圆与方程单元梳理

单元知识梳理与能力整合

直线与圆是高考的重要内容之一．单独考查直线、圆或直线与国的位置关系的试题多为客观题，直线与圆的位置关

系部分主要考查以下几个方面的内容： (1)考查基泰概念及基本方式．

(2)考查直线方程，圆的方程及两直线位置关系的判定． (3)直线与圆的位置关系的判定．

本章命题趋势是：①以直线与圆的位置关系为基础，构造出与二次曲线有关的命题；②以直线为基础，构造出与线性 规划有关的命题．

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程()()22

2

r b y a x =-+-，圆心

()b a ,，半径为r ；

（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x

当042

2

>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛

--2,2

E D ，半径为

F E D r 42

122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当042

2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为

2

2B A C Bb Aa d +++=

，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<

（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()22

2

:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有

相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式2

00r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()

00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程：

①圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为2

00r yy xx =+ (课本命题)． ②圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；

当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。

典型例题

例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则32

4

311

34332

2

<=+-⨯+⨯=

d ．

如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又123=-=-d r ．

∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．

例 2 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点

)4,2(P 与圆的关系．

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解：（待定系数法）

设圆的标准方程为2

2

2

)()(r b y a x =-+-．

∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2

22)(r y a x =+-．

又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．

∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2

22

24)3(16)1(r

a r a

解之得：1-=a ，202

=r ．

所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．

例3 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()4

212

2

=++-y x C ：有公共点，如图所示．

分析：观察动画演示，分析思路．

解：设直线l 的方程为()34+=+x k y 即043=-+-k y kx 根据r d ≤有

214

322

≤+-++k

k k

整理得0432

=-k k

解得3

4

0≤≤k ．

例4 已知圆42

2

=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．

解：∵点()42，P 不在圆O 上，

∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =

∴

21422

=++-k

k

解得 43

=

k 所以 ()424

3

+-=x y

即 01043=+-y x

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．

说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

例5 求半径为4，与圆04242

2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．

分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．

解：则题意，设所求圆的方程为圆2

2

2

)()(r b y a x C =-+-：．

P

E

O

y

x