可测函数及其性质(最新版)

[ f a ] x
xE[ f a ]

U ( x, x）
则G为开集，为可测集，且
GE (
xE [ f a ]

U ( x, x )) E (U ( x, x ) E ) E[ f a ]
xE [ f a ]

反之，G=
xE[ f a ]

U ( x, x ) G E[ f a]
f 是可测函数 E[ f a]是可测集 E[ f a] E \ E[ f a]
f是可测函数和（3）等价
1 E [ f a ] E[ f a ] n 1 n

1 ]是可测集 n E[ f a]是可测集 (1)成立 f ( x)是可测函数 E[ f a
一般情况，a R, E[ f g a] E[ f - g +a],
由（1）知-g是可测函数，所以-g +a也是E上的可测函数。 由引理可知，E[ f - g +a]是可测集，即E[ f g a]是可测集， 因此f g是E上的可测函数。
E[ f 0] E[ f 1 / a ], a 0 (3)E[1 / f a ] E[ f 0] \ E[ f ], a 0 E[ f 0] E[ f 1 / a ], a 0
对 f ( x) a, x 0, s.t.
f (U ( x, x） E ) U ( f ( x), ) (a, )
即U ( x, x） E E[ f a]， 令G
所以E[ f a] ( O(x, )) E G E 反之 xE
n
lim f n ( x) inf sup{ f m ( x)} n lim f n ( x) supinf{ f m ( x)} n m n
n
推论：特別当极限存在时，它也是可测函数。 可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
例： R1上的可微函数f(x)的导函数f ‘(x)是可测函数
gn(x)
证明：由于
f (x 1 f ( x x) f ( x) n ) f ( x) f ' ( x) lim lim 1 x o n x n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
1 E[ f a ] E[ f a ] n 1 n

1 当(1)成立时，得E[ f a ]是可测集，从而E[ f a] n 也是可测集 f ( x)是可测函数
条件(1)和f ( x)是可测函数等价。
E[a f b] E[ f a ] E[ f b] 当 | f ( x) | ，E[ f a ] E[a f a n]
E[ f a] G E[ f a] G E,
故E[ f a] G E为可测集
定理1 设f(x)是可测集E上的实函数，下列任一条件都是f(x) 在E上可测的充要条件 (2) a R, E[ f a]可测 (1) a R, E[ f a]可测
i 1
n
E ( x)
i
1 xEi 0 xE Ei
注：[0,1]上的Dirichlet函数是简单函数。
例（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续
若 0, 0, 使得f (U ( x , ） E ) U ( f ( x ), )
四. 可测函数与零集的关系

1：几乎处处成立
设 是一个与集合E中点有关的命题, 如果存在 M E且mM 0, 使得 在E \ M 上恒成立, 则称
在E上几乎处处成立, 记作 a.e.于E.
例1：
| tan x | a.e.于 R
例2： [0,1] 上的狄利克雷函数 D( x) 0 a.e. 于 [0,1].
94页第2题 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全 体和发散点全体是可测集.
f n lim f n ] 证明：发散点全体为 E[lim n n
收敛点全体为 E[lim f n lim f n ]
n n
再 在利用 lim f n和 lim f n是可测函数即可
n n
即 0, 0,当x U ( x , )时，有f ( x) U ( f ( x ), )
0 0
即 0, 0, 使得f (U ( x , )) U ( f ( x ), )
0 0
结论：可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
2：函数可测性与零集的关系
定理： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则 g(x)在E上也可测 证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g] ，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ， 另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ，
进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
设mE=0.a R,E[f>a] E, 所以E[f>a]也为零测度集，故是可测集
例(2) 简单函数是可测函数
若f的定义域E可分为有限个互不相交的可测 集 E Ei ，f x 在每个Ei 上取常值ci，则称f x
s i 1
是E上的简单函数。
f ( x) ci Ei ( x)
n 1
三. 可测函数的性质
定理1: 可测函数关于子集、并集的性质
即:若f(x)是E上的可测函数,
E1 E, E1 可测，
则f(x) 在E1上也是可测函数；
Ei 反之，若 E i 1
s
, f(x) 在En上是可测函数，
则f(x)在E上也是可测函数。
1 s
E [ f a] E[ f a] E E[ f a] E [ f a]
第四章 可测函数
第一节 可测函数及其性质
一. 可测函数定义
二. 可测函数的等价描述 三. 可测函数的性质 四. 可测函数与零集的关系 五. 可测函数与简单函数的关系
一. 可测函数定义
定义1：设f(x)是可测集E上的实函数(可取

)，
若 a R, E[ f a] 可测，则称f(x)是E上的可测函数 例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。
（1）当 =0时，
f 0, 常值函数，是连续函数，故是可测函数；
当 0时，c R,E[ f c] E[ f c / ], 而E[ f c / ]是可测集，所以E[ f c]是可测集， 因此 f 是可测函数。同理可证 0时成立。
(2)先设f ( x) b, b为某一有限实数，a R, E[ f g a ] E[b g a ] E[ g a b], 故E[ f g a ]是可测集，所以 f g g b是可测函数。
0 0
若 f 在E上每一点都连续, 则称 f 在E上连续.
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
即 0, 0,当| x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) |
i 1 i
1
定理2： 可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则对任意的有限实数α， α f(x) ，f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , 1/f(x),f(x)g(x) , f(x)/g(x)， |f(x)|仍为E上的可测函数。
引理：设 f 与g 为E上的可测函数, 则 E[ f g]与E[ f g]都是可测集。
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响 函数的可测性
五. 可测函数与简单函数的关系
若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函
数 的极限
{n ( x)}
f ( x) lim n ( x)
n
，而且还可办到
| 1 ( x) || 2 ( x) |
注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
(3) a R, E[ f a]可测
二. 可测函数的等价描述
(4) a, b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f ( x) | )
证明： E[ f
a] E \ E[ f a]或者E[ f a]=E \ E[ f a]
（1）和（2）等价
(4)先证f 是可测函数。（ a 0） R,
2
E[ f 2 a ] E[ f a ] E[ f a ], 所以E[ f 2 a ]是可测集。
a（<0） R, E[ f 2 a ] E , 所以E[ f 2 a ]是可测集， 1 因此f 2是可测函数。fg [( f g) 2 ( f g) 2 ], 所以fg也是 4 可测函数。
E[ f a] E[ f a], a 0 （5）E[|f | a] E, a 0
定理3: 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.
即若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
( x) sup{ f ( x)}
n n m n
( x) inf{ f ( x)}