双曲线专题复习(精心整理)
双曲线专题复习讲义及练习学生
双曲线专题复习讲义考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义题型1求离心率或离心率的范围 2 2［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右焦a b点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。
| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.【新题导练】双曲线x264 y236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方程,求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的b 、f c2 — a2 /c2. ----------斜率与离心率的关系，如k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 21. 设P 为双曲线X 2- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲线2X ~2a2莒 1（a 0,b 0）的焦点到渐b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为7. 【新题导练】2双曲线— 42y_ 9 1的渐近线方程是A.2 x B. 3C.D.2则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线1有相同的渐近线A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2—=1有公共焦点, 4的双曲线方程是2A .—122y 2421B .—122x24 )2C . 乂242 x12 2 D .— 24 2乂 112双曲线专题练习且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .考点2双曲线的几何性质一、填空题21 .椭圆工9k= 。
双曲线知识点复习总结
双曲线知识点总结复习1. 双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222c a b =+），焦点在y 轴上时2222-b x a y ＝1（0a b >>）。
双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=>这样设的好处是为了计算方便。
（2）等轴双曲线：（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。
）例一：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。
）思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线2. 双曲线的几何性质：（1）双曲线（以）（0,01-2222>>=b a by a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=，双曲线⇔1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。
⑥通径22b a（2）渐近线：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为：等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程11122=--+ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________例四：双曲线1422=+by x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________例五：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作直线PF 垂直于该双曲线的一条渐近线l 于)36,33(P ．求该双曲线的方程为：3．直线与双曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交或直线与渐近线平行。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
双曲线 2025年高考数学基础专项复习
2.待定系数法
（1）若焦点位置不确定时,先确定焦点位置在 轴还是 轴上，设出标准方程，再由题中条件确定 , 的值，即“先定型，再定量”；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为 .
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（2）常见设法①与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为 ;②若双曲线的渐近线方程为 ,则双曲线方程可设为 ;
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③与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为 （ ，且 ）;④与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为 .
教材素材变式
1.［人A选必一P121练习第3题变式］已知方程表示双曲线，则 的取值范围是( )
D
A. C. D.
【解析】由题意得,解得或 ,故选D.
2.［多选］［人A选必一P108例3变式］设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点 ，且它们的斜率之积为常数 ，则下列结论正确的是( )
A
图1
图2
A. B. C. D.
【解析】设双曲线与圆在第一象限的交点为,由题意可知,为坐标原点,点在直线上,圆 的直径为6,半径为3,故圆的方程为,联立得解得,则,.因为,所以 ,设双曲线的方程为,将,,的坐标分别代入并解方程组得, ,所以双曲线的方程为 ,故选A.
5.中等［人A选必一P128习题3.2第11题变式］已知,分别为直线和上的点，且（ 为坐标原点）的面积为2，则线段的中点 的轨迹方程为( )
图2
图1
变式1 变设问如图，设双曲线的左焦点和右焦点分别是 ， ，点是 右支上的一点，则 的最小值为( )
C
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】由双曲线可得,,所以,所以, .由双曲线的定义可得,所以,所以 .由双曲线的性质可知,（双曲线上的点到焦点的距离都不小于）令,则,所以 .令,则在上单调递增,（易忽视 的范围,错误地使用基本不等式求最值）所以当时,取得最小值，为,此时点为双曲线的右顶点,故 的最小值为7.
专题复习：双曲线
第七讲 双曲线一、学习目标1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 3．了解圆锥曲线的简单应用． 4．理解数形结合的思想． 二、疑 难 辨 析1．关于双曲线的定义(1)集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，其中|F 1F 2|＝2c ，a >0，c >0，a ，c 为常数，则集合P 表示以F 1，F 2为焦点的双曲线．( )(2)集合P ＝{M ||MF 1|－|MF 2|＝2a,0<2a <|F 1F 2|}，其中|F 1F 2|＝2c ，a >0，c >0，a ，c 为常数，则集合P 表示以F 1，F 2为焦点的双曲线．( )2．关于双曲线的方程(1)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(2)方程mx 2＋ny 2＝1(mn <0)表示的曲线是双曲线．( ) 3．关于双曲线的几何性质(1)双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(2)双曲线的离心率越小，双曲线的开口越宽阔．( ) 4．关于特殊双曲线(1)等轴双曲线的渐近线互相垂直、离心率等于 2.( )(2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1.(本题中的两条双曲线称为共轭双曲线)( )三、典例分析例1、(1)[2012·三明联考] 若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6(2)[2012·湖南卷] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 例2、 (1)[2012·浙江卷] 如图8－50－1所示，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )图8－50－1A.233 B.62C. 2D. 3 例3、已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y ＝43x ，右焦点F (5,0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点(不同于A 1，A 2)，直线A 1P ，A 2P 分别与直线l ：x ＝95交于M ，N 两点．(1)求双曲线的方程； (2)求证：FM →·FN →为定值． 四、追踪1．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45 解析：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m . 又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.故选C. 答案：C2．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1解析：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±b ax 上，得a ＝2b .