动能定理复习讲义

动能定理复习讲义
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ﻩ
三．动能与动能定理
1． 动能:（1）物体由于运动而具有的能量叫做动能， 动能的大小等于质量与速率平方乘积的一半,2
12
k E mv =
,动能是标量，单位是焦耳（J ）。

（2）当物体只是速度大小改变时,动能不变。

由于速度的大小与参考系有关,所以动能也具有相对性。

例1. 如图所示，分别表示物体的速度、位移、所受合外力、动能随时间变化情况，其中表示物体受力一定平衡的是（ ）
２． 动能定理 （1）定理的推导:
由牛顿第二定律:=F ma ， 又由运动学公式:2
221
2v v as -=, 联立得：222111
22
Fs mv mv =
-。

由上式可得:外力对物体做的总功,等于物体动能的增量。

这就是动能定理。

(2）动能定理的解题步骤
①明确研究对象和研究过程，②分析受力情况,求出各个力做功的情况,正功还是负功， ③找出物体初末状态的动能(或动能的变化量),④建立方程,求解未知量。

例１.质量为2m kg =的物体，在12F N =的水平拉力作用下沿水平面由静止加速运动，动摩擦因数为0.2,则物体运动8m 后，速度变为多大？若此时撤去力F ，物体还能运动多远？
例２. 以10m ／s 的初速度竖直向上抛出一个质量为0.5ｋg 的物体，它上升的最大高度为4m,设空气对物体的阻力大小不变，求物体落回抛出点时的动能。

例3. 一个质量为1kg 的物体被人用手由静止向上提升１ｍ，这时物体的速度是2m/ｓ,分
别求手对物体做的功、合力对物体做的功和物体克服重力做的功为多少(g 取10m ／ｓ２
)？
例４. 某市规定:卡车在市区内行驶速度不得超过40k ｍ/h ，一次一辆卡车在市区路面紧急刹车后,量得刹车痕迹s = １8m,假设车轮与路面的滑动摩擦系数为0.4。

问这辆车是否违章？试通过计算予以证明。

v
t
t
t
t
s
F
k
E
A
B
C
D
s
m
F
F
1
v
2
v
（3）动能定理的几种典型的应用 ①用动能定理求解力的大小
如果物体受多个力（其中一个力未知)作用而运动，在物体的位移和初末速度已知的情况下，可以求得未知力的大小。

例１. 如图所示,拉力F 沿斜面向下，物体由静止沿斜面向下运动,当运动到斜面的中点时，撤去力F ,物体恰好停在斜面低端,求力F 的大小。

已知动摩擦因数为0.8，物体质量为10kg ，斜面倾角为37︒。

例２. 质量为2m kg =的物体,在与水平方向夹角为37︒力F 作用下沿水平面运动，物体与
水平面间的动摩擦因数=0.2μ，速度由15v m s =增加到210v m s =时发生的位移为
10m ，求力F 。

（试用两种方法）
②求变力做的功
变力做功不能用cos W Fs θ=直接计算，但当其他力做功和动能增量容易求得时，可由动能定理求变力的功。

例1. 如图，半径为0.8R m =的AB 为四分之一圆弧，圆弧在B 点与水平地面相切，一物体由Ａ点自由下滑,到达距离B 点3s m =的水平面上停下来，若圆弧与水平面的动摩擦因数均为０.2,求物体在AB 段克服阻力做的功。

例２. 如图,物体在平台上做半径为r 的匀速圆周运动,拉力为F 。

若拉力增大到8F 时，半
径变为2
r
，求拉力做的功。

F
θ
s
m F F 1v
2v θ
θ
s
A
B
F
v
③解决往复运动问题（多过程问题)
多过程问题因运动过程复杂,应用牛顿第二定律将非常繁琐甚至无法求解,若能抓住此类问题的初末状态，利用动能定理，往往可避繁就简,迎刃而解。

例 1.质量为m 的小球从离地高为h 处自由下落,空气阻力f kmg =,1k <,落地反弹无机械能损失，则碰撞了n 次后可上升的高度是多少?最终运动的路程多大？
例2．如图所示，斜面低端固定一挡板，一物体从距离斜面低端0s 处自由下滑，与挡板碰撞后以原速率反弹，动摩擦因数为μ,物体质量为m ，斜面倾角为θ,tan θθ<。

