。
lim
n
rn
0
无穷级数收敛。
kn1
若un≥0 (n=1, 2, 3, …) , un 正项级数。 Sn是单调增加数列。
n1
正项级数 un 收敛
n1
部分和序列 Sn有界 。
比较判别法
1 n 1
np n1n p dx
n n1
1 xp
dx
1
Sn
1
1 2p
1 3p
1
4p
1
np
1
2nddxx 1 xxpp
231dxxp1pn p11n
dx n1x1p
1 p 1
,
因而 Sn有上界。 由基本定理可知, 当p>1时p级数收敛。
9.2.2 比较判别法
定理2 (比较判别法) 设 un , vn 是两个正项级数, 且
设 un , vn 是两个正项级数, 且存在自然数N,
n1 n1
使当 n>N 时有 un≤kvn (k>0为常数) 成立, 则
(1) 若强级数 vn 收敛 , 则弱级数 un 也收敛 ;
n1
n1
(2) 若弱级数 un 发散 , 则强级数 vn 也发散 。
n1
n1
比较对象
①
p级数
1 np
,
p>1收敛，p<1发散。
证: 因为
1
nn 1
1 n (n 1)
发散 。
1 1 n 1, 2,
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
例 ２ 判别 级数 （
一１ ）的敛 散性 ．
解 此 为 正项 级数 ， 于 一 ｃ 由 ｘ ， 。时
上
Ｔ ／
ｎ
则∑ 发散 。 ．
”一 １
ｇｅ
－
Ｉ－ １ 一 ｅ －
一 ～
＜
．
证 明 若 ≥ 。 ， 等式 （ ）成立 ， 时 不 １ 则
“ ≤ １
．
Ｖ０ ． ３． ． １ １ Ｎｏ ３
Ｍａ ｙ． ２ ０ ０１
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＯｌＬＥ ＥＳ Ｉ Ｃ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
高 等 数 学 研 究
３ ３
判 别 数 项 级 数 敛 散 性 的 一 些 方 法 和 技 巧
王 静 ，谭 康 。 ，任 秀娟 。
解 因为
ｓｎ（ ） ｉ 抛 一 ｎ ｉ ａ ｓｎ
— — — — 一
的敛 散性 ．
ｌ ｎｎ
堡
ｌ ｎ
： ｌ２ ｎ
— １。 ｎ
，
ｉ ｎｎ
ｎ＝ １
（ ＞ １ 的敛 散性． ）
都是 非 负递减 的 ， 当 Ｐ≠ ｌ时 ， 而
ｄ ｘ １ Ｉ ＋
解
因 为
ｘ ｎｘ 一 （ 一 声 １ｐ １ ｌＰ １ ）ｎ－ ２’
当 Ｐ＝ １时 ，
ｌ ｎｎ
：
一
ｌｎ ｎ
ｌ［ｎ １踟 ， ｎ １（ｎ … Ｌ… …… ‘
收敛 ， Ｐ≤ １ 发散 ． 时
Ⅱ ，
例 ５ 判别 级数
解 因 为
“”
一
“夕 ）的敛 散性 ． １
＼
６ 拆 项 法
将 一般 项用 等价 变 形 、 理 化 、 有 三角 基本 公 式等 拆成几 项 之差也 是一 种 常用 方法 ． 例 ７ 判 别级 数
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2
收敛 , p ≤1 时发散 .
例 5 判别级数 解 因为
ln 1
n=1
∑2
a
ln n
n
( a > 1) 的敛散性 .
6 拆项法
将一般项用等价变形 、 有理化 、 三角基本公式等 拆成几项之差也是一种常用方法 .
∞
un = ln n
ln
2n
a ln n
ln n
例 7 判别级数
=
n=1
∑
α ) 2 - nsin α sin ( n
∞
而
n=1
∑n
1
3 2
收敛 , 故由比较审敛法知原级数收敛 .
3 利用泰勒展开式
∞
例 3 判别级数 解 因为
n=1
∑e 1 +
1 +
1
n
n
的敛散性 .
un = e -
1
n
n
=
e - e
1 nln ( 1 + n )
= e - e
1 1 1 n( n - 2 + o( 2 ) ) 2n n
～
1 1 e e[1 - (1 + o( ) ) ] ～ . 2n n 2n
等教育出版社 ,1991 :17 - 19.
[ 4 ] 同济大学应用数学系 . 高等数学 ( 下) [ M ] . 5 版 . 北京 : 高
解 不论 p 为何数 , 当 x 充分大时 , 函数
等教育出版社 ,2002 :194 - 203.
Some Methods and T echniques of T esting the Convergence of A Series
例 4 判别级数 解 因为 1 ln
n=1
∑( lnln n)
1
ln n
( n > 1) 的敛散性 .
