第三章 势流理论

1 u z u y x ( ) 0 2 y z 1 u x u z y ( ) 0 2 z x 1 u y u x z ( ) 0 2 x y u z u y y z u x u z z x u y u x x y
无穷远来流条件满足，再由物面条件求得偶极子强度
M 2U R3
U R3 x U x 2 ( x2 y 2 z 2 ) 32 R3 U r cos (1 3 ) 2r
速度场
R3 vr U cos (1 3 ) r r R3 v U sin (1 3 ) r 2r
d ux dy u y dx u cos u , x dm cos u , x u sin u , x dm sin u , x udm
y 2
1 3
3 2
1
y
d

m
d
dm
u

dn
x
x
3.4平面势流的复势问题
jik ijk u k u k ijk xi x j x j xi i u k xi x j xi
所以有
i 0 xi
4 不可压粘性流体质量力有势时涡量输运方程
i i u i 2i uj j t x j x j x 2 j
1 复势
w( z ) ( x, y) i ( x, y) z x iy re
i
为复自变量
复势是解析函数
势函数、流函数均为调和函数，且满足柯西--黎 曼条件，故为一对共轭调和函数。其组成的复变 函数是解析函数。 复势的意义在于把两个二元实函数变换成 复变量的一元复函数。
2 解析复函数的性质
n 1 n 1
L为包含z0的封闭周线.
3 复速度
复势的导数等于复速度的共轭
V u iv dw w i dz x x x u iv V
4 绕流问题的复势提法
任一解析函数，其实、虚部均满足LAPLACE方程，必对应一个平面势流。 具体绕流问题，考虑边界条件即可确定唯一复势： 物面不可穿透： 无穷远处： 给定环量
ux a, u y b
d adx bdy ax by d ady bdx ay bx
y
C
C
特例：① 若 u x 0 ，则 by, bx
x
② 若 u y 0 ，则 ax, ay
极坐标表示？
（2）圆球绕流
设坐标原点在球心，求速度势
0
2
边条件：物面不可穿透
( )r R 0 n
无穷远来流
r ,
U , x
0 y z
用基本解叠加求速度势时，据流动特征选择适当的基本解
均匀来流+偶极子
M x U x 4 ( x 2 y 2 z 2 ) 3 2
对理想流体得到亥尔姆霍兹方程
i i ui uj j t x j x j
• 习题 已知速度场
u y 2z v z 2x w x 2y
求（1）涡量及涡线方程 x yz （2）在平面 上通过单位面积的涡通量。
1
3.2 无旋流动的势函数
1 无旋流动的势函数 在无旋流动中：
复势
w( z ) ax by i (ay bx) a( x iy ) ib( x iy ) (a ib) z
2 点源及点汇 （1）点源 设某平面有一产生流体的源泉O，流体自源泉O点流出 后沿一平面均匀的向四方作扩散流动，这种扩散运动叫着 点源运动。单位时间流出的流体体积Q称为源强。 实例：泉眼向各方的流动； 离心式水泵叶轮内的流体运动。
设坐标原点在点源处，径向流速
vr
Q 4r 2
Q (r ) 4r
( x, y, z)
Q 4 x 2 y 2 z 2
偶极子：等强度的源汇无限靠近
若存在
a 0 Q
lim 2aQ M
（M为偶极强度），这样的
源汇点叫偶极点。
M x 3 2 2 2 4 ( x y z ) 2
第三章
有旋（涡）流与无旋流（有势流）
3.1有旋流动
涡量
u k 2 u 或 i ijk x j
• 机翼尾涡、龙卷风等直观上的旋涡现象是 大尺度流体团的强烈有旋流动。在有旋流 动中，只有当流体团积聚较强涡量并绕某 一公共轴线旋转时，才形成旋涡。 • 有旋流动中，强烈旋涡运动主宰流动。从 涡动力学出发研究旋涡运动，比用N-S方程 来研究更加方便。


存在函数 ( x, y, z ) ：
d ( x, y, z) ux dx+ u y dy+ uz dz
函数 称为速度势函数。存在着速度势函数的流动， 称为有势流动，简称势流。 无旋流动必然是有势流动！！！ 2 势函数的性质 ① 速度在某一方向的分量等于势函数在该方向上的偏导数。
② 势函数是调和函数 不可压缩流体的连续性方程为：
u x u y u z 0 x y z
即
0 x x y y z z 2 2 2 2 2 0 2 x y z 2 0
拉普拉斯方程
Im w( z) const.
V U iV dw U iV dz z
L
d (d id ) dw
L L
3.5平面势流的基本解
1 均匀直线运动 流场内速度的大小和方向均为常值的流动。 实例：均匀直线流绕过顺流放置的无限薄平板。
1 涡量场
涡线 dl 0 或
涡面与涡管
dx
x

dy
y

dz
z
涡通量 速度环量 Stokes定理
J dA A u dl
l
J
2 涡旋的运动学特性 涡旋场内无源无汇 i uk ijk 0 ( u ) 0
xi xi x j

