判别数项级数敛散性的一些方法和技巧

=
定理 1 [ 2 ] ( 对数判别法) 设 若有α > 0 , 使当 n ≥ n0 时 ,
ln
∞
n=1
∑u
n
为正项级数 ,
1
∞
1 ) 1 1 + ln ( 1 < , n n+1 n n+1
-
1
( 1)
因
n=1
∑( n
1
1
n+1
∞
) 收敛 , 故
n=1
∑( n
1
- ln
n + 1) 收敛 . n
收稿日期 :2009 - 01 - 11 ; 修改日期 :2010 - 03 - 30 . 作者简介 :王静 (1981 - ) , 女 , 甘肃武威人 , 硕士 , 讲师 , 主要从事代数 学环模论研究 , Email :jdwj7931 @163. com ; 谭康 (1963 - ) ,男 , 广西环江人 , 学士 , 副教授 , 主要从事代 数学研究 , Email : T GM250 @to m. co m.
摘
要 基于数项级数敛散性的判别是高等数学的一个难点 , 其判别方法多样 , 技巧性也强 . 结合实例分别 中图分类号 O173. 1
∞
列举了利用不等式﹑泰勒展开式﹑等价量法﹑对数判别法等判别数项级数敛散性的一些方法和技巧 . 关键词 数项级数 ; 收敛 ; 发散 ; 方法 .
数项级数敛散性的判别 , 是高等数学的一个难 点 , 主要因为级数的敛散性直接与数列的极限联系在 一起 , 是高等数学中两个难点的结合 . 其判别方法多 样 , 技巧性也强 , 往往需要多种方法结合使用 , 且经常 用到不等式 、 导数 、 定积分 、 泰勒公式 、 洛必达法则等 . 下面就结合实例例举一些常用的判别方法和技巧 . 1 利用不等式 常用到的不等式有 ln n < n , ln ( 1 + x ) < x , ex > 1 + x , 1 2 2 ab ≤ ( a + b ) . 2
所以原级数发散 .
4 对数判别法
例 1 判别级数
n=1
∑( n
n
1
- ln
n+1 ) 的敛散性 . n
此方法对判别" 幂指型" 或含指数为 " ln n" 的级 数很有效 .
∞
解 利用不等式 ln ( 1 + x ) < x , 有 1 n+1 1 n un = - ln = + ln
n n
n +1
n
∞
2
≤
∞
1
n
2
,
ln2 lim ln2 lim
x
x →+ ∞
ln x
- ln a =
所以
x →+ ∞
1 - ln a = + ∞, 1
x
n=1
∑
α )2 sin ( n
n
2
收敛 ; 而
n=1
∑n
α sin
π时收敛 , , 当α = k
故对α > 0 , 存在 n0 使当 n ≥ n0 时 ,
ln2
等教育出版社 ,1991 :17 - 19.
[ 4 ] 同济大学应用数学系 . 高等数学 ( 下) [ M ] . 5 版 . 北京 : 高
解 不论 p 为何数 , 当 x 充分大时 , 函数
等教育出版社 ,2002 :194 - 203.
Some Methods and T echniques of T esting the Convergence of A Series
2 2
+ ∞
un ln [ ( lnln n) ln n ] = = ln [ ln ( ln n) ] , ln n ln n
dx = lnln x p x ln x
p
+ ∞
对α > 0 , 必存在 n0 , 使当 n ≥ n0 时 , ln [ ln ( ln n) ] ≥1 +α, 故原级数收敛 .
un ≥1 +α, ln n
2 等价量法
则
此方法在文献 [ 1 ] 中有例举 , 即用等价无穷小量 代换已有量 , 其特点是简单有效 .
∞
n=1
∑u
n
收敛 ; 若 n ≥ n0 时 ,
ln 1
( 2) un ≤1 , ln n
例 2 判别级数
n=1
∑
( nn
1 2 +1
- 1) 的敛散性 .
∞
解 此为正项级数 , 由于 n → ∞时 , 1 ln n 2 2 ln n 1 n n +1 - 1 = e n +1 - 1 ～ 2 < 3. n +1 n2
1
+∞
题解 ( 四 ) [ M ] . 2 版 . 济 南 : 山 东 科 学 技 术 出 版 社 ,
1999 :2 - 3 ,38 - 41. [ 3 ] 华东师范大学数学系 . 数学分析 ( 下) [ M ] . 2 版 . 北京 : 高
∞
例 6 判别级数
n=1
∑nln
1
p
n
的敛散性 .