结合c ＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1.答案：A3．(2012·课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C.答案：C4．(2012·福建)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解析：y 2＝12x 的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b 2＝9，b 2＝5，双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y ＝52x 的距离d ＝|5×3－0|5＋4＝ 5. 答案：A5．(2012·浙江)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233 B.62C. 2D. 3 解析：依题意得直线F 1B 的方程为y ＝bcx ＋b ，M 点坐标为(3c,0)，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－c b(x －3c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝bc x ＋b ，y ＝－ba x ，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，解得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，那么可得线段PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2，c 2b ，代入y ＝－c b (x －3c )并整理，可得2c 2＝3a 2，可得e ＝ca ＝32＝62，故应选B. 答案：B6．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：依题意a 2－b 2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，解得x ＝±ab 4a 2＋b 2，故被椭圆截得的弦长为25ab 4a 2＋b 2，又C 1把AB 三等分，所以25ab4a 2＋b2＝2a 3，两边平方并整理得a 2＝11b 2，代入a 2－b 2＝5得b 2＝12，故选C. 答案：C 二、填空题7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______．解析：由题意，双曲线的焦点在x 轴上且m ＞0，所以e ＝m 2＋m ＋4m＝5，所以m ＝2.答案：28．(2013·山东泰安调研)P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－y 215＝1的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.答案：59．(2012·湖北)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝__________.(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝__________. 解析：(1)由图可知，点O 到直线F 1B 2的距离d 与圆O 的半径OA 1相等， 又直线F 1B 2的方程为x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0.所以d ＝bc b 2＋c2＝a ，整理得b 2(c 2－a 2)＝a 2c 2，即(c 2－a 2)2＝a 2c 2，得c 2－a 2＝ac . 所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)． (2)连接OB (图略)，设BC 与x 轴的交点为E ，由勾股定理得|BF 1|＝c 2－a 2＝b . 由等面积法得|BE |＝|F 1B ||OB ||F 1O |＝abc，则|OE |＝|OB |2－|BE |2＝a 2c.进一步得到S 2＝2|OE |·2|EB |＝4a 3bc2.又因为S 1＝12|F 1F 2||B 1B 2|＝2bc ，所以S 1S 2＝c 32a 3＝12e 3＝5＋22.答案：(1)5＋12；(2)5＋22三、解答题10．(2013·安徽质检)已知点M 是圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝12上的动点，点A (2,0)，线段AM 的中垂线交直线MB 于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线C 交于R ，S 两点， D (0，－1)，且有|RD |＝|SD |，求m 的取值范围．解析：(1)由题意得|PM |＝|PA |，结合图形得||PA |－|PB ||＝|BM |＝23，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线，且2a ＝23，a ＝3，c ＝2，于是b ＝1，故P 点的轨迹C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，(*)由直线与双曲线交于R ，S 两点，显然1－3k 2≠0，Δ＝(6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，设x 1，x 2为方程(*)的两根，则x 1＋x 2＝6km1－3k 2，设RS 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2，故线段RS 的中垂线方程为y －m1－3k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3km 1－3k .将D (0，－1)代入化简得4m ＝3k 2－1，故m ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1－3k 2＞0，4m ＝3k 2－1.消去k 2即得m 2－4m ＞0，即得m ＜0或m ＞4， 又4m ＝3k 2－1≥－1，且3k 2－1≠0， ∴m ≥－14，且m ≠0，∴m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)． 11．(2013·云南检测)双曲线S 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝62，直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433. (1)求双曲线S 的方程；(2)设经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线与双曲线S 交于A ，B 两点，且以A ，B ，P (0,1)为顶点的△ABP 是以AB 为底的等腰三角形，求k 的值．解析：(1)根据已知设双曲线S 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝c a ＝62，∴c ＝62a ，b 2＝c 2－a 2＝a 22.∴双曲线S 的方程可化为x 2－2y 2＝a 2，∵直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433，右焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫62a ，0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×6a 2＋523＝433，解方程得a ＝ 2.∴双曲线S 的方程为x 2－2y 2＝2.(2)经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线的方程为y ＝k (x ＋2)． 根据已知设A (x 1，kx 1＋2k )，B (x 2，kx 2＋2k )，则AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，k (x 1＋x 2)＋4k 2，△ABP 是以AB 为底的等腰三角形⇔PM ⊥AB .①如果k ＝0，直线y ＝k (x ＋2)与双曲线S 交于(－2，0)，(2，0)两点，显然满足题目要求．②如果k ≠0，由PM ⊥AB 得k ×k PM ＝－1. ∵k PM ＝k (x 1＋x 2)＋4k －2x 1＋x 2，∴k ×k (x 1＋x 2)＋4k －2x 1＋x 2＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2y 2＝2，y ＝k (x ＋2)得(1－2k 2)x 2－8k 2x －8k 2－2＝0.根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－2k 2≠0，Δ＝64k 4＋4(1－2k 2)(8k 2＋2)＝16k 2＋8＞0，∴k ≠±22. ∵x 1＋x 2＝8k21－2k2，∴k PM ＝k (x 1＋x 2)＋4k －2x 1＋x 2＝2k 2＋2k －14k. ∴k ×k PM ＝k ×2k 2＋2k －14k 2＝2k 2＋2k －14k ＝－1，即2k 2＋6k －1＝0， 解方程得k 1＝－3－112，k 2＝－3＋112.综上，k ＝－3－112，或k ＝0，或k ＝－3＋112.12．(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解析：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ， ∵直线PQ 与已知圆相切，∴|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )， ∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |＞22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，∴|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1. 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，∴1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．。
