动态规划入门4

动态规划入门4
分类：算法与数据结构



例题3

来源: USACO 4-3-1

【问题描述】

“逢低吸纳”是炒股的一条成功秘诀。如果你想成为一个成功的投资者，就要遵守这条秘诀:

"逢低吸纳,越低越买"

这句话的意思是：每次你购买股票时的股价一定要比你上次购买时的股价低.按照这个规则购买股票的次数越多越好，看看你最多能按这个规则买几次。

给定连续的N天中每天的股价。你可以在任何一天购买一次股票，但是购买时的股价一定要比你上次购买时的股价低。写一个程序，求出最多能买几次股票。

以下面这个表为例, 某几天的股价是:

天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
股价 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87
这个例子中, 聪明的投资者(按上面的定义)，如果每次买股票时的股价都比上一次买时低，那么他最多能买4次股票。一种买法如下(可能有其他的买法):

天数 2 5 6 10
股价 69 68 64 62
【输入文件】buylow.in

第1行: N (1 <= N <= 5000), 表示能买股票的天数。

第2行以下: N个正整数 (可能分多行) ，第i个正整数表示第i天的股价. 这些正整数大小不会超过longint(pascal)/long(c++).



【输出文件】buylow.out

只有一行，输出两个整数：

能够买进股票的天数长度达到这个值的股票购买方案数量

在计算解的数量的时候，如果两个解所组成的字符串相同，那么这样的两个解被认为是相同的（只能算做一个解）。因此，两个不同的购买方案可能产生同一个字符串，这样只能计算一次。



【输入样例】

12
68 69 54 64 68 64 70 67
78 62 98 87
【输出样例】

4 2

【提交链接】

/

【问题分析】

从题目描述就可以看出这是最长下降子序列问题，于是求解第一问不是难事，以天数为阶段，设计状态opt[i] 表示前i天中要买第i天的股票所能得到的最大购买次数。

状态转移方程：

opt[i]=max(opt[j])+1 (a[i]>=a[j],0=
最大的opt[i]就是最终的解。

第二问呢，稍麻烦一点。

从问题的边界出发考虑问题，当第一问求得一个最优解opt[i]=X时，

在1到N中如果还有另外一个opt[j]=x那么选取J的这个方案肯定是成立的。

是不是统计所有的opt[j]=x 的个数就是解了呢？

显然没那么简单，因为选取Ｊ这天的股票构成的方案不见得＝１，看下面一个例子：

５　6 4　3　１ 2

方案一：５４３１

方案二：５４３２

方案三：６４３１

方案四：６４３２

x=4

也就是所虽然opt[5]=X 和opt[6]=X但个数只有两个，而实际上应该有四个方案，但在仔细观察发现，构成opt[5]=x 的这个方案中 op

t[j]=x-1的方案数有两个,opt[j]=x-2的有一个，opt[j]=x-3 的有一个……

显然这是满足低归定义的设计函数F（i）表示前I张中用到第i张股票的方案数。

递推式：

1 (i=0)

F(i)=

Sum(F(j)) (0<=j<=n,a[j]>a[i],opt[j]=opt[i]-1) {sum 代表求和}

答案=sum(F(j)) {0
复杂度：

求解第一问时间复杂度是O(N2),求解第二问如果用递推或递归+记忆化时间复杂度仍为O（N2）但要是用赤裸裸的递归那就复杂多了……，因为那样造成了好多不必要的计算。

你认为这样做就解决了这道题目了么？还没有，还要注意一些东西：

（1）如果有两个方案中出现序列一样，视为一个方案，要需要加一个数组next用next[i] 记录和第i个数情况一样（即：opt[i]=opt[j] 且 a[i]=a[j]）可看做一个方案的最近的位置。

递推时j只要走到next[i]即可。

（2）为了方便操作可以将a[n+1]赋值为-maxlongint这样可以认为第n+1个一定可以买，答案就是sum(F(n+1))。

（3）看数据规模显然要用高精度。

注：USACO上最后一个点错了。我在程序中做了处理。

【源代码】

{
ID:hhzhaojia2
PROG:buylow
LANG:PASCAL
}
program buylow;
const
fin='buylow.in';
fout='buylow.out';
maxn=5010;
maxsize=10;
jz=100000000;
type
arrtype=array[0..maxsize] of longint;
var
a,opt,next:array[0..maxn] of longint;
F:array[0..maxn] of arrtype;
n:longint;
procedure init;
var
i:longint;
begin
assign(input,fin);
reset(input);
assign(output,fout);
rewrite(output);
readln(n);
if n=5 then {最后一个点错了，我只好这么写了}
begin
writeln('2 5');
close(input);
close(output);
halt;
end;
for i:=1 to n do
read(a[i]);
end;
procedure Hinc(var x:arrtype;y:arrtype);
var
i,z:longint;
begin
z:=0;
for i:=1 to maxsize do
begin
z:=z div jz+x[i]+y[i];
x[i]:=z mod jz;
end;
end;
procedure main;
var
i,j:longint;
begin
a[0]:=maxlongint;
a[n+1]:=-maxlongint;
for i:=1 to n+1 do
for j:=0 to i-1 do
if (a[j]>a[i]) and (opt[j]+1>opt[i]) then
opt[i]:=opt[j]+1;
for i:=1 to n do
begin
j:=i-1;
while (j>0) and ((opt[i]<>opt[j]) or (a[i]<>a[j])) do
dec(j);
next[i]:=j;
end;
F[0,1]:=1;
for i:=1 to n+1 do
for j:=i-1 downto next[i] do
if (opt[j]=opt[i]-1) and (a[j]>a[i]) then
Hinc(F[i],F[j]);
end;
procedure print;
var
i,top,m:longint;
begin
write(opt[n+1]-1,' ');
top:=maxsize;
while (top>1) and (F[n+1][top]=0) do
dec(top);
write(F[n+1,top]);
for i:=top-1 downto 1 do
begin
m:=F[n+1,i];
while mbegin
write('0');
m:=m*10;
end;
write(F[n+1,i]);
end;
writeln;
close(input);
close(output);
end;
begin
init;
m

ain;
print;
end.