对一个确定的涡管，它的任意截面上的涡通 量是一个常数。该常数称为涡管强度J1＝ J2
沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量 相等1＝ 2 涡线和涡管都不 能在流体内部中 断

3 涡量连续性方程
i u k u k 由 ijk ijk xi xi x j xi x j
③ 流网内任一点A， 的增值方向与u 方向一致； 的增值
方向为 u 方向向正 y 轴旋转90°后所得的方向。
d ux dx u y dy u cos u , x dn cos u , x u sin u , x dn sin u , x udn
y
C
C
Q ur , u 0 2 r
x
Q u x ur cos 2 r Q u u sin r y 2 r
x Q x r 2 x 2 y 2 y Q y r 2 x 2 y 2
3.3不可压流体的平面势流
1 流函数 在不可压缩流体平面流动中，连续性方程简化为： du y du x du y du x 0 dx dy dx dy 存在流函数 ： d dx dy u x dy u y dx 0 x y 一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是 无旋流动都存在流函数。
0
0
90
180
理想无旋绕流，球面压强分布关于X轴和Y轴都是对称的，合力为零。 与实际绕流相比，迎风面符合较好。大约从顶部开始，实际压强分 布偏离理想情况。尤其在圆球后部，实际压强远低于理论压强。其 原因在于流体粘性导致的尾部分离，产生压差阻力（形状阻力）。 在流动不发生分离或在分离点之前，理想无旋绕流是实际流动的良 好近似。
vr 0 3 v U sin 2
2
球面速度
Байду номын сангаас前后驻点
球面压强
p V 2 p U Ber. 2 2 1 9 2 2 pr R p U (1 sin ) 2 4
1.0 球面压力系数
p p 9 2 cp 1 sin 1 4 2 U 2
u x x y u y y x
柯西--黎曼条件
（2）流函数的等值线与速度势函数的等值线正交 。
y y x x 0 y y x x
4 平面无旋运动的流网 流网是不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线 簇构成的正交网格。其存在条件是不可压缩平面势流。 流网的性质： ① 组成流网的流线与等势线互相垂直，即等流函数线与 等势线互相垂直。 ② 网中每一网格的边长之比等于速度势与流函数的增值之 比；如取 d d 则网格成正方形。
2 无旋流动
（1）势函数为调和函数。 （2）平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的 速度势之差。 d u cos u , s ds ux dx u y dy d
AB d B A
AB
3 流函数与势函数的关系 （1）平面无旋运动的势函数和流函数共轭。
ux x uy y uz z
um
m cos m, x cos m, y cos m, z x y z u x cos m, x u y cos m, y u z cos m, z
Q ux dy uy dx d
AB AB
y
A
B
QAB B A
M
n
u
x
（3）平面势流的流函数是调和函数 。
z u y x ux 0 y x x 2 0 0 y y
2 2 2 0 or 2 x y
（1）解析函数的方向导数和求导方向无关。 （2）解析函数的和是解析函数。 （3）解析函数的导数是解析函数，即可以无限求导。 （4）解析函数的积分是解析函数。 （5）在不包含原点的有限域中，解析函数的一般展开式为
f ( z ) an z n
n
n
Laurent
罗朗级数
（6）留数公式：
f ( z )dz 2if ( z0 ) L ( z z0 )n 0
3 基本解叠加法
势流叠加原理
2 0
线性方程
叠加原理
2 2 0 基本流动2
2 1 0 基本流动1
2
(C1 1 C2 2) 0
新的复杂流动
（1）基本解
均匀直线流
ua vb wc
ax by cz
点源汇
流场中某一点处有流体注入流场，体积流量Q，称点源强度。
流函数的性质： （1）等流函数线即是流线。
dx dy C d 0 u x dy u y dx 0 流线 ux u y
（2）两流线间的流函数差值，等于两流线间的单宽流量。
dQ un ds ux cos( x, n)ds u y cos( y, n)ds ux dy u y dx