指数函数和对数函数图像与交点问题

关于指数函数与对数函数的问题

一、指数函数

底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0

②底数对函数值的影响如图．

③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：

若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：

若底数不同而指数相同，用作商法比较；

若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值

二、对数函数

底数对函数值大小的影响：

1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O

2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比

如分别对应函数，则必有

对数函数的图象与性质：

三、对数函数与指数函数的对比：

(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．

(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O

(3)指数函数与对数函数的联系与区别：

四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题

一、1a >时方程

x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。设曲线x log y a y a x ==与相切

于点M （00x ,x ），由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1，

所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧===1a ln a ,x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即

所以a ln 1a x a ln 1,x a a ln 100x 0=⎪⎩⎪⎨⎧==则

即e x ,e a ,a ln 1e 0e 1

===此时所以。

以上说明，当e 1

e a =时，两条曲线)e ,e (M x log y a y a x 相切于点与==。 因此有以下结论：

①当(*),e a e 1

方程>无解（见图1所示）；

②当e 1

e a 1<<，方程（*）有且只有两解（见图2所示）；

③当e 1

e a =，方程（*）有且只有一解（见图3所示）。

用计算器可算得

44467.1e e 1≈。

二、x log a 1a 0a x =<<时方程的解

先求如图5所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。

设曲线x log y a y a x ==与相切于点P ，由对称性知，点P 在直线x y =上，设)y ,x (P 00。

由于曲线

)a y (x log y x a ==或在点P 处切线的斜为1-， 所以⎪⎩⎪⎨⎧-==1|)'x (log ,x a 0x 0x a 0x 即⎪⎩⎪⎨⎧-==1a ln x 1,x a 00x 0

所以

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-e 1

x ,a ln 1e 1a ln 1x ,a ln 1a 00a ln 1即 则

e )e 1(a =。此时，e 1x 0=。 以上说明，当e )e 1(a =时，两条曲线x log y a y a x ==与相切于点P （e 1,e 1）。

因此有以下结论：

①

e

)e 1(a 0<<时，方程（*）有且只有三解（见图4所示）；

②当

e

)e 1(a =时，方程（*）有且只有一解（如图5所示）；

③当1a )e 1(e <<时，方程（*）有且只有一解（如图6所示）。

用计算器可算出06599.0)e 1(e ≈。由于此数非常小，因此，人们在平时较难观察到这种

较小数值所示的函数图像，这也是人们易产生错误认识的—个重要原因。

综上所述，得：

当))e 1(,0(a e ∈时，方程

x log a a x =有且只有三解； 当x log a ,)e 1(a a x e ==方程时有且只有一解；

当)1,)e 1((a e ∈时，方程

x log a a x =有且只有一解； 当)e ,1(a e 1∈时，方程x log a a x =有且只有两解； 当e 1e a =

时，方程x log a a x =有且只有一解； 当

),e (a e 1+∞∈时，方程x log a a x =无解。