双曲线的复习资料精华版
由标准方程2x~2ay的绝对2y21，从横的方向来看，直线b2x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，圆那样是封闭曲线2.顶点顶点：A1(a,0), A2 a,0特殊点：B1(0, b),B2 0, b实轴：AA2长为2a, a叫做半实轴长+虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长•2.双曲线的标准方程：2 2x y2 2 1 (a>0, b> 0).a b1.范围、对称性双曲线c2= a2+ b2焦点在x轴上，焦点是F1(—c, 0)、F2(C, 0).双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又3..渐近线经过A2、围成一个矩形焦点在y轴上，焦点是F1(0, —c)、F2(0, C).主曰差异+A1作y轴的平行线x=± a，经过B2、(如图).两条直线2x叫做双曲线—a2 yb21的渐近线.2y_2a1 (a > 0, b > 0)的渐近线为四条直线2 2y x1 (a > 0, b> 0).a= b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：yx ; (2)渐近线互相垂直；(3)离心率e , 2 .等轴双曲线可以设为：x 2 y 2(0)，当0时交点在x 轴，当0时焦点在y 轴上*5 •共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为y b x kb x(k 0)，那么此双曲线方程就 a kar 曰疋疋：x 2 (kO?2y (kb)21(k 0)或写成2x~2ab 26.补充性质：焦半径：双曲线上任意一点与焦点所连的线段叫做双曲线的焦半径。
义，我们可以很容易地推导出双曲线的焦半径公式。
)(利用双曲线的第二定MF i a ex 07.离心概念：双曲线的焦距与实轴长的比e 三-，叫做双曲线的离心率*范围：e 12a a双曲线形状与e 的关系：k -a4 •等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大， 这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
文数双曲线复习专题
文数专题汇编之双曲线一、选择题1.若双曲线C：-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足=0的点P依次记为P1、P2、P3、P4，则四边形P1P2P3P4的面积为（）A. B.2 C. D.22.已知以O为中心的双曲线C的一个焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，若△OMF为等腰直角三角形，则C的离心率等于（）A. B. C. D.3.已知双曲线过点（2，3），其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（）A. B. C. D.4.在双曲线的两条渐近线上各取一点P，Q，若以PQ为直径的圆总过原点，则C的离心率为（）A.3B.C.D.5.已知双曲线上有不共线三点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，若满足OD，OE，OF的斜率之和为-1，则=（）A.2B.C.-2D.36.设A1，A2分别为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的上下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率k•k，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A.（0，）B.（1，）C.（，+∞）D.（1，）7.已知直线l：4x+3y-20=0经过双曲线的一个焦点，且与其一条渐近线平行，则双曲线C的实轴长为（）A.3B.4C.6D.88.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（）A. B. C. D.9.已知双曲线Γ：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx-kc．若k=，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若k=，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（）A.（1，2）B.（1，4）C.（2，4）D.（4，16）10.双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A.y=±3xB.C.y=±2xD.11.设双曲线右焦点为F，过F作与x轴垂直的直线l与两条渐近线相交于A、B两点，P是直线l与双曲线的一个交点．设O为坐标原点．若有实数m、n，使得，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.在平面直角坐标系x O y中，已知双曲线C1：2x2-y2=1，过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积（）A. B. C. D.13.已知F是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（）A.3B.4C.5D.614.已知双曲线，过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心率为（）A.2B.C.D.15.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|=，则E的离心率是（）A.2B.C.D.16.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）A. B. C. D.17.已知双曲线C：=1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=且，则双曲线C的离心率为（）A.2 B. C. D.318.设F是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.219.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.（1，2）B.（2，+∞）C.（1，）D.（，+∞）20.设F1，F2分别为-=1（a＞0，b＞0）双曲线a≥1的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.4 D.二、填空题21.过双曲线-=1（a＞b＞0）的左焦点F1作斜率为1的直线，分别与渐近线相交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为 ______ ．22.过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为 ______ ．23.双曲线C：与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，直线AB 恰好经过它们的公共焦点F，则双曲线的离心率为 ______ ．24.设P是双曲线-=1上一动点，过点P向圆x2+y2=2作两条切线（P在圆外），这两条切线的斜率分别为k1、k2，则k1k2= ______ ．25.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ______ ．26.双曲线M：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线x=a与双曲线M 渐近线交于点P，若sin∠PF1F2=，则该双曲线的离心率为 ______ ．27.已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，则的最小值为 ______ ．29.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点B（0，b），若线段AB 的垂直平分线过右焦点F，则双曲线C的离心率为 ______ ．30.已知双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的焦距为 ______ ．31.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 ______ ．33.在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是 ______ ．34.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是 ______ ．36.方程表示双曲线，则m的取值范围是 ______ ．37.若双曲线+=1的离心率为2，则m的值是 ______ ．38.设m是常数，若点F（5，0）是双曲线+=1的一个焦点，则m= ______ ．39.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 ______ ．三、解答题41.已知双曲线，过P（2，0）且倾斜角为30°的直线l与双曲线相交于A，B两点（1）写出直线l的参数方程．（2）求|PA|+|PB|的值．42.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程．43.（1）若抛物线的焦点是椭圆左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）若某双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程．。
(完整版)双曲线专题复习(精心整理).
