非线性有限元分析(学习总结报告)

非线性有限元
博士研究生专业课课程报告
目录
第一章绪言 (1)
1.1 非固体力学非线性问题的分类[1] (1)
1.2 非线性问题的分析过程[1] (2)
1.3 非线性有限元分析的基本原理 (2)
1.4 钢筋混凝土非线性分析的特点、现状及趋势 (3)
第二章非线性方程组的数值解法 (4)
2.1逐步增量法[3,4,5] (4)
2.2迭代法[3,4,5] (6)
2.3收敛标准 (8)
2.3.1.位移收敛准则 (8)
2.3.2.不平衡力收敛准则 (8)
2.3.3.能量收敛准则 (9)
2.4结构负刚度的处理[4,5] (9)
第三章材料的本构关系 (13)
3.1 钢筋的本构关系 (13)
3.1.1 单向加载下的应力应变关系 (13)
3.1.2 反复加载下的应力应变关系 (14)
3.2 混凝土的本构关系 (14)
3.2.1 单向加载下的应力应变关系 (14)
3.2.2 重复加载下的应力应变关系 (14)
3.2.3 反复加载下的应力应变关系 (14)
3.3 恢复力模型的分类 (14)
3.4 恢复力的获得方法 (15)
第四章非线性有限元在结构倒塌反应中的应用 (17)
4.1 钢筋混凝土结构倒塌反应研究现状 (17)
4.2 钢筋混凝土的有限元模型 (17)
4.2.1分离式模型 (18)
4.2.2组合式模型 (19)
4.2.3整体式模型 (20)
4.3 倒塌反应中RC结构有限元分析方法的选择 (20)
4.3.1隐式有限单元法 (21)
4.3.2显式有限单元法 (22)
4.4 钢筋混凝土框架结构的倒塌反应分析 (22)
4.4.1基于隐式有限单元法的倒塌分析 (22)
4.4.2 基于显式有限单元法的倒塌分析 (23)
4.5显式有限法在倒塌反应分析中的问题 (24)
第一章绪言
1.1 非固体力学非线性问题的分类[1]
从本质上讲，所有固体力学问题都是非线性的，很少有解析解，线性弹性力学问题只是实际问题的一种简化假定。

在有限元分析中，线性化假设通常包含以下内容：第一，节点位移为微小量；第二，材料是线性弹性的：第三，物体运动或变形过程中，边界条件的性质保持不变。

上述三个假设中的任何一个不满足，都属于非线性问题。

有鉴于此，我们通常把固体力学非线性问题分成三大类，即材料非线性、几何非线性和边界条件非线性。

一、材料非线性
材料非线性是指材料的物理定律是非线性的，简单地说，就是材料的应力应变关系是非线性的。

通常，位移分量仍假设为无限小量，即应变位移间满足线性关系。

材料非线性问题一般分成两大类，第一类是非线性弹性问题，橡皮、塑料、岩石等材料的应力应变关系在很小的应变下就表现出明显的非线性性质。

非线性弹性问题的一个重要特点是所有变形卸载后都是可以恢复的。

另一类是具有不可逆的塑性变形的材料非线性问题，如弹塑性问题、粘弹塑性问题等，岩土工程中的软粘土和屈服以后的钢材都属于这类材料。

二、几何非线性
几何非线性问题一般指的是大位移问题，或者结构内部的应变较大，或者结构经历了较大的刚体位移(如平动或转动)但应变分量仍假设为微小，此时假定应力—应变关系仍然是线性的。

