双曲线专题复习讲义及练习

双曲线专题导学案
知识梳理
1. 双曲线的定义
第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;
当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
)0,(12
2
22>=-b a b y a x )0,(12
2
22>=-b a b x a y 性 质
焦点 )0,(),0,(c c -，
),0(),,0(c c -
焦距 c 2
范围 R y a x ∈≥,||
R x a y ∈≥,||
顶点 )0,(),0,(a a -
),0(),,0(a a -
对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称
离心率 (1,)c
e a
=
∈+∞ 准线
c a x 2
±=
c a y 2
±=
渐近线
x a b y ±=
x b
a y ±=
与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22
22≠=-λλb y a x
与双曲线122
22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a
-=
等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；
易错题
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为
点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支
12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116
92
2>=-
x y x 2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2
3
±
=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，
23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2
3
=b a ，313=e 热点考点题型探析
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
[例1 ].设P 为双曲线112
2
2
=-y x 上的一点F 1、
F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）
A ．36
B ．12
C ．312
D ．24
解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①
又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF
222
121252,52,PF PF F F +==
为21F PF ∴直角三角形，
.12462
1
||||212121=⨯⨯=⋅=
∴∆PF PF S F PF 故选B 。

【基础巩固练习】
1.如图2所示，F 为双曲线116
9:
2
2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，
则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C.18 D ．27
2. P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距
为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -
（B ）b -
（C ）c -
（D ）c b a -+
题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162
x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C
的方程．
[解析] 解法一：设双曲线方程为22
a x －22b
y =1.由题意易求c =25.
又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －2
4
b =1.
又∵a 2
+b 2
=（25）2
，∴a 2
=12，b 2
=8.
故所求双曲线的方程为122
x －8
2y =1.
解法二：设双曲线方程为k x -162
－k
y +42＝1，
将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122
x －8
2y ＝1.
【基础巩固练习】
3.已知双曲线的渐近线方程是2
x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
4.以抛物线x y 382
=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.
5.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
A ．22
1(1)8y x x -=<- B ．22
1(1)8
y x x -=> C ．1822
=+y x （x > 0） D ．22
1(1)10
y x x -=> 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围
[例3] 已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲
线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．
【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决
[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得18
3
PF a =
，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得22
2
2218
98173
2382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得5
3
e =．即e 的最大值为
53
．
(方法2)
12
2
2
222211PF a PF a a
PF PF PF c a
+=
=+
≤+- ， 双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于3
5
,421≤∴≥-+
e a c a (方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，
∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为5
3
． 【基础巩固练习】
6.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为4
3
y x =，则该双曲线的离心率e
为 ．
7. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两
渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）
A ．215+
B ．2
C ．2
15+或2 D ．不存在
题型2 与渐近线有关的问题
[例4]若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的
离心率为 （ ） A.2
B.3
C.5
D.2
[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122
222
=+==a
b a
c e ,所以5=e
【基础巩固练习】
8. 双曲线22
149
x y -=的渐近线方程是 ( )
A. 23y x =±
B. 49y x =±
C. 32y x =±
D. 9
4
y x =±
9.焦点为（0，6），且与双曲线12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A ．124
1222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．112242
2=-y x。