1 p x ln x
则
n=1
∑u
n
发散 .
证明 若 n ≥ n0 时 , 不等式 ( 1) 成立 , 则
un ≤
∞
n
α 1+
1Hale Waihona Puke Baidu
.
由于级数
n=1
∑n
α 1+
1
∞
收敛 , 所以
∞
n=1
∑u
n
收敛 . 同理可证当
不等式 ( 2) 成立时 , 级数
n=1
∑u
n
发散 .
34
∞
高等数学研究 2010 年 5 月
∞
而
n=1
∑n
1
3 2
收敛 , 故由比较审敛法知原级数收敛 .
3 利用泰勒展开式
∞
例 3 判别级数 解 因为
n=1
∑e 1 +
1 +
1
n
n
的敛散性 .
un = e -
1
n
n
=
e - e
1 nln ( 1 + n )
= e - e
1 1 1 n( n - 2 + o( 2 ) ) 2n n
～
1 1 e e[1 - (1 + o( ) ) ] ～ . 2n n 2n
例 4 判别级数 解 因为 1 ln
n=1
∑( lnln n)
1
ln n
( n > 1) 的敛散性 .
都是非负递减的 , 而当 p ≠1 时 ,
∫
2
+∞
dx 1 = p ( 1 - p) ln p- 1 x x ln x
+∞
+ ∞
2
;
当 p = 1 时,
. ∫ dx 仅当 p > 1 时 , ∫ x ln x 收敛. 故原级数当 p > 1 时
ln n
- ln a ≥1 +α,
所以原级数收敛 . 5 柯西积分法 定理 2 [ 2 ] 若 f ( x ) ( x > 0) 是非负的不增函数 ,
∞
旦大学出版社 ,1988 :152 - 154.
[ 2 ] 费定晖 ,周学圣 ,郭大钧 ,等 . 吉米多维奇数学分析习题集
则级数
n=1
∑f ( n) 与积分∫f ( x) d x 同敛散 .
n
π 时发散 . 从而可知 , 原级数当 α = k π 时收 当α ≠ k π 时发散 . 敛 , 而当α ≠ k 除此之外 , 判定数项级数敛散性的方法还有高斯 判别法 [ 2 ] , 拉贝判别法[ 3 ] 等 , 这里不再一一枚举 .
参考文献
[ 1 ] 姚允龙 . 高等数学与数学分析 ( 方法导引 ) [ M ] . 上海 : 复
n
2
的敛散性 .
nln2 - ln n ・ ln a n = ln2 - ln a , ln n ln n
解 因为 α ) 2 - nsin α sin ( n
n
2
=
α )2 sin ( n
n
2
-
α sin
n
,
由洛必达法则知
x lim ( ln2 - ln a) = x →+ ∞ ln x
而 α )2 sin ( n
∞
2
收敛 , p ≤1 时发散 .
例 5 判别级数 解 因为
ln 1
n=1
∑2
a
ln n
n
( a > 1) 的敛散性 .
6 拆项法
将一般项用等价变形 、 有理化 、 三角基本公式等 拆成几项之差也是一种常用方法 .
∞
un = ln n
ln
2n
a ln n
ln n
例 7 判别级数
=
n=1
∑
α ) 2 - nsin α sin ( n
expansio ns , equivalent variables , and logarit hmic criterio n , for testing t he co nvergence of a co nstant2term series.
Key Words : series of co nstant terms ; co nvergence ; divergence ; met hod.
WAN G J ing1 , TAN Kang2 , R EN Xiu J uan3
( 1. Mat hematics Depart ment of The Second Artillery Engineering College , Xi’ an , 710025 , PRC ; 2. Wuwei Vocatio nal College , Wuwei , 733000 , PRC ; 3. Wuwei Xiying Hongxing Middle school , Wuwei , 733026 , PRC) Abstract : This paper p resent s several met hods and techniques , including inequalities , Taylor
Vol. 13 ,No . 3 高等数学研究 May , 2010 STUDIES IN COLL E GE MA T H EMA TICS
33
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
王 静1 , 谭 康2 , 任秀娟3
(1. 第二炮兵工程学院 ,西安 ,710025; 2. 武威职业学院 , 甘肃武威 , 733000; 3. 武威市西营乡红星中学 , 甘肃武威 ,733026)