大多数的大位移问题都属于后者，只有在材料出现塑性变形时，以及类似橡皮这样的材料才会遇到大的应变。

一般的，几何非线性问题的应变和位移间不再满足线性关系。

几何非线性问题的另一个表现是，平衡方程必须相对于预先未知的变形后的几何位置给出。

实际上，所有问题的平衡都是在变形后的位置上达到的，因此必须用己变形的位置写出它的平衡方程。

在弹性力学中，由于假设位移很小，且假定问题的基本特征不因变形而改变，因此不需要严格区分平衡方程是基于变形前还是变形后的位置写出的。

必须理解，位移的大小并不是区分几何线性和非线性的惟一标准。

压杆失稳后的变形研究、板壳大挠度问题等均属于几何非线性问题。

三、边界非线性
边界非线性问题的非线性效应是由于边界条件随物体的运动发生变化所引起的。

其中最典型的例子是接触问题和随动荷载问题。

实际上，几乎所有力学问题都或多或少地存在边界非线性，特别是在支座连接处。

只是大部分情况下，由于这种非线性对结构的内力和变形影响很小而被忽略了。

而机械加工过程中的边界非线性效应往往是不可忽略的。

关于非线性问题的分类，有两点是必须注意的：第一，不可能存在一个明确、不变的定量标准可以作为材料、几何或边界非线性的判断依据。

分析人员必须依据实际的工程问题进行判断。

第二，实际的非线性问题很难简单地归纳为某一类非线性，一般的情况是，物体的位移和应变都不是无限小量，本构关系也是非线
性的，同时边界条件也可能随变形的发展而改变，这就大大地增加了问题分析的困难。

为简化分析，抓住主要的非线性影响因素，必须将一些对物体运动和变形影响不大的非线性因素线性简化。

1.2 非线性问题的分析过程[1]
应用有限元法分析线性问题和非线性问题，其基本步骤大体相同，但由于非线性的引入，具体分析过程中会有所不同：
1. 单元分析。

与线性问题相比，非线性问题在单元刚度形成时有很大差别：当仅为材料非线性问题时，应使用材料的非线性本构关系；而当仅为几何非线性问题时，在计算应变—位移矩阵[B]时，应计及位移的高阶导数项的影响。

同时，对于所有的积分，应考虑单元体积的变化。

在兼有几何非线性和材料非线性的两种非线性问题，即是大位移、大应变的情况，而应力—应变关系也是非线性的，则应考虑这两种非线性的耦合效应。

2. 整体分析。

整体分析中单元刚度矩阵的组集和边界条件的处理，大体上也同于线性问题，只是对整体的刚度方程通常是写成增量形式。

3. 方程组求解。

非线性有限元分析最终归结为求解非线性方程组，与线性方程组的求解有很大差别。

长期以来，人们做了大量的研究工作归结出两类结构非线性分析方法。

一类是极限分析方法，这一方法假设材料为刚塑性，忽略材料的弹性变形和强化效应。

按这种理论求解结构的极限荷载、应力分布区及结构的满足塑性流动法则和机动条件的破坏机构，方法简单明了，但它不能得到结构从加载到破坏全过程的应力应变状态及其发展规律，也不能反映裂缝的分布与发展。

另外这种方法无法进行极限状态变形及极限状态后的大变形计算，不能满足抗震工程发展的需要。

现在最流行的非线性分析方法是有限元分析，这种方法以弹塑性变形理论为基础，能够给出结构内力和变形发展的全过程，能描述裂缝的形成和扩展，以及结构的破坏过程及形态。

1.3 非线性有限元分析的基本原理
有限元分析是以变分原理和加权余量法为理论基础，以下以材料非线性为基础简单的介绍下非线性有限元的基本原理。

如果把结构离散成有限个单元的集合体，并取出任意单元e ，则单元e 上任意点的位移函数为：
()e f N δδ= （1.1）
式中，N 为单元形函数矩阵，e δ为单元结点的位移
如果把结构分为M 个计算单元，则每一个单元的总势能泛函[2]可表示为：
{}[]{}{}{}{}1()2T T p e e e e e e e
V k V V f f ∏=-+ (1.2)
式中{}e V 为单元位移列阵，[]e k 为单元刚度矩阵，{}e f 为单元荷载列阵，
{}p e f 为塑性变形引起的单元附加荷载列阵；
则结构总的势能泛函为
{}[]{}{}{}12
T T V G V V F ∏=- （1.3） 利用变分原理可得结构方程：
[]{}{}G V F = （1.4）
其中，[]G 为结构总体刚度矩阵，由单元刚度矩阵组装而成；{}V 为结构总的结
点位移向量；
{}F 为经过移值转化而成的结点荷载向量。

在线弹性有限元分析中，（1.4）式的[]G 为常值矩阵，当结构变形过大，进入材料非线性阶段后，单元刚度不再是常数而是变形的函数，因此，[
]G 也为{}V 的函数，随着{}V 的变化
而变化，（1.4）式即变为： (){}{}G V V F =⎡⎤⎣⎦ （1.5）
上式即为由材料非线性，建立的有限元方程。