求物体与挡板碰撞n 次后,物块离挡板的最大距离为多少?最终总路程为多少？
④动能定理的图像问题
要注意图像的斜率、截距等的物理意义，并结合动能定理的表达式,求解该类问题。

例 1. 物体沿直线运动的的v t -关系如图所示，已知在第1秒内合外力做的功为W ，则( ）
A.从第1秒到第3秒末合外力做功为4W Ｂ．从第3秒末到底５秒末合外力做功为-2W C ．从第5秒末到第7秒末合外力做功为-W
D.从第3秒末到底4秒末合外力做功为0.75W -
例２. 质量为2kg 的物体,沿水平面做直线运动，其动能随位移的变化图线如下图所示,关于此物体的下述判断，正确的是( ) A ．物体做匀减速直线运动。

初速度大小为10m s
B ．物体所受合外力大小等于4N ,方向与初速度方向相反 Ｃ．物体与地面间的动摩擦因数一定等于0.2 D ．物体运动速度为零时,经历的时间为5s
θ
1 2 3 4 5 6 71v ms -
t
k E J
100
25
s m
例3．如图为某物体沿直线运动时的动能k E 与位移s
的关系图像,试分析物体所受合外力F 的图像。

⑤应用动能定理求解连接体问题 连接体问题主要有轻绳连接体、轻杆连接体，解决这类问题的方法主要有机械能守恒和动能定理,必要时结合运动的合成与分解找出两物体速度的关系,联立方程解得未知量。

∆轻杆连接体
例１．如图所示，在长为l 的轻杆中点Ａ和端点B 各固定一质量均为m 的小球，杆可绕无摩擦的轴Ｏ转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。

求当杆转到竖直位置时,轻杆对A 、B 两球分别做了多少功?
例2.一根轻质细杆的两端分别固定着A 、B 两个质量均为m 的小球，Ｏ点是水平固定放置的光滑轴穿过细杆。

已知==2AO BO l ,当从水平位置由静止释放细杆后,细杆开始转动，当A 球转到O 点正上方时,A 球的速度为多大?另：若将细杆在O 点弯折90︒，如右图所示，释放后A 球最大速度为多少?AO 杆转过的最大角度为多少?
∆轻绳连接体
例1．如图所示,在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮Ｋ，一条不可伸长的轻绳绕过Ｋ
分别与A 、B 连，Ａ、Ｂ的质量分别为m A 、m B ,开始时系统处于静止状态．现用一水平恒力F 拉物体A ,使物体B 上升．已知当B 上升距离 h 时,Ｂ的速度为 v ．求此过程中物体Ａ克服摩擦力所做的功.重力加速度为g ．
A
A
B
O
O
k
E
s
1
s
2s
3s 4s
例2.如图所示,在光滑的平台上,有一质量为m 的物体,物体与轻绳的一端相连，轻绳跨过定滑轮（定滑轮的质量和摩擦不计）另一端被滑轮正下方站在地面上的人拉住,人与绳的接触点和定滑轮的高度差为h ,若此人以速度v 0 向右匀速前进s,求在此过程中人的拉力对物体所做的功。

例3. 摄制组在某大楼边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶，如图所示。

若特技演员质量50m kg =（人和车可看成质点）,导演在某房顶离地=8H m 处架设了轮轴,轮和轴的直径之比为2:1，若轨道车从图中A 处前进到达B 处时，速度为5v m s =，60θ=︒，则由于绕在轮上的细钢丝绳的拉动,特技演员（ ）
A ．上升的高度为4m
B ．上升到最高点时具有竖直向上的速度6m s C.在最高点时具有的机械能为2900J
D ．钢丝在这一过程中对演员做的功为1225J
⑥动能定理与其他知识的综合问题
∆与圆周运动的结合:这类问题尤其应该注意竖直平面内圆周运动在最高点的临界条件。

例1.半径 R = ２0cm 的竖直放置的圆轨道与水平直轨道相连接。

如图所示。

质量为 m = 50 g 的小球A 以一定的初速度由直轨道向左运动,并沿圆轨道的内壁冲上去,如果A 经过Ｎ点时的速度v 1 ＝ 4m/ｓ，A 经过轨道最高点M 时对轨道的压力为 0.５N ，取 ｇ = 10m ／s 2.求:小球A 从N 到Ｍ这一段过程中克服阻力做的功W .
∆与平抛运动及绳端速度的突变相结合：在绳子突然张紧瞬间，沿着绳子方向的速度突变为零，垂直于绳子方向的速度不变。

