第六章 势流理论

第六章势流理论

课堂提问：

为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？

本章内容：

1．势流问题求解的思路

2．库塔----儒可夫斯基条件

3. 势流的迭加法

绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流

4．布拉休斯公式

5．库塔----儒可夫斯基定理

学习这部分内容的目的有二：

其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。

其二，明确两点重要结论：

１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。

２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。

本章重点：

1、平面势流问题求解的基本思想。

2、势流迭加法

3、物面条件，无穷远处条件

4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位

置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。

6、麦马格鲁斯效应的概念

7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理

8、附加惯性力，附加质量的概念

本章难点：

1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理

3．附加惯性力，附加质量的概念

§６-1 几种简单的平面势流

平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的

分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。

例如：

1）绕一个无穷长机翼的流动，

2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。 一、均匀流

流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，

V ｘ＝V o ， V y ＝０

平面流动速度势的全微分为

dx V dy V dx V dy y

dx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=

ϕϕϕ

积分： φ＝Vox （６-4）

流函数的全微分为，

dy V dy V dx V dy y

dx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=

ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5）

由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。 等势线：ｘ＝const ，一组平行于ｙ轴的直线。 均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的

流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图６-4所示。

图６-4

二、源或汇

平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反。

设源的体积流量为Ｑ，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零。现以原点为中心，任一半径ｒ作一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程， 体积流量Ｑ

２πｒｖｒ＝Ｑ

∴ｖｒ＝Ｑ/２πｒ （６-6）

在直角坐标中，有

x y V y

x V y x ∂∂-

=∂∂=∂∂=∂∂=

ψϕψϕ

在极坐标中有：

r r s V r s r V s r ∂∂-

=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=

ψθϕϕθψψϕ11 （６-7） 极坐标中φ和ψ的全微分：

θ

πψπϕθ

π

θθθψψψπθθθϕϕϕ2ln 222Q r

Q d Q d rV dr V d dr r d dr r Q d rV dr V d dr r d r s s r ===+-=∂∂+∂∂==+=∂∂+∂∂=

（６-8）

流线：为θ＝const ，从原点引出的一组射线；等势线为ｒ＝const ，就是和流线正交的一组同

心圆。

由（６-6）式可看出，当Ｑ＞０，则ｖｒ＞０，坐标原点为源点； 如果Ｑ＜０，则ｖｒ＜０，流体向原点汇合，

图６-7 扩大壁面和源的互换性乃是汇点。 源（汇）的速度势，还适用于扩大（收缩）， 渠道中理想流体的流动。

图６-7

三、偶极子

偶极流：流量相等的源和汇无限靠近，且随着其间距δｘ→０，其流量Ｑ→∞，且Ｑδｘ→Ｍ

（δｘ→０） （６-9）

则这种流动的极限状态称为偶极子，Ｍ称为偶极矩。 用迭加法求φ和ψ。

)ln (ln 22121r r Q

-+

+=π

ϕϕϕ 由图６-8 (ａ)所示： 121cos θδx r r +≈

因此

)cos 1ln(2cos ln 2ln 2)ln (ln 22

22

2

22

1

2121r x Q

r x r Q r r Q r r Q θδπθδπππϕϕϕ+=

+==-+

+=

图６-8 (ａ)

式中ｚ＝δｘｃｏｓθ１ｒ２是个小量，我们利用泰劳展开式

将φ展开并略去δｘ二阶以上小量得

当δｘ→０时，Ｑδｘ→Ｍ，θ１→θ，ｒ2→ｒ。其中ｒ,θ为Ａ点的极坐标，这样便可从 上式得到偶极子的速度势为

（６-１0）

直角坐标有

2

22y x x

M +=

πϕ （６-11）

对于流函数： )(2)(22121δθπ

θθπψψψQ Q =-+

+= 图６-8(ａ)三角形ＢＣＤ：ｒ２δθ＝δｘｓｉｎθ１，有

2

1

sin r x θδδθ=

所以 2

sin 2r x M θ

δπψ=

ｎθｒ2当δｘ→０时，Ｑδx →Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ，所以

r

M θ

πψsin 2-

= （６-12）

直角坐标有 2

22y x y

M +-

=πψ （６－13）

令ψ＝C 即得流线族： c y

x y

M =+-

2

22π 或

12

2c y x y

=+

即 01

2

2=-

+c y

y x 配方后得 21

212

41

)21(c c y x =-+ （６－14） 图６-１０(ｂ） ⋅

⋅⋅⋅-+-=+3

2)1ln(3

2z z z z r

M θπϕcos 2=

2

1cos 2r x Q θδπϕ≈

图6-8（b ）