1.4 钢筋混凝土非线性分析的特点、现状及趋势
钢筋混凝土结构的有限元分析有与其他固体力学有限元分析所不同的特点，主要表现在以下几个方面：
(l ）需要模拟混凝土的开裂和裂缝发展过程，特别是在反复荷载作用下裂缝的开裂和闭合过程。

(2）需要在模型中适当地反映钢筋与混凝土之间的粘结和滑移机理。

(3）需要模拟混凝土材料在达到峰值应力以后的性能，因为一个部位的混疑土达到峰值应力并不能说明整个结构达到极限状态。

同理，也应模拟钢筋屈服以后的性能。

(4）对于复杂的钢筋棍凝土结构，材料非线性问题与几何非线性问题同时存在，使得计算分析的难度大大增加。

(5）分析结果强烈地依赖于混凝土材料和钢筋材料的本构关系以及钢筋与混凝土之间粘结滑移的本构关系。

第二章 非线性方程组的数值解法
求解非线性问题的计算方法可分为三类：增量法、迭代法及混合法。

2.1逐步增量法[3,4,5]
线性或是非线性有限元问题最后都是归结为一组代数方程组：
{}[][]K P δ= （2.1） 其中，[]K 为结构总刚度距阵；{}δ为节点位移列阵；[]P 为节点荷载列阵。

在线弹性结构中[]K 是常量，在非线性问题中，[]K 是{}δ的函数。

总体刚度矩阵由以下方法集合而成：
[][][][][]T
e e n n K k B D B dv ==∑∑⎰ （2.2）
在线弹性材料中[]e D 是常量，在材料非线性问题中
[][]{}e D f σ= （2.3）
增量法就是把方程（2.1）改写为增量形式
{}[][]K d d P δ= （2.4）
假定在每一增量步内材料是线弹性的，每一次迭代对刚度矩阵进行修改作为下一次迭代的已知刚度。

1.Euler 折线法
设荷载分为n 个增量：
[]1n
i i P P ==∆∑ （2.5）
则，每一个荷载增量产生一个位移[]i δ∆，经过n 步迭加后
[][][][]11n i i n
n n P P δδδ=-⎧=∆⎪⎨⎪=+∆⎩∑ （2.6） 其迭代过程如下：
{}[][][][][][]1111[][]n n n n n n n
n n K P K P δδδδδ----⎧∆=∆⎪∆=∆⎨⎪=+∆⎩ （2.7）
如图（2-1）所示，其具体实施步骤为：
（1）施加第n 步荷载增量[]n P ∆，利用（2.7）第一式算出这步荷载增量下的位移
增量{}n δ∆
（2）利用（2.7）第三式计算第n 步荷载时的总位移[]n δ，由本构矩阵计算应力
[][][]1n n n σσσ-=+∆ （2.8）
（3）由（2.8）式判断材料所处状态，修改刚度矩阵1[]n K -，做为下次迭代的[]n K
（4）判断是不是最后一步荷载，若不是继续前面的实施过程
2.修正的
Euler 折线法 欧拉折线法随着荷载级数的增加，其折线偏离曲线的程度越来越大，计算精度降低。

修正的欧拉折线法取每一步荷载增量的始、末刚度的某种加权平均代替起始刚度来计算本步荷载增量的位移，即
[][]'1(1)i n n θδθδθδ+-⎡⎤=-+⎣⎦ （2.9） 其中，θ为加权参数，01θ≤≤，一般取12
θ=，[]1n δ-为前一级荷载的位移，'n δ⎡⎤⎣⎦为n 级荷载的总位移。

利用[]i θδ+推求刚度[]i K θ+，然后用下式求本步荷载增量下的位移：
2-1欧拉折线法 2-2修正的欧拉折线法
[][][][][][]1
1n i n n n n K P θδδδδ-+-⎫∆=∆⎪⎬=+∆⎪⎭ （2.10） 其计算如图2-2所示
2.2迭代法[3,4,5]
1.割线刚度迭代法
这种迭代方法是迭代方法中比较简单的一种，其迭代过程如图2-3所示，可将方程写为如下形式
1()n n K P δδ-= （2.11）
首先取00δ=，算出[]00K K =，代入上式，有
110K P δ-= （2.12） 作为第一次近似值，有了节点位移可计算出单元应力及材料性质矩阵：
1111,()e B D D εδε== （2.13）
形成单元刚度矩阵，有
11()e e T V K B D BdV ε=⎰ （2.14）
其中1()D ε是应力－应变曲线割线的斜率，所以称上式为单元的割线刚度矩阵。