例１． 一质量为ｍ的质点，系于长为R 的轻绳的一端,绳的另一端固定在空间的O 点,假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。

今把质点从O 点的正上方离O 点的距离为8R /９的Ｏ1点以水平的速度 ｖ０ =
gR 4
3
抛出，如图所示。

试求： ⑴ 轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？
⑵ 当质点到达O 点的正下方时，绳对质点的拉力为多大?
与汽车启动相结合:充分联系汽车的两种启动过程，注意启动过程中牵引力做功的表达式可以为=W Fs (恒定牵引力）和=W Pt （牵引力的功率恒定)
例1．汽车发动机的功率为60K Ｗ,若其总质量为5t ，在水平路面上行驶时,所受的阻力恒为５.0×103 N ，试求：
⑴ 汽车所能达到的最大速度。

⑵ 若汽车以0.５m ／s 2的加速度由静止开始匀加速运动，求整个加速过程能持续多长时间?
动能定理练习题1
１.一物体在竖直平面内做匀速圆周运动，下列物理量一定不会发生变化的是（) A．向心力 B.向心加速度Ｃ动能D．机械能
2.行驶中的汽车制动后滑行一段距离,最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰；降落
伞在空中匀速下降;条形磁铁在下落过程中穿过闭线圈，线圈中产生电流，上述不同现象中所包含的相同的物理过程是（）
A物体克服阻力做功 B.物体的动能转化为其他形式的能量
Ｃ.物体的势能转化为其他形式的能量 D 物体的机械能转化为其他形式的能量３．一个质量为m的物体，以a = 2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降ｈ高度过程中,物体的（）
Ａ．重力势能减少了2mgh B 动能增加了2mｇh
C．机械能保持不变 D 机械能增加了mgｈ
4．如图所示,在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。

当圆筒的角速度增大以后,下列说法正确的是（）
A．物体所受弹力增大,摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
Ｃ.物体所受弹力和摩擦力都减小了
D 物体所受弹力增大，摩擦力不变
5．质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上,若物体受水平力F的作用从静止开始通过位移时的动能为E1,当物体受水平力2Ｆ作用，从静止开始通过相同位移，它的动能为E2，则下列关系式中正确的是( )
Ａ．E２=Ｅ１B．E2 ＝2E１CＥ2 > 2E1Ｄ.E1＜E ２＜2E1
6.如图所示，传送带以ｖ0的初速度匀速运动。

将质量为m的物体无初速度放在传送带上
的Ａ端,物体将被传送带带到B端，已知物体到达Ｂ端之间已和传送带相对静止，则下列说法正确的是（）
A 传送带对物体做功为ｍv02/2
B.传送带克服摩擦做功mv02／2
C．电动机由于传送物体多消耗的能量为mv02／2
Ｄ在传送物体过程产生的热量为mｖ02/2
７.利用传感器和计算机可以测量快速变化的力的瞬时值。

如图中的右图是用这种方法获得的弹性绳中拉力随时间的变化图线。

实验时,把小球举高到绳子的悬点O处，然后放手让小球自由下落。

由此图线所提供的信息,以下判断正确的是（）
ﻩA．ｔ２时刻小球速度最大
B t1～t2期间小球速度先增大后减小
C.t3时刻小球动能最小
D.t1与t4时刻小球速度一定相同
8．如图所示，斜面置于光滑水平地面上,其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是（)
A 物体的重力势能减少，动能增加
B.斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D物体和斜面组成的系统机械能守恒
9．如图所示，粗糙的水平面上固定一个点电荷Q，在M点无初速度是放一带有恒定电量的小物块,小物块在Q的电场中运动到N点静止。

则从Ｍ点运动到Ｎ点的过程中(）
A小物块所受的电场力逐渐减小
B.小物块具有的电势能逐渐增大
C.Ｍ点的电势一定高于N点的电势
D 小物块电势能变化量的大小一定等于克服摩擦力做的功
1０.如图所示,在竖直平面内有一半径为1ｍ的半圆形轨道，质量为2ｋg的物体自与圆心O 等高的A点由静止开始滑下，通过最低点Ｂ时的速度为3ｍ/s，物体自A至Ｂ的过程中所受的平均摩擦力为( )
A.0N B ７N
C．14N Ｄ.２8N
１1．某一在离地面10ｍ的高处把一质量为2kｇ的小球以１0m/s的速率抛出，小球着地时的速率为１5m/s。