《圆锥曲线》 ---------双曲线主要知识点1、双曲线的定义 :(1)定义： _____________________________________________________________(2)数学符号： ________________________(3)应注意问题：2、双曲线的标准方程：图像标准方程不一样点同样点注意：怎样依据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，怎样求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程焦点焦距性范围极点质实轴虚轴对称性离心率渐近线注意：（ 1）怎样比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？（3）当a b时，双曲线有什么特色？4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是x2y21 (a 0, b 0)x2y21(a 0, b 0) ），a2b2（或2a2b则渐近线方程为________________________________________________________________ ；②已知渐近线方程为 bx ay0 ，则双曲线的方程可表示为__________________________ 。
（2）待定系数法求双曲线的方程x2y21 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________ ；①与双曲线b2a2②若双曲线的渐近线方程是y b_____________________ ；x ，则双曲线的方程可表示为ax2y21 共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________ ；③与双曲线b2a2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________ ；x2y2⑤与椭圆a2b2 1 (a b 0) 有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________ 。
高二数学双曲线复习专题及考试题型
双曲线---专项复习 【1、基本知识点】 双曲线的第一定义： 双曲线的第二定义：注意点：（1）双曲线定义中，“距离的差”一定要加绝对值，否则只表示双曲线的一支。
（2）定义中的小于||21F F 这一限制条件 标准方程：【2、几何性质】【 3、弦长公式】1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则221212()()AB x x y y =-+-，()22221212121141||AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+， 若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则()21212122211114AB y y y y y y k k =+-=++-。
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。
3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121ky y +-。
4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 【4、常见双曲线题型】题型一 双曲线定义的应用1、如图所示，在△ABC 中，已知|AB|=42，且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 ：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-22,0)、B(22 , 0 )．由正弦定理得sinA =2a R ，sinB =2b R ，sinC =2c R . ∵2sinA+sinC=2sinB ，∴2a+c=2b ，即b -a=2c .从而有|CA| - |CB|=21|AB|=22<|AB|.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a=2，c=22，∴b 2= c 2 - a 2= 6.所以顶点C 的轨迹方程为221,26x y -= (x>2)． 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF 1|-|PF 2||=2a ，而|PF1|-|PF2|=2a 表示一支．2、P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝9，求|PF2|的值．解 在双曲线x216－y220＝1中，a ＝4，b ＝2 5.故c ＝6.由P 是双曲线上一点， 得||PF1|－|PF2||＝8. ∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c －a ＝2，得|PF2|＝17.3、已知双曲线116922=-y x 的左右焦点分别是1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得02190=∠PF F ,求21PF F ∆的面积。
(完整版)双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线基本知识点直线和双曲线的位置双曲线12222=-byax与直线y kx b=+的位置关系：利用22221x ya by kx b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长2212121()4AB k x x x x=++-通径：21AB y y=-补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；（2）其标准方程为x^2-y^2=C，其中C≠0；（3）离心率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为（ ） Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习二:双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准方程为 。
高考复习—双曲线相关知识点概要
第一部分双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F1与F2 的距离之差的绝对值等于定长（< |F1F2|）的点的轨迹（PF1 PF2 2a F1F2 （a为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a<|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|－|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2 为端点向外的两条射线；当2a> | F1F2| 时，动点轨迹不存在.2 2 2 22.双曲线的标准方程：x2y2 1和y2x2 1（a>0，b>0）.这里b2 c2 a2，a2b2a2b2其中| F1F2|=2c. 要注意这里的a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：221(a 0,b 0) 的内部x02y20 1.a 2b2221(a 0,b 0) 的外部x02y20 1.ab四．双曲线的简单几何性质x 2y2(1) 点P( x0 , y0)在双曲线点在2 2 2 2 yby 2 2 2 2 2x2x三. 双曲线的方程与渐近线方程的关系22x 2y21 渐近线方程：a2b2y bx a2（1 ）若双曲线方程为22xy22abaxby 0 双曲线可设为2x2aby x.a2y.b2.2（3）若双曲线y2 1有公共渐近线，a b2轴上，0，焦点在y 轴上）. 2 可设为x2 a22yb2 焦点在xx2－y2=1（a>0，b> 0）a2b2⑴范围：|x|≥a，y∈R⑵对称性：关于 x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点 A 1（－ a ， 0），A 2（ a ， 0） ⑷渐近线： x2 y 2x2 y 2①若双曲线方程为 2 2 1 渐近线方程 2 2 0 y xa b a b a22 ②若渐近线方程为 y bx x y 0 双曲线可设为 x 2 y 2a ab a 2 b 222 2 2③若双曲线与 x 2y2 1有公共渐近线，可设为 x 2y2（ 0 ，焦点a bab在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上）222 2④与双曲线 x2 y2 1共渐近线的双曲线系方程是 x2 y2 （ 0）a 2b 2a 2 b22222⑤与双曲线 x2y 21共焦点的双曲线系方程是 2x2y 1 a2 b 2a 2 kb 2k6.弦长公式：若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A 、B ，且x 1,x 2分别五．双曲线 x 2 y 2 1(a,b 0) 与 y 2x 2 1(a,b 0) 的区别和联系a2b 2a2 b 22 2 2 2为A、B的横坐标，则AB＝ 1 k2 x1 x2 ，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝y1 y2 。