由单元的割线刚度矩阵，组装成整个结构的方程组如下
12K P δ= （2.15）
由上式解出2δ，作为第二次近似，重复步骤（2.13）、（2.14）、（2.15）直至
11121
max max ()i i n n i n i i i n r r δδψδδ+++-<<或是 其中i n δ和i ψ分别表示向量n δ和ψ的第i 个分量，1r 和2r 是根据精度要求给定的小量。

2.切线刚度迭代法
切线刚度迭代法是在每次迭代中以变化的切线刚度作为迭代刚度，其迭
代过程如图2-4所表示。

首先取初始刚度矩阵[]0K ，求得位移的第一次近似
值：
110K P δ-= （2.16）
由初始位移求得单元应变、应力，进而求得单元的节点荷载[]1P 。

用相应于[]1δ时切线模量[]1K ，在荷载[][][]11P P P ∆=-作用下求得位移增量[]2δ，即
[][][][][][]111211P P P K P
δ-⎧∆=-⎪⎨∆=∆⎪⎩ （2.17） 从而求得位移的第二次近似值为：
[][][]212δδδ=+∆ （2.18）
重复以上步骤，直到[]1k δ+与[]k δ的差值达到一个给定的限值。

3.等刚度迭代法
前面两种迭代方法都是变刚度迭代，每次迭代后都要重新形成结构刚度矩阵，并且要建立新的方程组，所以其在计算效率方面是很低的，为此有学者提出示：
等刚度迭代法其计算步骤如下：
（1）用式（2.16）求出位移的第一次近似值[]1δ
（2）由本构关系求得单元的相当节点力为
[][][]1T P B dV σ=⎰ （2.19）
得到[][][]11P P P ∆=-
12342-5等刚度迭代
图2-3 割线刚度法 图2-4 切线刚度迭代法 4321△δ
3
△δ2△δ1123
（3）由[][][]11P P P ∆=-作用于结构求得附加位移为：[][]
[]1201K P δ-∆=∆，从而
得第二次位移的近似值为：[][][]212δδδ=+∆ （4） 重复以上步骤直到[]1k δ+与[]k δ的差值达到一个给定的限值。

2.3收敛标准
在迭代法中为了中止迭代过程，必须确定一个收敛的标准。

在迭代法中，常用到三种收敛准则。

2.3.1.位移收敛准则
如果给定一个充分小的正数ε，当
1111||||||||
j j j n n n u u u ∆-+++=-≤ε （2.20） 时，则位移1j n u +收敛。

常用矢量范数表示收敛准则，即
1||||j n u ∆+≤1||||j n u α+ （2.21） 式中α是给定的小正数，常用0≤α≤5％. 由上述可得
111||||||||
j j n n u u ∆∆+++-≤ε1 （2.22） 2.3.2.不平衡力收敛准则
不平衡力为
1111
{}{}{}j j j n n n f f R ∆-+++=- （2.23） 不平衡力收敛准则为
1||{}||j n f ∆+≤1011||{}{}||
n n f R α++- （2.24） 或
1||{}||j n f ∆+≤1||{}||j n f α+ （2.25） 由上述可得
111||{}||||{}||
j j n n f f ∆∆+++-≤ε2 （2.26）
2.3.3.能量收敛准则
这个收敛准则为
11({}){}j T j n n V f ∆∆++≤111
({}){}j T n n V f α∆∆++ （2.27） 由此可得
111111
({}){}({}){}j T j j T j n n n n V f V f ∆∆∆∆++++++-≤ε3 （2.28） 能量收敛准则是一个比较好的准则，它能同时控制位移增量及不平衡力。