ｇ取10m／ｓ2,人抛球时对球做功是J,球在运动中克服空气阻力做功是Ｊ
12．质量ｍ= 1.5ｋg的物块在水平恒力F作用下,从水平面上A点由静止开始运动,运动一段距离撤去该力，物块继续滑行t = 2.0ｓ停在B点，已知A、B两点间的距离s ＝5．0m，物块与水平面间的动摩擦因数μ= 0.２０，恒力F等于Ｎ（物块视为质点g 取１0m/s2)。

13.一半径R = 1m的1/4圆弧导轨与水平导轨相连,从圆弧导轨顶端A静止释放一个质量m
＝20ｇ的木块,测得其滑至底端B的速度v B = 3m／ｓ,以后又沿水平导轨滑行Ｂ
Ｃ＝3m 而停止在Ｃ点,如图所示，试求：（g取１0m／s2)
⑴圆弧导轨摩擦力的功;
⑵BC段导轨摩擦力的功以及滑动摩擦系数
14.儿童滑梯可以看成是由斜槽AB和水平槽CD组成,中间用很短的光滑圆弧槽BC连接，如图所示。

质量为m的儿童从斜槽的顶点A由静止开始沿斜槽ＡＢ滑下，再进入水平槽CD，最后停在水平槽上的E点,由A到Ｅ的水平距离设为ｌ。

假设儿童可以看作质点,已知儿童的质量为m，他与斜槽和水平槽间的动摩擦因数都为μ，A点与水平槽CD的高度差为h。

⑴求儿童从A点滑到E点的过程中,重力做的功和克服摩擦力做的功。

⑵试分析说明，儿童沿滑梯滑下通过的水平距离l与斜槽AB跟水平面的夹角无关。

⑶要使儿童沿滑梯滑下过程中的最大速度不超过ｖ,斜槽与水平面的夹角不能超过多少？
15.质量为１．0×1０3 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为200０N，汽车发动机的额定输出功率为5．6×104W，开始时以a = １m／s2的加速度做匀加速运动(g取1０ｍ／s2）。

求：
⑴汽车做匀加速运动的时间t2;
⑵汽车所能达到的最大速率;
⑶若斜坡长1４3.５m，且认为汽车达到坡顶之前,已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶
需多少时间？
动能定理练习题２
１．在同一高度处,将三个质量相同的球a 、b 、c 分别以大小相等的速率竖直上抛、竖直下抛和平抛，落在同一水平面上的过程中,重力做的功及重力功的平均功率的关系是( ） ﻩA W W W P P P a b c b c a ==>>， B.W W W P P P a b c a b c ====，
C ．W W W P P P a b c a b c >>>>， D.W W W P P P a b c a b c >><<，
2．a 、b 、ｃ三个物体质量分别为m 、2m 、3m,它们在水平路面上某时刻运动的动能相等。

当每个物体受到大小相同的制动力时，它们制动距离之比是（ ）
Ａ．1∶2∶３ﻩﻩﻩ ﻩB.1２∶22∶3２
ﻩC 1∶1∶1 ﻩ D ．3∶２∶1
３.一个物体自由下落，落下一半时间的动能与落地时动能之比为( )
Ａ.1∶1 ﻩＢ.1∶2ﻩ Ｃ.1∶3 ﻩ Ｄ.1∶４
4．汽车的额定功率为90ＫＷ，路面的阻力为f ,汽车行驶的最大速度为v 。

