数学建模练习试题

1、放射性废料的处理问题

美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 kg，体积为

0.2058m3，海水密度为1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于12.2 m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题：

1. 判断这种处理废料的方法是否合理?

2. 一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6)

鱼雷攻击问题

在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处，两方潜艇士兵同时发现对方。甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑，在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。

试建立合理的数学模型解决以下问题:

1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹；

2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中

3、贷款买房问题

某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：

1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？

2)假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?

4、养老保险问题

养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选

择，分析保险品种的实际投资价值。

某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率(也就是投保人的实际收益率)?

5、生物种群数量问题

种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为x

m

，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比记为：

r(x)=r-sx, r,s>0，其中r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，记当前 (即

t=0时)种群数量为x

0，时刻种群数量为x(t)。若利用统计数据可知x

m

，r，x

，

则1）设x(t)为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。

2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。

6、生产设备的最大经济效益

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

7、产品最佳价格调整问题

物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要，决定将A产品的单位价格P(t)由现在的p0=70元调整到p1=70元，并要求各公司自行在一年内完成这一调价任务。某公司经营A产品多年，深知每周A产品的销售量S与其价格P和价格变化率有着密切的联系，他想利用这种关系制定一个A产品的调价方案，使全年经营A产品的总利润最大。在如下假设条件下：

(1) 物价部门对A产品的调价决策是积极的、正确的，在一年内（调价期）不会发生对A产品的其它调价决策，A产品在市场上的供求矛盾不会出现大的变化；

(2) 某公司经理多年经营A产品关于“每周销售量S与其价格的P和价格变化率p’的关系”的信息是可靠的，不妨假设S=(S,P’)；

(3) 某公司生产A产品的能力足以满足市场需求。设每周生产S件A产品的生产费用是C(S)；

(4) 函数S=(S,P’)和C(S)由统计方法拟合成连续可微函数。现查阅统计资料得到

S=(S,P’)=－P+100 P’+100,

C(S)=0.5S2+2S+40

经过核实，这两个具体函数符合公司的实际情况；

(5) 约定一年以52周计。在调价期资金流动的时间价值忽略不计。

请建立合理的数学模型为该公司的A产品制定最佳调价方案，并计算在最佳调价方案下的全年最大利润值。

8、最佳投资企业的优选问题

某投资银行拟对某市3家企业(记为X1, X2, X3, X4)进行投资, 抽取5项主要指标进行评估: C1: 年产值(单位:千万元)；C2:社会效益(单位:千万元)；C3：生产能力；C4：管理能力；C5：技术能力。评估专家组考察了3家企业2003年-2005年三个年度在5个指标下的具体情况，考察的指标值见表1, 其中前2个指标信息是各企业的精确数据, 后3个指标信息是评估专家组经考察后的定性结论。各评价指标权重已知W=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2)。试建立数学模型确定投资银行的最佳投资企业。

任取n枚黑白两色的棋子，任意摆成一个圈；在两个颜色相同的棋子中间插入一枚黑色棋子，在两个颜色相异的棋子中间插入一枚白色棋子，然后去掉原来的棋子，新棋子仍构成一个圈；继续如此做下去。如果经n 次这样的操作后，棋子全变为黑色的，那么，n 应满足什么条件。请给出证明过程。

10、人口预测问题

如果要推测中国15亿人口，有哪些方法？你用的是什么方法，结果如何？11、点菜问题

我们在餐馆中点菜，需要包含某些营养成份，但同时又希望总价格最低。下表是这个餐馆的部分菜单，请你通过数学建模方法，提供合理的选菜方案。

1．以下是一个数学游戏：

(1) 甲先说一个不超过6的正整数，乙往上加一个不超过6的正整数，甲再往上加一个正整数，...，如此继续下去。规定谁先加到50谁就获胜，问甲、乙各应怎样做？