都是非负递减的 , 而当 p ≠1 时 ,
∫
2
+∞
dx 1 = p ( 1 - p) ln p- 1 x x ln x
+∞
+ ∞
2
;
当 p = 1 时,
. ∫ dx 仅当 p > 1 时 , ∫ x ln x 收敛. 故原级数当 p > 1 时
WAN G J ing1 , TAN Kang2 , R EN Xiu J uan3
( 1. Mat hematics Depart ment of The Second Artillery Engineering College , Xi’ an , 710025 , PRC ; 2. Wuwei Vocatio nal College , Wuwei , 733000 , PRC ; 3. Wuwei Xiying Hongxing Middle school , Wuwei , 733026 , PRC) Abstract : This paper p resent s several met hods and techniques , including inequalities , Taylor
=
定理 1 [ 2 ] ( 对数判别法) 设 若有α > 0 , 使当 n ≥ n0 时 ,
ln
∞
n=1
∑u
n
为正项级数 ,
1
∞
1 ) 1 1 + ln ( 1 < , n n+1 n n+1
-
1
( 1)
因
n=1
∑( n
1
1
n+1
∞
) 收敛 , 故
n=1
∑( n
1
- ln
n + 1) 收敛 . n
n
2
的敛散性 .
nln2 - ln n ・ ln a n = ln2 - ln a , ln n ln n
解 因为 α ) 2 - nsin α sin ( n
n
2
=
α )2 sin ( n
n
2
-
α sin
n
,
由洛必达法则知
x lim ( ln2 - ln a) = x →+ ∞ ln x
而 α )2 sin ( n
所以原级数发散 .
4 对数判别法
例 1 判别级数
n=1
∑( n
n
1
- ln
n+1 ) 的敛散性 . n
此方法对判别" 幂指型" 或含指数为 " ln n" 的级 数很有效 .
∞
解 利用不等式 ln ( 1 + x ) < x , 有 1 n+1 1 n un = - ln = + ln
n n
n +1
摘
要 基于数项级数敛散性的判别是高等数学的一个难点 , 其判别方法多样 , 技巧性也强 . 结合实例分别 中图分类号 O173. 1
∞
列举了利用不等式﹑泰勒展开式﹑等价量法﹑对数判别法等判别数项级数敛散性的一些方法和技巧 . 关键词 数项级数 ; 收敛 ; 发散 ; 方法 .
数项级数敛散性的判别 , 是高等数学的一个难 点 , 主要因为级数的敛散性直接与数列的极限联系在 一起 , 是高等数学中两个难点的结合 . 其判别方法多 样 , 技巧性也强 , 往往需要多种方法结合使用 , 且经常 用到不等式 、 导数 、 定积分 、 泰勒公式 、 洛必达法则等 . 下面就结合实例例举一些常用的判别方法和技巧 . 1 利用不等式 常用到的不等式有 ln n < n , ln ( 1 + x ) < x , ex > 1 + x , 1 2 2 ab ≤ ( a + b ) . 2
n
∞
2
≤
∞
1
n
2
,
ln2 lim ln2 lim
x
x →+ ∞
ln x
- ln a =
所以
x →+ ∞
1 - ln a = + ∞, 1
x
n=1
∑
α )2 sin ( n
n
2
收敛 ; 而
n=1
∑n
α sin
π时收敛 , , 当α = k
故对α > 0 , 存在 n0 使当 n ≥ n0 时 ,
ln2
1
+∞
题解 ( 四 ) [ M ] . 2 版 . 济 南 : 山 东 科 学 技 术 出 版 社 ,
1999 :2 - 3 ,38 - 41. [ 3 ] 华东师范大学数学系 . 数学分析 ( 下) [ M ] . 2 版 . 北京 : 高
∞
例 6 判别级数
n=1
∑nln
1
p
n
的敛散性 .
1 p x ln x
2 2
+ ∞
un ln [ ( lnln n) ln n ] = = ln [ ln ( ln n) ] , ln n ln n
dx = lnln x p x ln x
p
+ ∞
对α > 0 , 必存在 n0 , 使当 n ≥ n0 时 , ln [ ln ( ln n) ] ≥1 +α, 故原级数收敛 .
un ≥1 +α, ln n
2 等价量法
则
此方法在文献 [ 1 ] 中有例举 , 即用等价无穷小量 代换已有量 , 其特点是简单有效 .
∞
n=1
∑u
n
收敛 ; 若 n ≥ n0 时 ,
ln 1
( 2) un ≤1 , ln n
例 2 判别级数
n=1
∑
( nn
1 2 +1
- 1) 的敛散性 .
∞
解 此为正项级数 , 由于 n → ∞时 , 1 ln n 2 2 ln n 1 n n +1 - 1 = e n +1 - 1 ～ 2 < 3. n +1 n2
Vol. 13 ,No . 3 高等数学研究 May , 2010 STUDIES IN COLL E GE MA T H EMA TICS
33
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
王 静1 , 谭 康2 , 任秀娟3
(1. 第二炮兵工程学院 ,西安 ,710025; 2. 武威职业学院 , 甘肃武威 , 733000; 3. 武威市西营乡红星中学 , 甘肃武威 ,733026)
收稿日期 :2009 - 01 - 11 ; 修改日期 :2010 - 03 - 30 . 作者简介 :王静 (1981 - ) , 女 , 甘肃武威人 , 硕士 , 讲师 , 主要从事代数 学环模论研究 , Email :jdwj7931 @163. com ; 谭康 (1963 - ) ,男 , 广西环江人 , 学士 , 副教授 , 主要从事代 数学研究 , Email : T GM250 @to m. co m.
则
n=1
∑u
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
发散 .
证明 若 n ≥ n0 时 , 不等式 ( 1) 成立 , 则
un ≤
∞
n
α 1+
1
.
由于级数
n=1
∑n
α 1+
1
∞
收敛 , 所以
∞
n=1
∑u
n
收敛 . 同理可证当
不等式 ( 2) 成立时 , 级数
n=1
∑u
n
发散 .
34
∞
高等数学研究 2010 年 5 月
expansio ns , equivalent variables , and logarit hmic criterio n , for testing t he co nvergence of a co nstant2term series.