在应用上述收敛准则时应注意以下一些问题。

1）根据具体情况合理地选择收敛准则。

例如，当物体硬化严重时，位移增
量微小变化将引起不平衡力的很大偏差，这种情况不能选择位移收敛准
则。

又例如，当物体软化严重或接近理想塑性时，不平衡力的微小变化
将引起位移增量的很大偏差，这种情况不能选用不平衡力收敛准则。

2）式中α及εi 分别为容许误差及小数，与收敛准则及具体情况有关，可根
据具体情况、收敛准则及精度要求进行合理的选择。

3）同一种算法用于分析不同的非线性问题时，其非线性不一定相同，甚至
不收敛。

4）收敛性是针对与时间无关的非线性问题讨论的，如果对与时间有关的非
线性问题，还必须考虑解的稳定性。

5）||||u 为向量u 的范数，满足下列条件：
① ||||u ≥0
② ||||||||||||u u αα=⋅
③ ||||u v +≤||||||||u v +
目前，常用到的范数有三种，1||||u 为1-范数，2||||u 为2-范数，||||u ∞为∞-范数。

2.4结构负刚度的处理[4,5]
有些材料如混凝土其σε-曲线由上升段和下降段组成，当采用前面介绍的
方法进行非线性方程组的求解时，在下降段都将出现刚度正不定，即出现负刚度的情况，使迭代无法进行，为此需要介绍几种处理负刚度的算法。

1.逐步搜索法
对于只要求极值荷载的情况，可以采用此方法逐步搜索顶点的算法，计算如下：
（1）施加一步荷载增量P ∆
（2）如果计算发散，改用12P ∆增量，若计算收敛，则再加14
P ∆，如此一步步逼近顶点
（3）如果加12P ∆计算后仍发散，则改用荷载步长为14
P ∆，如此即可逼近顶
2.虚加刚性弹簧
如图2－6所示1K 为结构原来的刚度矩阵，K 表示虚加弹簧的刚度矩阵，2K 表示两者叠加后的结构刚度矩阵，在加虚弹簧前，原结构的刚度矩阵1K 在经过顶点后会出现非正定，这就使迭代无法收敛，加虚弹簧后，可以保证2K 一直都是正定矩阵。

由于弹簧的刚度在迭代中保持不变，所以很容易得到下降段的解。

3.强制迭代法
如图2
－7所表示，在P δ-曲线的下降段，结构刚度矩阵是负定的。

设在A 点施加一级荷载后，迭代不会收敛。

如果位移增大很多到了'C 点，终止迭代，施加下一级负荷载增量使位移退到C 点，并求出此时的应变，更新刚度矩阵。

用三角分解法分解刚度矩阵：
T K LDL = （2.29）
2－6 虚加刚性弹簧 2－7 强制迭代
则，可以查出在对角元D 中会有一个负元素出现，既可在负荷载增量下顺利往下迭代。

如果在D 中没有查到负元素，则表明刚度矩阵是正定的，应适当增加C 点的位移值；如果刚度矩阵的行列式为零，则此点即为P δ-曲线的峰值点，这种方法缺点是计算时荷载步长要取的足够小，否则不能得到满意的结果。

4.硬化刚度法
用切线刚度求解时，在接近P δ-曲线的极值点时，收敛很慢，甚至不收敛，为此可考虑把刚度放大，从而绕过极值点。

5.弧长法
用迭代法求解非线性有限元方程时，可以写成下列迭代格式，
[](1)(1)i i i i K u P R λ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤∆=∆+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2.30）
式中：i 为迭代次数；λ∆为荷载增量步长系数；i R 为i 次迭代的不平衡力。

在荷载增量控制法中是控制λ∆，在位移控制法中是控制u ∆。

而在弧长法中是同时控制λ∆与u ∆，使得[][]22T
u u ds λ∆∆+∆=，其中ds 相当于向量()i r 的模。

由于在迭代过程中由i 到1i +点按一圆弧进行，所以这种方法称为弧长法。

向量()i r 在同一步荷载增量的迭代中保持不变，即()()()11i i r r r +==。

由于用以上按圆弧轨迹进行迭代
的过程求解(1)i λ+∆相当复杂，所以有学
者提出了改进的算法，用垂直于迭代向
量的平面代替圆弧，这样只要r 的方向
变化了，u ∆的方向也要变化，与新的
r 矢量垂直。

