相似三角形的应用—测高和测距
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A
解：作DE⊥AB于E
得
？
D E B 1.4 c 1.5 1.2
1.5 x 1.2 6.4
∴AE=8 ∴AB=8+1.4=9.4米
6.4
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
3.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地 面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离 A 是40米.求塔高AB?
D E E F A B B C
∴
D B 12 1 E
AB=8
D 1 1.5 C E 1.5 F
拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北 面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
Ａ
甲 12
பைடு நூலகம்
12 乙
D
1.5
9
1.2
Ｂ
9.6
E
0.6
Ｃ
2.某同学在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影
长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时， 因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量， 地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这 棵大树高多少米?
常见错误
PQ 60 45 90
Q S R b a
T
2.为了测量一池塘的宽AB, 测出AD=35m，DC=35m， DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
因为 ∠ACB＝∠DCE , A D E B ∠CAB＝∠CDE=90°, 所以 △ABC∽△DEC ， AB AC 那么 DE DC
测较高物体高度的方法 测较高物体的高度，通常用“同一时刻 物高与影长成比例”的原理解决。 比例关系式：物高 ：物高 = 影长 ：影长
例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用 相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，来测 量金字塔的高度． 如图，如果木杆AE长2m，它的影长AD为3m，测得OA 为201m，求金字塔的高度BO． 解：太阳光是平行光线，由此∠BAO＝∠EDA，又 ∠AOB＝∠DAE＝90° ∴ △ABO∽△DEA． BO OA EA AD
相似三角形的应用
太阳光是最标准的平行光。 同一时刻，照射到地面的太阳光与地面的 夹角相等。
同一时刻下，物体的高度与影长有有什么关系?
尝试画出影子 选择同时间测量
甲 乙
由“三角形相似的知识”可知 “图中两个三角形 相似”，甲高：乙高=甲影长：乙影长 结论：平行光线的照射下，同一时刻物高与影长 成比例
1.2m 2.7m
3.皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶 部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测 出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他 算出楼房的高度。 F
E D
A
B
C
4.已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m, 两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵 树的一条水平直路从左向右前进,当他与边较低的树的距离 小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C?
A
B
D C
E
例2如图，为了估算河的宽度，我们可以构造如图两个三角形。 如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵ ∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P， P ∴ △PQR∽△PST．
PQ QR PS ST
PQ 60 PQ 45 90
解得PQ＝90. 因此河宽大约为90m
FG=8米
A E G F B
C
H D
课堂小结
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高
测量较高物体的高度，通常用“在同一时刻物高与 影长成比例”的原理解决。即物高：物高=影长：影长
（2） 测距 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。
B
C
E
D
（2）
解：连结AC、1 BC，延长AC 到D，使 CD AC ，延长 2 BC到E，
使 CE 2 BC，连结DE并测 量出它的长度，则A、B间的 距离就是DE长度的2倍。
1
A
B
C E D
（3） 解：连结AC、BC，分别取AC，
BC的中点D、E，连结DE并测 量出它的长度，则A、B间的距 离就是DE长度的2倍。
解得 AB 70 (米)
C 常见错误
答： 池塘的宽大致为80米．
AB 35 30 35
1.如图，数学小组的同学们想利用树影测量树高。 在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米， 当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落 在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长 2.7米， 落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.
OA EA 201 2 BO 134 AD 3
B E O
A
D
因此金字塔的高为134m．
例2.小明测得旗杆的影长为12米，同一时刻把 １米的标秆竖立在地上，它的影长为1.5米。 算出了旗杆的高度。
A
D
B
C
E
F
如果让标杆影子的顶端与旗杆影 子的顶端C重合,你认为可以吗？
A
解:∵太阳光是平行光线
解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC
AB BC DE CE
AB 40 1.5 2
D
E
C
B
AB 30 金字塔还可以怎么测量高度？ 答:塔高30米.
例1如图：A、B两点位于一个池塘的两端，现想用皮尺测 量A、B间的距离，但不能直接测量
（1 ）
解：先在地上取一个可以直 接到达A点和B点的点C，连接 A AC、BC，延长AC到D，使 CD=AC，延长BC到E，使CE=BC， 连结DE并测量出它的长度， DE的长度就是A、B间的距离。
解：作DE⊥AB于E
得
？
D E B 1.4 c 1.5 1.2
1.5 x 1.2 6.4
∴AE=8 ∴AB=8+1.4=9.4米
6.4
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
3.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地 面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离 A 是40米.求塔高AB?