期末专题复习-双曲线
5、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法
6、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：
（1）根据已知条件设合适的直线方程
（2）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y或x
(3)求出判别式，并设点使用韦达定理
（4）若求弦长使用弦长公式；
期末专题复习：双曲线
一、双曲线的定义、双曲线的标准方程和性质
双曲线的图象和性质
双曲线定义
若 为双曲线上任意一点，则有 (2a<2c)
若 =2c,则点M的轨迹为两条射线
若 >2c,则点M无轨迹
焦点位置
x轴
y轴
图形
标准方程
焦点坐标
F1(c, 0 ), F2( c, 0 )
F1(0,c, ), F2( 0, c )
12、设P是双曲线 右支上的一点，M和N分别是圆 上的点，则 的最大值为。
对称轴
关于x轴、y轴和原点对称
离心率
(e>1)
范围
,
渐近线
2、判断双曲线是x型还是y型只要看 前的符号是正还是 前的符号是正，若 前的符号为正则x型，若 前的符号为正则y型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为
3、求双曲线方程一般用待定系数法，先判定双曲线是x型还是y型，若为x型则可设为 ，若为y型则可设为 ，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：
（1）与椭圆 有公共焦点，且离心率
（2）与双曲线 有共同的渐近线，且过点
（3）与双曲线 有公共焦点，且过点
10、已知双曲线 （ )的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF（O为原点）是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为。
双曲线专题复习(附答案).doc
双曲线专题考点1双曲线的定义及标准方程题型L运用双曲线的定义21.设P为双曲线X2-^— = }上的一点F|、F?是该双曲线的两个焦点，若|PF,|： |PF2|=3： 2,贝O A PF,F2的面积为12（）A. 6A/3B. 12C. 12-\/3D. 24解析：a = l,b =厄c = g由|Pg|:|Pg|=3:2 ①又\PF}\-\PF2 1= 2。
= 2,②由①、②解得|P鸟|=6,哗 |= 4.・."再\2+\PF2『=5ZI昭St. . PF】F?为直角三角形，•.•S AP时，=-|PF, |-|PF2 |= L X 6X4=12.故选B。
2 2X2 v22.P是双曲线土—土 = 1（。
〉0,人>0）左支上的一点，F|、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c,则AP4凡的内/ /?-切圆的圆心的横坐标为（）（A）—a（B）-h（C）—c（D）a + h-c［解析］设△Pg%的内切圆的圆心的横坐标为工°，由圆的切线性质知，PF^ — PR =| c — x（）| — | 天）—（―c） |= 2a => 天）=~a 题型2求双曲线的标准方程X2 y2f—3.己知双曲线C与双曲线\—二二1有公共焦点，且过点（3扼，2）.求双曲线C的方程.16 42 2［解析］解法一：设双曲线方程为二一仁二1.由题意易求c=2V5.ci~ b~又双曲线过点（3扼，2）,一兰二1. a2 b2又・.•/+序=（2妁2,・・.表12,度=8.X2 V2故所求双曲线的方程为壬一：二1.12 o2 2解法二：设双曲线方程为= 1, 16-k 4 + k2 2将点（3石，2）代入得妇4,所以双曲线方程为壬一：=1.12 84.己知双曲线的渐近线方程是），=±号，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为［解析］设双曲线方程为/ 一4、2 =人,当人>0时，化为—-^ = 1, /.2J —=10.-./1 = 20,九4 V 4 4 当人<0时，化为土 —二=1人-A4..•2苧=10.・.人=—20,22综上，双曲线方程为土-匕=1或--—=120 5 5 205.以抛物线尸=8& 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线是x ±^y = 0的双曲线方程为.［解析］抛物线y 2 = 8A /3X 的焦点F 为时,0）,设双曲线方程为J —3；/=人，.・.牛二（2占尸.・.人=9 ,双曲22线方程为—-^- = 19 36 .己知点M （—3,0）, N （3,0）, B （l,0）,动圆C 与直线枷切于点B,过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P,则P 点的轨迹方程为A. x~ —= 1(X < — 1)822B. x~ —-- — 1 (x > 1)C. x~ + -— — 1 (x> 0)8 8D. x~ —-— = 1 (x >1)［解析1PM —PN = BM —BN =2, F 点的轨迹是以M 、N 为焦点、,实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2双曲线的几何性质 题型1求离心率或离心率的范围7.已知双曲线十一± = 1,（。
双曲线知识点总结及练习题
一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长＜|F 1F 2|的点的轨迹21212F F a PF PF <=-a 为常数;这两个定点叫双曲线的焦点; 要注意两点：1距离之差的绝对值;22a ＜|F 1F 2|;当|MF 1|－|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时,动点轨迹不存在;2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 准线2ca 的距离之比是常数ee ＞1时,这个动点的轨迹是双曲线;这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程222a c b -=,其中|1F 2F |=2c焦点在x 轴上：12222=-b y a x a ＞0,b ＞0焦点在y 轴上：12222=-bx a y a ＞0,b ＞01如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上; a 不一定大于b ;判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上2与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,则弦长ab AB 22||=;3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线12222=-by a x a ＞0,b ＞0上有一动点00(,)M x y左焦半径：r=│ex+a │ 右焦半径：r=│ex-a │当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex=-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号,右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-,2||MF c a =+,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+,2||MF c a =-七、等轴双曲线12222=-b y a x a ＞0,b ＞0当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1; a b =； 2;离心率2=e ；3;两渐近线互相垂直,分别为y=x ±； 4;等轴双曲线的方程λ=-22y x ,0λ≠； 八、共轭双曲线以已知的虚轴为,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线;λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . 九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证,如221x y -=点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2、直线与双曲线 代数法：设直线:l y kx m =+,双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得10m =时,b bk a a -<<,直线与双曲线交于两点左支一个点右支一个点； b k a ≥,bk a≤-,或k 不存在时,直线与双曲线没有交点；20m ≠时,k 存在时,若0222=-k a b ,abk ±=,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；相交 若2220b a k -≠,222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时,22220m b a k +->,直线与双曲线相交于两点； 0∆<时,22220m b a k +-<,直线与双曲线相离,没有交点；0∆=时22220m b a k +-=,2222m b k a+=直线与双曲线有一个交点；相切 k 不存在,a m a -<<时,直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=2＞0,b ＞0⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b=±3、若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠;4、若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,则双曲线的方程可设为λ=-2222b y a x 0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=;2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=;3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=;椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线; 椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55;1、A 、B 两点在X 轴上时2、A 、B 两点在Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．图3解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r b r r α=- 即21221cos br r α=+,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α． 十四、双曲线中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB AB 不平行y 轴的中点,则有22AB OM b k k a⋅=证明：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212ABy y k x x -=-,22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-,即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012001222OMy y y y k x x x x +===+,所以22AB OM b k k a⋅= 椭圆中线弦斜率公式22AB OMb k k a⋅=-图1双曲线基础题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2 B．2错误!C．4 D．4错误!2．设集合P＝错误!,Q＝{x,y|x－2y＋1＝0},记A＝P∩Q,则集合A中元素的个数是A．3 B．1 C．2 D．43．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为A．2 B．3 C．4 D．54．双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线的离心率是________．5．中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点4,－2,则它的离心率为6．设双曲线错误!－错误!＝1a>0的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为A．4 B．3 C．2 D．17．从错误!－错误!＝1其中m,n∈{－1,2,3}所表示的圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为8．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆x－32＋y2＝r2r>0相切,则r＝B．3 C．4 D．6图K51－19．如图K51－1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB＝2AD,设∠DAB＝θ,θ∈错误!,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2＝________.10．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________．11．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的一条渐近线方程为y＝错误!x,它的一个焦点为F6,0,则双曲线的方程为________．12．13分双曲线C与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点,且经过点错误!,4．1求双曲线C的方程；2若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝120°,求△F1PF2的面积．13．16分已知双曲线错误!－错误!＝1和椭圆错误!＋错误!＝1a>0,m>b>0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形26分已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝60°,则|PF1|·|PF2|＝A．2 B．4 C．6 D．8双曲线综合训练一、选择题本大题共7小题,每小题5分,满分35分1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．33．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e等于A ．12-B ．2C ．12+D ．22+ 4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．145．双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的右准线上,且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ,则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．37．如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是A ．2212x y q p q +=+B ． 2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q+=+ D ． 2212x y p q q+=-+二、填空题：本大题共3小题,每小题5分,满分15分8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________;9．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线,则k 的取值范围是 ; 10．若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=,则双曲线的焦点坐标是_________． 三、解答题：本大题共2小题,满分30分11. 本小题满分10分双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程;12．本小题满分20分已知三点P5,2、1F －6,0、2F 6,0; 1求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；2设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ,求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.基础热身1．C解析双曲线方程可化为错误!－错误!＝1,所以a2＝4,得a＝2,所以2a＝4.故实轴长为4.2．B解析由于直线x－2y＋1＝0与双曲线错误!－y2＝1的渐近线y＝错误!x平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合A中只有一个元素．故选B.3．B解析双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点是5,0,一条渐近线是3x－4y＝0,由点到直线的距离公式可得d＝错误!