其迭代轨迹很接近圆弧，
但计算格式可以有很大简化。

由垂直条件
()()110i r u +⋅∆= （2.31）
1,2,3i =，写成矩阵形式
(1)(1)(1)(1)0T
i i u u λλ++⎡⎤⎡⎤∆∆+∆⋅∆=⎣⎦⎣⎦ （2.32） 图2－8 弧长法迭代示意图
将(1)i u +⎡⎤∆⎣⎦分为两部分
(1)(1)(1)(1)i i i i I II u u u λ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤∆=∆∆+∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2.33）
分别求解这两部分
[]()()(1)()(1)i i I i i i II K u P K u R ++⎧⎡⎤⎡⎤∆=⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤∆=⎪⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎩ （2.34） 从而可以解得
()()()()()()111111T
i i II T i I u u u u λλ+++⎡⎤⎡⎤∆⋅∆⎣⎦⎣⎦∆=-⎡⎤⎡⎤∆⋅∆+∆⎣⎦⎣⎦ （2.35） 综上所述，弧长法求解过程可以总结如下。

（1） 选定一荷载参考值[]P ，从而确定弧长ds 。

由有限元方程解出(1)λ∆和
()1u ⎡⎤∆⎣⎦
，在第一次可取(1)1λ∆=，0R =； （2） 修改刚度矩阵，并三角化，检查对角元，判定所在状态是正定、负定、
还是达到极值点；
（3） 求出不平衡力()i R ⎡⎤⎣⎦，并由此求出(1)i II u +⎡⎤∆⎣⎦，由[]P 求出(1)i I
u +⎡⎤∆⎣⎦； （4） 由式（2.35）求出(1)i λ+∆，从而由式（2.33）求出(1)i u +⎡⎤∆⎣⎦；
（5） 求出即时荷载水平和位移值；
（6） 检查是否满足精度要求，不满足重复（3）（5）步直到满足精度要
求。

第三章材料的本构关系
材料本构关系所基于的理论模型有：线弹性理论、非线性弹性理论、弹塑性理论、内时理论、断裂力学理论、损伤力学理论、粘弹性和粘塑性理论等[5]。

钢筋混凝土结构非线性有限元分析中，常用到的本构关系有：
（1）线弹性本构关系
应力应变在加载过程中呈线性关系，表达式为：
σE
ε
=
当混凝土受力很小，无裂缝时，可将混凝土看成弹性匀质材料，采用线弹性本构关系。

