数学分析练习题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《数学分析选论》习题选
第十章. 多元函数微分学
1 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限
（1） 2
222
2)(),(y x y x y x y x f -+=, )0,0(),(00=y x ；
（2） ,1
sin 1sin
)(),(y
x y x y x f += )0,0(),(00=y x . 解 (1) 注意到 0),(lim 0
=→y x f y )0(≠x , 0),(lim 0
=→y x f x )0(≠y ， 故两个累次极限均为0，但是,
,1)1,1(lim =∞→n n f n ,0)1
,1(lim =-∞→n
n f n 所以重极限不存在. (2) 注意到 0),1
(
=y n f π
, y y y n f 1sin ),)14(2(
→+π )(∞→n , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 |||||),(|0y x y x f +≤≤， 所以0),(lim )
0,0(),(=→y x f y x .
2 设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+-=).0,0(),(,0)0,0(),(,),(222
2y x y x y x y x xy
y x f 证明:0),(lim
)
0,0(),(=→y x f y x . 证明 对,0>ε 由于 |,|2
1||21|||0),(|2
2222
222y x y x y x y x xy y x f +≤-≤+-≤- 可知当εδ2022=<+<
y x 时,便有 ε<-|0),(|y x f . 故
0),(lim )
0,0(),(=→y x f y x .
3 设 242),(y
x y
x y x f += 证明：),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. 证明 注意到
24242
0(,)(0,0),()
lim
(,)lim (1)1x x y y mx mx m
f x y m x m →→===++,
它随m 而异，因此
),(lim )
0,0(),(y x f y x →不存在.
4 讨论下列函数的连续性
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)
0,0(),(,
0),
0,0(),(,)
sin(),(2
2y x y x y
x xy y x f
（2）⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=)
0,0(),(,0),0,0(),(,2),(2
2y x y x y
x xy
y x f
解 （1）注意到 2
2
||2y x xy +≤， 有|2||sin ||
|2|sin ||),(|xy
xy xy xy xy y x f ⨯≤≤
因此,
)0,0(0),(lim )
0,0(),(f y x f y x ==→，即),(y x f 在（0，0）处连续.
（2）注意到 ,1)1
,1(lim =∞
→n
n f n 5
4
)1,2(lim =
∞
→n
n f n , 故),(y x f 在（0，0）处不连续. 5 讨论函数⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠++-=+0
,
00,1),(22222
2)
(2
2y x y x y x e y x f y x x 在点)0,0(处的偏导数的存在性.
解 由定义知： 11lim 0)0,0()0,(lim
)0,0(3
003
-=-=--=→→x e x f x f f x
x x x , 30
0(0,)(0,0)0
(0,0)lim
lim 00
y y y f y f f y y →→-===-. 6 试讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+>+=+-0
,
0,0,
),(222212
2y x y x e
y x f y x 在)0,0(处的可微性.
解. 因为, ,0lim )
0,0()0,(lim
)0,0(2/1100
==-='--→→x x x x e x x f x f f ,0lim )
0,0(),0(lim
)0,0(2/1100
==-='--→→y y y y e y y
f y f f 所以, ),()0,0(),(22)
/(122
y x y x e f y x f y x α+==-+-,
其中 0),(2
22
/12
2)
/(1→=
+=
-+-ρ
αρ
e y x e y x y x
, 0→ρ， ,22y x +=ρ
由此知),(y x f 在)0,0(处可微.
7 设 )ln(2
v u z +=, 而 2
y x e
u +=, y x v +=2
. 求
x z ∂∂, y
z ∂∂. 和dz 解. 由于 2y x e x u +=∂∂, 2
2y x ye y u +=∂∂,
x x
v 2=∂∂, 1=∂∂y v , 于是 )(222x ue v
u x v v z x u u z x z y x ++=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+,