斯托克斯公式 环流量与旋度

斯托克斯公式 环流量与旋度

一、斯托克斯公式

斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面∑上的曲面积与沿着∑的边界曲线Γ的曲线积分联系起来。

我们首先介绍有向曲面∑的边界曲线Γ的正向的规定，然后陈述并证明斯托克斯公式。

【定理】设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在包含曲面∑在内的一个空间区域具有一阶连续偏导数，则有

⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()( (1) 公式(1)叫做斯托克斯公式。

证：先假定∑与平行于z 轴的直线相不多于一点，并设∑为曲面),(y x f z =的上侧，∑的正向边界曲线Γ在xoy 面上的投影为平面有向曲线C ，C 所围成的闭区

域为xy D

。

我们设法把曲面积分

⎰⎰∑∂∂-∂∂dxdy y P dzdx z P

化为闭区域xy D

上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分联系。

根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有

⎰⎰⎰⎰∑∑γ∂∂-β∂∂=∂∂-∂∂dS y P z P dxdy y P dzdx z P )cos cos ( (2)

由第8.6节知道，有向曲面∑的法向量的方向余弦为

221cos y x x f f f ++-=

α，221cos y x y f f f ++-=β，2

211

cos y x f f ++=γ

因此γβcos cos y f -=，把它代入(2)式得

⎰⎰⎰⎰∑∑γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⋅∂∂-=∂∂-∂∂dS y P f z P dxdy y P dzdx z P y cos 即

⎰⎰⎰⎰∑∑γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂dS y P f z P dxdy y P dzdx z P y cos (3)

上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把),,(z y x P 中的z 用),(y x f 来代替，因为由复合函数的微分法，有

y f z P y P y x f y x P y ⋅∂∂+∂∂=∂∂)],(,,[

所以，(3)式可写成

⎰⎰⎰⎰∑∂∂-=∂∂-∂∂xy D dxdy y x f y x P y dxdy y P dzdx z P )],(,,[ 根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域xy

D 的边界C 的曲线积分

⎰⎰⎰=∂∂

-xy D c dx

y x f y x P dxdy y x f y x P y )],(,,[)],(,,[

于是

⎰⎰⎰∑=∂∂-∂∂c dx y x f y x P dxdy y P dzdx z P )],(,,[

因为函数)],(,,[y x f y x P 在曲线C 上点),(y x 处的值与函数),,(z y x P 在曲线Γ上

对应点),,(z y x 处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x 轴上的投影也是一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线Γ上的曲线积分

⎰

Γ

dx

z y x P ),,(,因此，我们证得 ⎰⎰⎰∑Γ=∂∂-∂∂dx z y x p dxdy y P dzdx z P ),,( (4)

如果∑取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那末(4)式两端同时改变符号，因此(4)式仍成立。

其次，如果曲面与平行于z 轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲面分成几部分，然后应用公式(4)并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲

线积分相加时正好抵消，所以对于这一类曲面公式(4)也成立。

同样可证

⎰⎰⎰∑Γ=∂∂-∂∂dy z y x Q dydz z Q dxdy x Q ),,( ⎰⎰⎰∑Γ=∂∂-∂∂dz z y x R dzdx x R dydz y R ),,(

把它们与公式(4)相加即得公式(1)。

为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式(1)写成 ⎰⎰⎰Γ

∑++=∂∂

∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz

把其中的行列式按第一行展开，把y ∂∂与R 的“积”理解为y R ∂∂，z ∂∂

与Q 的“积”理

解为z Q

∂∂等等，于是这个行列式就“等于”

dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ 这恰好是公式(1)左端的被积表达式。

利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：

⎰⎰⎰Γ

∑++=∂∂

∂∂∂∂γβαRdz Qdy Pdx R Q P z y x cos cos cos 其中}cos ,cos ,cos {γβα=n ρ

为有向曲面∑的单位法向量。

如果∑是xoy 面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。

【例1】利用斯托克斯公式计算曲线积分

⎰Γ

-+-+-=dz

y x dy x z dx z y I )()()(222222

其中Γ是用平面

23

=

++z y x 截立方体：10≤≤x ，10≤≤y ，10≤≤z 的表面所得截

痕，若从ox 轴的正向看去，取逆时针方向。