可测函数的定义及简单性质1

第三章可测函数
为了建立新的积分即Lebesgue积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数——可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系.
首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在 中某点集上的实值函数，且允许它取值±∞.另外，我们规定：
(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，
补充:特征函数
定义1设X是非空全集， ,称
为集合A的特征函数.
显然 的充分必要条件是A=B.
例如：取 ， ，则特征函数如图
图1-13-1特征函数
定理1
（1） ；
（2） ；
（3） .特别 时
；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7）设 是任一集列，则
；
（8） 存在，
且当极限存在时，
.
证明仅证（3），（7）.；
（3）任意 ，.当 时，
；
当 时，
；
同理 ；
当 时，有
.
（7）设 是任一集列，则
；
（7）先证
任意 ，存在 使 ，故 ，从而 .又由特征函数Βιβλιοθήκη Baidu义知 ，所以 ；
当 ，存在自然数N， ， 故 , ，而 ，所以也有 ，故 .
再证
任意 时，存在自然数N， ， 故 ,从而 ，而 ，所以 ；
当 时， .由下限集的定义知,存在无穷多个 ,使 于是 ,从而 ,所以 ,因此 .
（1） = ，其中 为两两不交的可测集，
（2）在每个 上 = ，即 = ，亦即 ，
其中 表示 的特征函数，则称 为 上的简单函数.
图3-1-1简单函数
显然 = 及 =
均为其定义域上的简单函数.
图3-1-2符号函数
可以证明，可测集 上的两个简单函数 的和、差及乘积仍为 上的简单函数；当 时， 也是 上的简单函数.
对于任意实数a，总有a+(+∞)=(+∞)+a=+∞，a+(-∞)=-∞，
对于b>0，c<0，b·(±∞)=±∞，c·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞，
（+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0，
对 ， ，对 ， ，
但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.
另外，若 是G 上的函数， 是可测集 上的简单函数，且 ，则 仍为 上的简单函数.
例1证明可测集 上的两个简单函数 的和仍为 上的简单函数
证明设 是 上的简单函数，下证 也是 上的简单函数.事实上，
设 ，
那么 ，其中
则 是 个互不相交的可测集，且
所以 是 上的简单函数.
定义2设 为 上的非负实函数,集合{ } 称为 在 上的下方图形,记为 ,当 时,简记为 .
图3-1-3下方图形
例2如果 是 中可测子集 的示性函数：
则 ，这都是 中的可测集.
例3设 为可测集 上的非负简单函数,即 ,其中 , 为两两不交的可测集,则 为可测集,且 .
证明不难证明 ,其中 也互不相交.
而 为 中的可测集,且
,
所以 .
§1 可测函数的定义及简单性质
可测函数的定义方法很多，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义.
一、可测函数的定义及等价定义
1．简单函数
定义1设 为一个可测集， 为定义在 上的实函数，如果