2009年高考理科数学试题(湖南卷)含答案

2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1． 若2log a ＜0，1()2

b

＞1，则 (D)

A ．a ＞1,b ＞0

B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 2．对于非0向时a,b,“a//b ”的确良（A ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3．将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin (（D ）

A ．

6

π B ．56π4．如图1，当参数2λλ= 1C 和2C , 则

A 10λλ<<

B 10λλ<<

C 120λλ<< D

210λλ<<

5.从10名大学生毕业生中选种数位 [ C] A 85 B 56 C 49 D 28

6. 已知D 是由不等式组2030

x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 22

4x y +=在区域D 内

的弧长为 [ B] A 4π B 2

π C 34π D 32π

7．正方体ABCD —1A 1B 1C 1D 的棱上到异面直线AB ，C 1C 的距离相等的点的个数为（C ） A ．2 B ．3 C. 4 D. 5

8.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有定义。对于给定的正数K ，定义函数 (),()(),()k f x f x K

f x K f x K

≤⎧=⎨

>⎩

取函数()f x =1

2x e ---。若对任意的(,)x ∈+∞-∞，恒有()k f x =()f x ，则

A ．K 的最大值为2 B. K 的最小值为2

C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1 【

D 】

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上

9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__

10．在32(1)(1(1x +++的展开式中，x 的系数为___7__(用数字作答)

11、若x ∈(0,

2π)则12、已知以双曲线C 60 o

，则双曲线C

13、一个总体分为A ，B 10的样本，已知B 14、在半径为13的球面上有（1）球心到平面ABC （2）过Ａ，B 15、将正⊿ABC 分割成n 2

（n=2,3的情形），

使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，f(n)= 1

6

(n+1)(n+2)

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）

在ABC ∆，已知2

233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小。

解：设,,BC a AC b AB c ===

由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos bc A =，所以cos A = 又(0,),A π∈因此6

A π

=

2

3AB AC BC ⋅=得2bc =，于是2

sin sin C B A ⋅=

所以5sin sin(

)6C C π⋅-=

1sin (cos )2C C C ⋅+=

22sin cos 20C C C C C ⋅+==，既sin(2C

由A=6

π知0C <<20,3C π-=或2C 2,,63A B C ππ==17.（本小题满分12分）

（I （II ）记ξ为3ξ 的分布列及数

学期望。

解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 1A ,1B ,1C ，i=1，2，3.由题意知1A 23A A 相互独立，1B 23B B 相互独立，1C 23C C 相互独立，1A ,1B ,1C （i ，j ，k=1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且P （1A ）=，P （1B ）=13，P （1C ）=1

6 （1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3！P （1A 2B 3C ）=6P （1A ）P （2B ）P （3C ）=6⨯

12⨯13⨯16=16

(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由己已知，η-B （3，

13

），且ξ=3η。 所以P （ξ=0）=P （η=3）=1

3

C 3

1()3

=127， P （ξ=1）=P （η=2）= 23

C 3

1()3 2()3= 29

P （ξ=2）=P （η=1）=1

3

C 1()32

2()3

=49

P （ξ=3）=P （η=0）= 0

3C 32()3= 827

故ξ的分布是

P （所以

18.D 是11A B 的中点，点E 在11AC 上，且

DE AE ⊥。 （I ） 证明平面ADE ⊥平面11ACC A

（II ）

求直线AD 和平面ABC 所成角的正弦值。