双曲线专题复习(精心整理)

《圆锥曲线》---------双曲线

主要知识点

1、 双曲线的定义:

(1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题：

2

标？

3、双曲线的几何性质

（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法

（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系

①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22

221(0,0)x y a b b a

-=>>），

则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。 （2）待定系数法求双曲线的方程

①与双曲线22

221x y a b

-=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；

②若双曲线的渐近线方程是b

y x a

=±

，则双曲线的方程可表示为_____________________；

③与双曲线22

221x y a b

-=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；

④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________；

⑤与椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为

______________________________________________________________________________。

5．双曲线离心率的有关问题 （1）c

e a

=

，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。 （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e =

。

（3）双曲线离心率及其范围的求法。

①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。

②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求

值域或解不等式来完成；b ．

通过判别式∆；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。

6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算

（1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？

（2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题：

考点一：双曲线的定义

例1 已知动圆M 与圆C 1：(x+4)2+y 2=2外切，与圆C 2：(x-4)2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的

轨迹方程.

变式训练：由双曲线4

92

2y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2

的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.

巩固训练：(1). F 1、F 2是双曲线162

x －20

2y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距

离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.

(2).过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ|=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .

(3).一动圆与两定圆12

2

=+y x 和01282

2

=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为

A.椭圆

B. 双曲线

C.双曲线的一支

D.抛物线

考点二：双曲线的方程

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线16

92

2y x -

=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；

（2）与双曲线4

162

2y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）.

变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x ±3y=0, （1）若双曲线经过P （6，2），求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.

巩固训练：(1)求与椭圆

22

1255

x y +=共焦点且过点的双曲线的方程；

(2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程；

(3)已知双曲线的离心率e =(5,3)M - ，求双曲线的方程；

(4)与双曲线14

2

2

=-y x 有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程;

(5)已知双曲线12222=-b

y a x (a >0,b >0)的两条渐近线方程为x y 33

±=，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.

(6).已知方程

22

121

x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是__________________. (7).经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的标准方程为___________.

考点三：双曲线的几何性质

例3 双曲线C ：

2

22

2b y a x -=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上存

在一点P ，使AP ·PQ =0，求此双曲线离心率的取值范围.

变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1·2MF =0；（3）求△F 1MF 2的面积.

巩固训练：（1）已知双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°

的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：

A.1

B. 2

C.3

D.4

(2)已知双曲线2221(2x y a a -

=>的两条渐近线的夹角为3

π

，则双曲线的离心率为: A.2 B. 3 C.263 D.23

3