（2）非线性弹性关系
应力应变不成线性关系，但仍有一一对应关系，卸载时原路返回，没有残余变形。

表达式为：
()ε
σE
σ
=
后面的几种本构关系均属于非线性弹性范畴。

（3）弹塑性关系
为满足材料屈服后的塑性流动法则，对于受荷载作用后处于较高应力水平下的钢筋混凝土结构，常采用弹塑性本构关系。

常用的简化模型有：理想弹塑性模型，线性强化弹塑性模型，刚塑性模型。

（4）粘弹性和粘塑性的流变模型
引用流变学的观点，可以对混凝土材料的徐变和预应力构件中钢筋应力损失等现象作出合理的解释。

理想弹性元件、粘性元件、理想塑性元件是三个基本的流变元件。

（5）断裂力学模型
断裂力学研究含有裂缝的结构，裂缝扩展分为张开型、剪切型和扭转型。

3.1 钢筋的本构关系
3.1.1 单向加载下的应力应变关系
曲线分三段：弹性段、屈服平台和强化段。

简化的三线型模型，屈服段为水
平直线，强化段可以简化为直线，斜率取E’=0.01E。

二线型模型将屈服平台和强化段合并为一条，斜率仍取E’=0.01E。

3.1.2 反复加载下的应力应变关系
卸载段采用以E为坡度的直线。

卸载后反向加载会出现包辛格效应，即反向再加载时不出现屈服台阶而成为曲线的应力应变关系，软化段的方程有Kato和朱伯龙的公式，都考虑了历史上到达过的应变。

3.2 混凝土的本构关系
3.2.1 单向加载下的应力应变关系
（1）受压
Saenz和朱伯龙都给出了混凝土单调加载的曲线方程。

（2）受拉
一般简化为直线型（两折线、三段斜直线），也有曲线型模型，弹模取单向受压时原点的切线模量。

3.2.2 重复加载下的应力应变关系
关系式包括骨架曲线、卸载和再加载曲线方程。

卸载和再加载方程可分为直线方程和曲线方程。

3.2.3 反复加载下的应力应变关系
反复荷载作用下裂面重新受压时存在着骨料咬合的裂面效应。

反复荷载下混凝土的本构关系应考虑刚度退化和裂面效应的影响。

Yankelevsky和Reinhardt 通过对单轴反复拉压加载的混凝土σ-ε滞回曲线的研究，根据卸载、再加载曲线的某些几何性质，提出了反复荷载下σ-ε关系的“焦点模型”，该模型考虑了应变软化及开裂后再受压时的裂面效应。

滕智明，邹离湘也利用过焦点模型的简化方法，进行反复荷载下钢筋混凝土的非线性有限元分析，结果与试验曲线吻合较好。

薛伟辰，张志铁应用的混凝土本构模型[6]为以Kent和Park的混凝土σ-ε曲线为骨架曲线，并考虑刚度折减和裂面效应的模型。

3.3 恢复力模型的分类
对于用于以弯曲变形为主或同时考虑弯剪变形的杆单元，常用的恢复力模型有：
（1）一维模型
有可分为数学模型描述的曲线型（如Ramberg-Osgood模型）和分段线性化的折线型模型。

一般为了简化计算，多采用折线型模型。

Clough的双折线型模型用两根折线表示骨架曲线，折点对应单调受荷时的屈服点。

因为钢筋混凝土构件单调加载至受弯破坏时一般表现为典型的三阶段：混凝土开裂、钢筋屈服、构件破坏，所以Taked、Sozen和Nielson在1970年提出退化三线型恢复力模型，取开裂点、屈服点为折线的折点的三折线做包络线，考虑了开裂引起的刚度降低，是结构平面动力分析时应用最广的一种恢复力模型。

为了研究结构软化段的抗力性能，朱伯龙、潘士劫等提出四折线型模型，用以研究结构的倒塌反应。

（2）二维模型
即屈服面模型，它是建立在一维单向模型上的，一般由一维模型扩展而来。

最简单的是双线型模型，该模型不考虑刚度退化，且弯矩空间内只有屈服面，没有开裂面。

Takizawa和Aoyama于1976年应用塑性理论提出了考虑刚度退化的三线型模型，在弯矩空间内既有屈服面又有开裂面。

杜宏彪和沈聚敏也用过由一维退化三折线型滞回规则扩展成的二维模型，并在模型中考虑了刚度耦合作用。

3.4 恢复力的获得方法
恢复力模型有两大要素——骨架曲线与滞回模型。

骨架线是恢复力模型的外包线，包含钢筋混凝土构件的开裂点、屈服点和破坏点。

滞回模型反映加载、卸载或多次反复变形后构件的性能，如能量吸收、耗散及刚度、强度蜕化等。

由于材料性质、受力方式及构件类型的不同，恢复力特性是复杂的，必须通过大量试验研究作出力-变形的关系曲线，再将它加以简化，得到能用数学方式表达的模型。

直接对实际结构进行恢复力特性测定很困难，一般是采取结构中常用的梁、柱、墙体等典型杆件，典型节点，或者进一步采用框架层间单元作为试验对象，制作出恢复力模型，然后组合成分析用的结构恢复力模型。

对杆件试验所得的骨架曲线，考虑开裂点、屈服点、屈服前后刚度变化以及刚度退化等特征，用分段线性化的方法将它简化为多段折线或变为可用数学公式表达的平滑曲线，即得供工程使用的恢复力模型。

在进行钢筋混凝土结构非线性分析时，无论选择何种恢复力模型，均需确定其骨架曲线的主要特征点，这通常是利用单调加载的荷载-变形曲线来确定的。

为此可通过计算机数值迭代做截面的全过程分析，求其荷载-变形曲线主要有两种方法：
1）基于材料滞回本构关系的有限元方法
单向划分为条分模型，双向划分即为网格模型。

条分模型中，将构件横截面划分为许多小单元，考虑小单元单向受力，并根据单轴下材料的应力-应变滞回关系来确定应力大小。

扩展至网格模型时，分别考虑两个方向弯矩平衡条件和轴。