圆锥曲线定点定值 技巧方法

高考圆锥曲线定点定值技巧

一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法

1．“特殊”探求

例1．已知直线过点)0)(0(>m m M ，且与抛物线)0(22

>=p px y 交于)(11y x A ，、)(22y x B ，两点，求证：1x ·2x ，1y ·2y 均为定值，并求这个定值．

解：①特殊位置的探讨：如图1，当过点)0)(0(>m m M ，的直线与x 垂直时，

1x ·2x ＝2m ，1y ·2y ＝pm 2-；

②一般性的证明：如图2，当过点)0)(0(>m m M ，的直线与x 垂直时，设过点)0)(0(>m m M ，的直线方程为：m ty x +=【

“基本特征式”的运算】． 由⎩

⎨⎧=+=px y m ty x 22⇒0222=--pm pty y ⇒1y ·2y ＝pm 2-⇒1x ·2x ＝2m ．

小结：①定点、定值、定形问题的求解，先“特殊”探求，再证明一般的情况； ②“特殊”是指：特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置(空间图形的平面轨迹)、极限位置、特殊值、特殊图形(如：三棱锥→正四面体)、初始值(如数列问题，首先用1a 、2a 、3a 求出满足条件的参数，再证明一般的情况)；

③华罗庚教授反复强调：“退，退，退到原始状态，退到最简单的位置”，即“特殊”探路；

④直线与x 轴垂直，是很“容易遗忘”的失分参数．有了“特殊”探路的解题意识，相反能提高警惕，提高得分能力；

⑤相关结论：当直线过焦点时，1x ·2x ＝4

2p ，1y ·2y ＝2

p -；当直线过点

)02

(，p -时，1x ·2x ＝42p ，1y ·2y ＝2

p ； 例2．（09、辽宁）已知椭圆C ：22

143

x y +=．F E 、是椭圆C 上的两个动点，点)2

3

1(，A 是椭圆上的一个定点．如果直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明直线

EF 的斜率为定值，并求出这个定值．

解：①“特殊”探讨：取点)02(，F (即右顶点)2

3

23=⇒-

=⇒AE AF k k ⇒直线AE 的方程：x y 23=．由⇒⎪⎩⎪

⎨⎧

=+=12

432

322y x x y 2

31-

=⇒-=y x ⇒ F E EF

F E y y k x x -=-)1(2)

23(0----=2

1=． ②一般性的证明：设过点)2

3

1(，A 的直线方程为：2

3)1(+

-=x m y 由⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

-=12

4323)1(22y x x m y ⇒

22233+4+4(32)4()1202m x m m x m -+--=（）． 设方程的两根为1x 、A x ，则1x ·A x ＝1x ⇒1x ＝22

3

4()12

234m m

--+． 分别用“k ”“k -”替换“m ”

223

4()12234E k x k --=+＝343

12422+--k k k ，32E E y kx k =+-＝3

429662

2++--k k k ， F x ＝34312422

+-+k k k ，F

y ＝3

429

6622+++-k k k ．所以直线EF 的斜率 F E EF

F E y y k x x -=-=21)

3124()3124()

29

66()2966(2222=----++---++-k k k k k k k k ．即直线EF 的斜率为定值，其值为

1

2

．

小结：①取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序； ②上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维负担． 2．“与参数k 无关”

例3．已知直线L 与抛物线)0(22

>=p px y 交于)(11y x A ，、)(22y x B ，两点，

且1x ·2x ＝4

2p ．求证：直线L 经过定点，并求出这个定点的坐标．

解：①直线x L ⊥轴，设其方程为m x =)0(>m ⇒⇒)0()0(，，，m B m A

1x ·2x ＝2

m ．又1x ·2x ＝42p ⇒2m ＝42p ⇒由0>m ⇒2

p m =⇒直线L

过定点)02

(，p

．

②当直线L 不垂直于x 轴时，设其方程为m kx y +=，由⇒⎩⎨⎧=+=px

y m

kx y 22

0)22(2

2

2

=+-+m x p km x k ⇒2221k m x x =，又1x ·2x ＝42p ⇒

42p ＝22

k

m ⇒2422kp m m k m ±=⇒=⇒直线L ：m kx y +=⇒)2

(p

x k y ±=． 当2p

x ±

=时，0=y ，“与参数k 无关”⇒直线L 过定点)02

(，p ，或定点)02

(，p

-． 小结：①“与参数k 无关”，是初一年级关于方程“b ax =”解状讨论的直接应用：R x b a ∈⇔==0；

②“与参数k 无关”，体现为“零”多项式理论，或“零次”多项式理论． 例4．例10．(07、湖南理21）已知双曲线2

2

2x y -=的左、右焦点分别为1F ，

2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．【直接法求轨迹】

（1）若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；

(2)在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．设()M x y ，． 第一歩：“基本特征式”：设11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB ：2+=ty x ．