28.2.1 解直角三角形(第1课时)

28.2.1 解直角三角形(第1课时)

一、内容和内容解析

1．内容

解直角三角形的意义，直角三角形的解法．

2．内容解析

本节课是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题．本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下了基础，在本章起到承上启下的作用．

由直角三角形全等的判定定理可知，一个直角三角形可以由它的三条边和两个锐角这五个元素中的两个(其中至少有一个是边)唯一确定．有了锐角三角函数知识，结合直角三角形中的两个锐角互余以及勾股定理，就可由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形．解直角三角形时，常常需要借助相应的直角三角形图形，寻求已知元素与未知元素间的关系式，这个过程体现了数形结合的思想．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：直角三角形的依据和解法．

二、目标和目标解析

1．目标

(1)了解解直角三角形的意义和条件．

(2)能根据直角三角形中除直角以外的两个元素(至少有一个是边)，解直角三角形．

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：知道解直角三角形的内涵，以及根据直角三角形中的已知元素，能明确所有要求的未知元素；根据已知条件，能从全等三角形的判定定理的角度，判断是否能解直角三角形．

达成目标(2)的标志是：根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．

三、教学问题诊断分析

在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，虽然通过三角函数的概念的学习，学生有一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的三角函数关系式，还是有些困难，易混淆，也易出错．另外，解直角三角形时往往需综合运用勾股定理、三角函数等知识，具有一定的综合性．

基于以上分析，本节课的教学难点是：恰当选择关系式，把已知和未知联系起来．

四、教学过程设计

1．实例引入，初步体验

问题1 设塔顶中心点为B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C (如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2 m ，AB ＝54.5 m ，求∠A 的度数．

师生活动：教师呈现问题并引导学生结合图形观察已知的边和要求的角之间的关系，分析得到通过求∠A 的正弦来求∠A 的度数．然后投影显示：

sin A ＝AB BC ＝5

.542.5≈0.095 4， 利用计算器可得∠A ≈5°28′．

教师追问1：将上述问题推广为一般的数学问题．如何求解？

师生活动：学生思考并作答：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数．利用锐角的正弦(或余弦)的定义直接求解．

教师追问2：在上述Rt △ABC 中，你还能求其它未知的边和角吗？

师生活动：学生思考并说明求解思路．教师把问题一般化，给出解直角三角形的内涵： 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

设计意图：通过实际问题，激发学生学习的兴趣，把实际问题转化成数学问题，并一般化：已知直角三角形斜边和直角边，求它的锐角的度数．通过求解的过程，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题．

问题2 回想一下，刚才解直角三角形的过程中，你用到了哪些知识？你能概括出直角三角形中各个元素之间的关系吗？

A C B

师生活动：教师引导学生结合下图梳理五个元素之间的关系．

学生展示： (1)三边之间的关系 a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)；

(2)两锐角之间的关系 ∠A ＋∠B ＝90°；

(3)边角之间的关系

sin A ＝c a ，cos A ＝c b ，tan A ＝b

a . 设计意图：有条理的梳理直角三角形中五个元素之间的关系，为解直角三角形打基础． 问题3 从问题1及其追问的解答过程来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，知道五个元素中的任意两个元素，可以求其余元素吗？

师生活动：教师直接给出结论：在直角三角形中，知道除直角以外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求其余三个未知元素．

设计意图：明确解直角三角形的条件．

2．例题示范，探究方法

例1 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝6，解这个直角三角形．

师生活动：学生在教师问题的引导下，思考如何求出所有未知元素．

教师追问1：解直角三角形的目标是什么？

师生活动：学生回答，解直角三角形的目标是由已知元素求所有未知元素．

教师追问2：在Rt △ABC 中，有哪些未知元素？如何求这些未知元素？求解的依据是B

c b

C A B A

C

2

6

什么？

师生活动：先由学生找出所有未知元素：∠A ，∠B 和AB ，然后学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生结合图，选择反映五个元素之间关系的式子，鼓励学生采取不同方法求解，并引导学生选择简洁的解题途径，最后给出简洁、规范的解题步骤．

设计意图：通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高分析和解决问题的能力．

例2 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．

师生活动：先由学生代表参照例1的解题思路，分析本题的解题思路，然后由学生独立完成，再小组交流，最后由学生代表展示解题步骤．对于求c ，如果学生采取不同方法，让他们展示不同方法；如果学生没有采取不同方法，教师注意引导他们思考其他解法．

设计意图：进一步训练解一般的直角三角形的思路和方法，并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解．

3．应用迁移，巩固提高．

编写一道解直角三角形的题并解答．

师生活动：同桌两同学一组，讨论编写一道解直角三角形的题后，独立完成，同桌交流，学生代表展示，教师引导归纳：

解直角三角形一般有两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角．

设计意图：学生自己编写一道解直角三角形的题，并验证是否能求出其他元素，进一步明确解直角三角形的条件．

4．归纳交流，总结反思

请同学们根据以下问题回顾本节课的内容．

(1)什么叫解直角三角形？在直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？

(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？

b a c

B

C A

20

35°