则（ ）
A 如果阻力为2f ，汽车最大速度为v 2。

B.如果汽车牵引力为原来的二倍,汽车的最大速度为2v 。

C.如果汽车的牵引力变为原来的12
，汽车的额定功率就变为４5KW 。

D.如果汽车做匀速直线运动，汽车发动机的输出功率就是90KW 。

5.质量为m ，速度为υ的子弹，能射入固定的木板L 深。

设阻力不变，要使子弹射入木板３
L 深,子弹的速度应变为原来的（ )
A.3倍 B ．6倍 Ｃ．2
3倍 D 3倍 6．原来静止在水平面上的物体,受到恒力Ｆ作用,开始运动,通过的位移为S ，则……（ )
A ．当有摩擦时,力Ｆ对物体做功多
B ．当无摩擦时，力F 对物体做功多
C ．当有摩擦时，物体获得的动能大
D 当无摩擦时,物体获得的动能大
7.质量为m 的汽车以恒定功率P 的平直公路上行驶，若汽车匀速行驶的速度为υ1,当汽车的速度为υ２时（υ２<υ1)汽车的加速度大小为（ ) A.1υm P Ｂ.2
υm P C 2121)(υυυυm P - D.)(2121υυυυ-m P 8．火车质量是飞机质量的1１0倍,火车的速度只有飞机速度的1/1２，火车和飞机的动能分别为E k1和E ｋ2,那么二者动能大小相比较,有（ )
Ａ Ｅk1<E ｋ2 B ．E k1＞K k ２ Ｃ．E k1＝Ｋk2 Ｄ.无法判断
９．质量为1kg 的小球,从距地面８0ｍ高处由静止开始下落,不计空气阻力，落地时小球的速度大小为＿__＿＿____,小球落地时的动能为__＿___＿__Ｊ,下落过程中重力对小球做的功为_____J 。

10．物体从静止开始自由下落,下落ｌs 和下落4s 时，物体的动能之比是_＿___；下落１m 和4ｍ时，物体的动能之比是_＿＿__＿＿＿。

11.质量为m 的物体在水平力F 的作用下，由静止开始光滑地面运动,前进一段距离之后速度大小为v 。

再前进一段距离使物体的速度增大为2v,则( )
Ａ、第二过程的动能增量是第一过程的动能增量的４倍
B 第二过程的动能增量是第一过程的动能增量的3倍
C 、第二过程的动能增量是第一过程的动能增量的２倍
Ｄ、第二过程的动能增量等于第一过程的动能增量
１2．质量为m 的物体以初速度ｖ0开始沿水平地面滑行，最后停下来。

在这个过程中,物体的动能增量多大?
13.一个小孩把６.0k ｇ的物体沿高0．50m ，长2.0ｍ的光滑斜面，由底部匀速推到顶端,小孩做功为 ﻩ ﻩ ,若有５.0N 阻力的存在,小孩匀速把物体推上去应做 ﻩ功，物体克服阻力做的功为ﻩ ，重力做的功为ﻩﻩﻩ。

(g m s 取102/）
1４.把质量为３．0kg 的石块，从高30m 的某处,以50./m s 的速度向斜上方抛出，
g m s 取102/,不计空气阻力，石块落地时的速率是ﻩﻩﻩ；若石块在运动过程中克服空气阻力做了7３．5J 的功,石块落地时的速率又为 ﻩ ﻩ。

15．竖直上抛一个质量为m 的物体，物体上升的最大高度 ｈ,若不计空气阻力,则抛出时的初动能为 。

16.一个人站在高出地面点h 处，抛出一个质量为ｍ的物体，物体落地时速率为v ，人对物体做的功等于__＿____(不计空气阻力）
１７.木块在粗糙水平面上以大小为υ的初速度开始运动，滑行ｓ后静止,则要使木块在此平面上滑行3s 后静止，其开始运动的初速度应为 。

1８．一个人站在１5米高的台上，以10m s /的速度抛出一个0．4kg 的物体。

求:
（1）人对物体所做的功。

（2)物体落地时的速度。

１9．质量1kg 的小球从20m 高处由静止落下,阻力恒定，落地时速度为1６ｍ/ｓ,则阻力的大小是多少？
20．质量为m 的铅球以速度υ竖直向下抛出，抛出点距离地面的高度为H,落地后，铅球下陷泥土中的距离为ｓ，求泥土地对铅球的平均阻力？
答案:
动能定理练习题2答案：１.A 2．C 3．D 4.A 5.D 6．D ７.C 8.A ９.４０m/s 800J 800J
1０．1:１6 1：４ 1１.B １2.202
1mv １3.3０J 、4０J 、10Ｊ、-30J 14、25m/
ｓ、２4m/s
15、m ｇh 1６、
mgh mv -22
1 17、v 3 18、20J 、20m/s 19、3.6N 2０、S mv S H mg 2
21)(++。