高三文科数学暑假作业2

高三文科数学暑假作业(2)命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

2．(2014·广州市培正中学模拟)“a＝1”是“(a－1)(a－2)＝0”成立的()

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中的真命题为()

A．①②B．②③C．①③D．③④

4．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”是“0≤a≤1”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．(2014·桂林模拟)已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()

A．a＜5 B．a≤5 C．a＞5 D．a≥5

二、填空题(每小题共5分，共15分)

7．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

8．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

9．若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

11．(12分)设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝3

x－1的定义域为

集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0.且α是β的充分不必要条件，求实数p的取值范围．

命题及其关系、充分条件与必要条件答案

1.【解析】 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

【答案】 B

2.【解析】 当a ＝1时，(a －1)(a －2)＝0，反之当(a －1)(a －2)＝0，则a ＝1或a ＝2，故“a ＝1”是“(a －1)(a －2)＝0”成立的充分非必要条件． 【答案】 A

3.【解析】 “若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；若q ≤1⇒4－4q ≥0，即Δ＝4－4q ≥0，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．故选C. 【答案】 C

4.【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且 a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件． 【答案】 A

5.【解析】 关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A. 【答案】 A

6.【解析】 由题意可知A

B ，又A ＝{x |x ＞5}，B ＝{x |x ＞a }，如图所示，由图可知a ＜5.

7.【解析】 由Δ＝1＋4m ≥0得m ≥－1

4

，故原命题及其逆否命题是真命题，

逆命题“若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m ＞0”，是假命题； 从而否命题也是假命题．故共有2个真命题．

8.【解析】 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根，且n ∈N ＋，∴x ＝4±16－4n 2

＝2±4－n ，

∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；

当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4.

9.【解析】 p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3， q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋3

2

.

由题意知p ⇒q ，q

p ，由数轴可知

m ＋3

2

≥3，解得m ≥3. 10.【解】 (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )． 该命题是真命题，证明如下：

∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a .

又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． ∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，

因此f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )， ∴否命题为真命题．

(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0. 真命题，可证明原命题为真来证明它．

因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，

∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，

故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．

11.【解】 依题意，得A ＝{x |x 2－x －2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，

B ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

3x －1≥0＝(0,3]，∴A ∩B ＝(2,3]． 设集合C ＝{x |2x ＋p ≤0}， 则x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－p

2. ∵α是β的充分条件，∴(A ∩B )是C 的真子集 则需满足3≤－p

2

⇒p ≤－6.

∴实数p 的取值范围是(－∞，－6]．

1. 判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．

2一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定.进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．