＝3.故选B.解析双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线是错误!－错误!＝1,所以a＝3,b＝错误!,所以c＝4,所以离心率e＝错误!.能力提升5．D解析设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1a>0,b>0,所以其渐近线方程为y＝±错误!x,因为点4,－2在渐近线上,所以错误!＝错误!.根据c2＝a2＋b2,可得错误!＝错误!,解得e2＝错误!,所以e＝错误!,故选D.6．C解析根据双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程得：y＝±错误!x,即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0,所以有a＝2,故选C.7．B解析若方程表示圆锥曲线,则数组m,n只有7种：2,－1,3,－1,－1,－1,2,2,3,3,2,3,3,2,其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P＝错误!.故选B.8．A解析双曲线的渐近线为y＝±错误!x,圆心为3,0,所以半径r＝错误!＝错误!.故选A.9．1解析作DM⊥AB于M,连接BD,设AB＝2,则DM＝sinθ,在Rt△BMD中,由勾股定理得BD＝错误!,所以e1＝错误!＝错误!,e2＝错误!＝错误!,所以e1·e2＝1.10．2,＋∞解析依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是60°,90°,所以错误!≥tan60°＝错误!,即b2≥3a2,c2≥4a2,所以e≥2.－错误!＝1解析错误!＝错误!,即b＝错误!a,而c＝6,所以b2＝3a2＝336－b2,得b2＝27,a2＝9,所以双曲线的方程为错误!－错误!＝1.12．解答1椭圆的焦点为F10,－3,F20,3．设双曲线的方程为错误!－错误!＝1,则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点错误!,4,所以错误!－错误!＝1,②解①②得a2＝4,b2＝5或a2＝36,b2＝－27舍去,所以所求双曲线C的方程为错误!－错误!＝1.2由双曲线C的方程,知a＝2,b＝错误!,c＝3.设|PF1|＝m,|PF2|＝n,则|m－n|＝2a＝4,平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中,由余弦定理得2c2＝m2＋n2－2mn cos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝错误!,所以△F1PF2的面积为S＝错误!mn sin120°＝错误!.难点突破13．1B2B解析1依题意有错误!·错误!＝1,化简整理得a2＋b2＝m2,故选B.2在△F1PF2中,由余弦定理得,cos60°＝错误!,＝错误!,＝错误!＋1＝错误!＋1.因为b＝1,所以|PF1|·|PF2|＝4.故选B.一、选择题1．D 2,2PM PN MN -==而,P ∴在线段MN 的延长线上2．C 2222222,2,2,2a c c c a e e c a===== 3．C Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,22PF F F c PF c === 4．A.5． A 思路分析：设),(00y x p ,则1,2,2100000==-=+cy cx yc x y ,命题分析：考察圆锥曲线的相关运算6． C 思路分析：由PM O F =1知四边形OMP F 1是平行四边形,又11(OF OF OP λ=)OMOM +知OP 平分OM F 1∠,即OMP F 1是菱形,设c OF =1,则c PF =1.又a PF PF 212=-,∴c a PF +=22,由双曲线的第二定义知：122+=+=ec c a e ,且1>e ,∴2=e ,故选C .命题分析：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性.7．D ．由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭圆的焦点都在x轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2c p q =--,双曲线的焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.二、填空题8．221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠,焦距2210,25c c == 当0λ>时,221,25,2044x y λλλλλ-=+==；当0λ<时,221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 9．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.10． (7,0) 渐近线方程为my x =,得3,7m c ==且焦点在x 轴上.三、解答题11．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-,点(3,4)P 在椭圆上,2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为225b y x b =-,即2243,1625b b b =⨯=-所以椭圆方程为2214015y x +=；双曲线方程为221169y x += 12．1由题意,可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ,其半焦距6=c ;||||221PF PF a +=56212112222=+++=, ∴=a 53, 93645222=-=-=c a b ,故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； 2点P5,2、1F －6,0、2F 6,0关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F 0,-6、'2F 0,6设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ,由题意知半焦距61=c ,|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=, ∴=1a 52,162036212121=-=-=a c b ,故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x .。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
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《圆锥曲线》---------双曲线主要知识点1、 双曲线的定义:(1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题：2标？3、双曲线的几何性质（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22221(0,0)x y a b b a-=>>），则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。
（2）待定系数法求双曲线的方程①与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；②若双曲线的渐近线方程是by x a=±，则双曲线的方程可表示为_____________________；③与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________；⑤与椭圆22221x y a b+=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________。
5．双曲线离心率的有关问题 （1）ce a=，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。
（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e =。
（3）双曲线离心率及其范围的求法。
①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。
②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；b ．通过判别式∆；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。