D E E F A B B C
∴
D B 12 1 E
AB=8
D 1 1.5 C E 1.5 F
拓展: 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北 面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
Ａ
甲 12
பைடு நூலகம்
12 乙
D
1.5
9
1.2
Ｂ
9.6
E
0.6
Ｃ
2.某同学在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影
长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时， 因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量， 地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这 棵大树高多少米?
常见错误
PQ 60 45 90
Q S R b a
T
2.为了测量一池塘的宽AB, 测出AD=35m，DC=35m， DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
因为 ∠ACB＝∠DCE , A D E B ∠CAB＝∠CDE=90°, 所以 △ABC∽△DEC ， AB AC 那么 DE DC
测较高物体高度的方法 测较高物体的高度，通常用“同一时刻 物高与影长成比例”的原理解决。 比例关系式：物高 ：物高 = 影长 ：影长
例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用 相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，来测 量金字塔的高度． 如图，如果木杆AE长2m，它的影长AD为3m，测得OA 为201m，求金字塔的高度BO． 解：太阳光是平行光线，由此∠BAO＝∠EDA，又 ∠AOB＝∠DAE＝90° ∴ △ABO∽△DEA． BO OA EA AD
相似三角形的应用
太阳光是最标准的平行光。 同一时刻，照射到地面的太阳光与地面的 夹角相等。
同一时刻下，物体的高度与影长有有什么关系?
尝试画出影子 选择同时间测量
甲 乙
由“三角形相似的知识”可知 “图中两个三角形 相似”，甲高：乙高=甲影长：乙影长 结论：平行光线的照射下，同一时刻物高与影长 成比例
1.2m 2.7m
3.皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶 部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测 出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他 算出楼房的高度。 F
E D
A
B
C
4.已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m, 两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵 树的一条水平直路从左向右前进,当他与边较低的树的距离 小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C?
A
B
D C
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例2如图，为了估算河的宽度，我们可以构造如图两个三角形。 如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵ ∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P， P ∴ △PQR∽△PST．
PQ QR PS ST
PQ 60 PQ 45 90
解得PQ＝90. 因此河宽大约为90m
FG=8米
A E G F B
C
H D
课堂小结
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高
测量较高物体的高度，通常用“在同一时刻物高与 影长成比例”的原理解决。即物高：物高=影长：影长
（2） 测距 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。
B
C
E
D
（2）
解：连结AC、1 BC，延长AC 到D，使 CD AC ，延长 2 BC到E，
使 CE 2 BC，连结DE并测 量出它的长度，则A、B间的 距离就是DE长度的2倍。
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A
B
C E D
（3） 解：连结AC、BC，分别取AC，
BC的中点D、E，连结DE并测 量出它的长度，则A、B间的距 离就是DE长度的2倍。
解得 AB 70 (米)
C 常见错误
答： 池塘的宽大致为80米．
AB 35 30 35
1.如图，数学小组的同学们想利用树影测量树高。 在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米， 当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落 在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长 2.7米， 落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.
OA EA 201 2 BO 134 AD 3
B E O
A
D
因此金字塔的高为134m．
例2.小明测得旗杆的影长为12米，同一时刻把 １米的标秆竖立在地上，它的影长为1.5米。 算出了旗杆的高度。
A
D
B
C
E
F
如果让标杆影子的顶端与旗杆影 子的顶端C重合,你认为可以吗？
A
解:∵太阳光是平行光线
解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC
AB BC DE CE
AB 40 1.5 2
D
E
C
B
AB 30 金字塔还可以怎么测量高度？ 答:塔高30米.
例1如图：A、B两点位于一个池塘的两端，现想用皮尺测 量A、B间的距离，但不能直接测量
（1 ）
解：先在地上取一个可以直 接到达A点和B点的点C，连接 A AC、BC，延长AC到D，使 CD=AC，延长BC到E，使CE=BC， 连结DE并测量出它的长度， DE的长度就是A、B间的距离。