未知数比方程个数多的方程组解法

初中数学竞赛：未知数比方程个数多的方程组解法

【内容提要】

在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.

解这类方程或方程组，一般有两种情况：

一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解； 二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.

【例题】

例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组： ①021

112

2=++--+-y x x x ； ②x 2+xy+y 2－3x －3y+3=0； ③⎩⎨⎧=-=++4

222z xy z y x 解：① 根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.

得不等式组 ⎪⎩

⎪⎨⎧≠-≥-≥-01010122x x x

解得x 2

=1而x ≠1, ∴⎩⎨⎧-=-=21y x ② 整理为关于x 的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 △≥0.

x 2+(y －3)x+(y 2

－3y+3)=0.

∵x 是实数， ∴△≥0.

即( y －3)2－4(y 2－3y+3)≥0 .

解得 (y －1)2≤0 .

而(y －1)2≥0. ∴y=1.

∴⎩⎨⎧==1

1y x 是原方程的解.

③消去一元后，利用实数平方是非负数性质.

由①得z=2－x －y .

代入②得2xy －(2－x －y)2－4=0.

整理配方，得(x －2)2+(y －2)2=0.

∵相加得0的两个数，只有是互为相反数.

而 x, y 是实数，

∴(x －2)2≥0，(y －2)2≥0.

∴满足等式的条件只能是：⎩⎨⎧=-=-0

202y x .

∴方程组的解是 ⎪⎩

⎪⎨⎧-===222z y x

本题在消去z 后，也可以仿②，写成关于 x 的二次方程，用判别式求解.

例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.

分析：本题有多种解法：①交集法， ②设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，

③设二元，求二元一次方程的整数解.

解法一：除以4余1的自然数集合：{1，5，9，13，17，21，…37…}；

除以5余2的自然数集合：{2，7，12，17，…37…}；

除以11余4的自然数集合：{4，15，26，37，…}.

三个集合的公共元素中最小的自然数是37.

解法二：设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c 都是自然数).

得方程组 ⎩⎨

⎧+=++=+)2(41114)1(2514c a b a 由(1)得 a=

41415++=+b b b . 设k b =+4

1 (k 为正整数)， 那么 b=4k －1， a=5k －1. 由(2)得 c=11

7911720113)15(41134-+=-=--=-k k k k a .

要使11

79-k 为整数，k 取最小正整数2. 这时c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37. 解法三：设所求的自然数为x, 则

41-x ，52-x ， 114-x 都是自然数. ∵41-x >52-x >11

4-x . ∴41-x +114-x －5

2-x 也是自然数. 设y=41-x +114-x －5

2-x . 去分母，得 200y=31x －47. x=

31

163173147200+++=+y y y . y 取最小正整数5，能使31163+y 为整数. ∴x=37, 即最小的自然数是37.

例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？

解：设甲，乙，丙每件分别为x, y, z 元.

根据题意，得

⎩

⎨⎧=++=++)2(20.4104)1(15.373z y x z y x ( 依题意只要求出x+y+z 的值) (1)×3－(2)×2：x+y+z=1.05（元）.

答：买甲、乙、 丙各1件共需1.05元.

例4. 甲、乙两车分别从A 、B 两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车

距A 站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B 站15公里.求A 、B 两站的距离. 解：设A 、B 两站的距离为x 公里，并引入辅助未知数V 甲，V 乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意，得

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=)2(215)1(242乙甲

乙甲V x V x V x V x ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) ∵ 方程(2)左、右不等于零 ∴(1)÷(2)得2

2415

2x x x x

-=-. 解得， x=40；或 x=12 (不合题意 舍去).

答：A 、B 两站的距离为40公里.

【练习】

1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？

2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？

3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.

4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.

5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？

6. 有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有

7. 人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？

7. 求下列方程的实数解：

① 0311221=++-+-y x x

② 5x 2+6xy+2y 2

－14x －8y+10=0

③ (x 2+1)(y 2+4)=8xy

④ 052312=+-+-+y x y x