6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算（1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？（2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题：考点一：双曲线的定义例1 已知动圆M 与圆C 1：(x+4)2+y 2=2外切，与圆C 2：(x-4)2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.变式训练：由双曲线4922y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.巩固训练：(1). F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.(2).过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ|=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .(3).一动圆与两定圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为A.椭圆B. 双曲线C.双曲线的一支D.抛物线考点二：双曲线的方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；（2）与双曲线41622y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）.变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x ±3y=0, （1）若双曲线经过P （6，2），求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.巩固训练：(1)求与椭圆221255x y +=共焦点且过点的双曲线的方程；(2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程；(3)已知双曲线的离心率e =(5,3)M - ，求双曲线的方程；(4)与双曲线1422=-y x 有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程;(5)已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的两条渐近线方程为x y 33±=，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.(6).已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是__________________. (7).经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的标准方程为___________.考点三：双曲线的几何性质例3 双曲线C ：2222b y a x -=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上存在一点P ，使AP ·PQ =0，求此双曲线离心率的取值范围.变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1·2MF =0；（3）求△F 1MF 2的面积.巩固训练：（1）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：A.1B. 2C.3D.4(2)已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为: A.2 B. 3 C.263 D.233(3)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________.(4)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F (4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x 轴的垂线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，O 为为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为: A. 8 B. 16 C. 20 D. 24考点四：双曲线的离心率例1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1作垂直于X轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△AF 2B 是直角三角形，求双曲线的离心率。
变式训练：1、若△AF 2B 是等边三角形，则双曲线的离心率为__________。
2、若△AF 2B 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
3、若△AF 2B 是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
巩固训练：1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 2作倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。
2、已知F 1、F 2分别是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 2作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。
3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，则k 的取值范围为_______,有两个公共点，则k 的取值范围为_______,有一个公共点，则k 的取值范围为_______,与左支有两个公共点，则k 的取值范围为_______。
考点五：双曲线中的焦点三角形例、设F 1和F 2为双曲线22x y 1169-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600求△F 1PF 2的面积变式训练：设F 1和F 2为双曲线22x y 1169-=的两个焦点，P 是双曲线上一点， 已知∣PF 1∣∣PF 2∣=32,求∠F 1PF 2的余弦值与三角形F 1PF 2面积巩固训练：1. 双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是____________2、已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是 ．3、 设F 1和F 2为双曲线22xy 14-=的两个焦点，P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=900, 则三角形F 1PF 2面积是4、设F 1和F 2为双曲线22x y 1169-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600则P 点到F 1和F 2两点的距离之和为___________5、已知双曲线C 2222x y 1a b-=（a>0,b>0）的两个焦点为F 1(-2,0) ,F 2(2,0),点P （3双曲线C 上（1）求双曲线C 的方程（2）记O 在坐标原点，过Q （0，2）的直线L 与双曲线C 相交于不同的两点E,F ，若△OEF 的面积22，求直线L 的方程考点六：直线和双曲线的位置关系例4. 已知曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率233e =，直线l 过A (a ，0)、B (0,)b -两点，原点O 到l 的距离是3。
(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=⋅ON OM ，求直线m 的方程。
变式训练：直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.巩固训练：1、已知双曲线2222x y -=的左、右两个焦点为1F , 2F ，动点P 满足|P 1F |+|P 2F |=4.求动点P 的轨迹E 的方程；设过2F 且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，问：终段O 2F 上是否存在一点D ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.2、已知双曲线C ：λ-12x -λ2y =1（0＜λ＜1）的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON =0，其中点O 为坐标原点.3、已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0. (1)求双曲线C 的方程;(2)若以k(k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281,求k 的取值范围.。