高等数学下同济大学第六版第九章习题课
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所以f ( x, y)在点(0,0)处是连续的 .
【例2】设
f
( x,
y)
( x2
y2 )sin
x2
1
y2
,
0,
函数f ( x, y)在点(0,0)处 ( )
x2 y2 0 ,
x2 y2 0
A.连续而偏导不存在 B. 偏导存在但 f 不连续
C. 偏导存在且连续
D. 可微
[断连.
续] lim x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
内含三条,缺一不可
y y0
[可偏导] fx ( x0 , y0 )
lim
h0
f ( x0
h, y0 ) h
f ( x0 , y0 )
包括高阶偏 导数定义等
[可 微] 点 ( x0 , y0 )可微
lim z [ fx( x0 , y0 )x
lim
x0
|
x2 3 x| x2
3
1
故所求极限不存在.
y x1 3
【阅读与练习】 求下列极限
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0 y0
【阅读与练习】 求下列极限
(1)设法利用变换化为一元函数的极限再求……;无穷小性质. (2)掌握绝对值不等式的放缩技巧,使用夹逼定理;
(3)通过观察,若大致估计所求极限不存在,可选择两条不 同路径,求出不同的极限值,借以证明原式极限不存在;
(也可选取一条路径求得极限不存在,则原极限不存在)
(4)利用二元初等函数在内点处的连续性:
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0 y0
【解】 (1)原式 lim sin( xy) y a
x0 xy
ya
x
(2)原式 lim[(1 1 )x ]x2 y2 e0 1
x0
x2 y x2 y2
y0
y0
若x
0,
y
0, 显然有 lim x0
x2 y x2 y2
0
y0
[思考]?
若x(
0)
0,
y
0,则lim x0 y0
x2 y x2 y2
lim
x0 y0
1
y ( y)2
0
x
总之有 lim f ( x, y) 0 f (0,0) x0 y0
习题课
多元函数微分法
及其应用
一、关于多元函数极限的题类
二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类
三、关于偏导数、全微分计算的题类 四、关于多元函数微分学应用的题类
1.几何应用.
2.极(最)值
思考与练习
1. 讨论二重极限
时, 下列算法是否正确?
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx,
y0
0 ,
y0
则重极限 lim f ( x, y) 0 而两个累次极限均不存在.
x0
y0
【强调】本课程讨论的极限均为重极限.
二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类
一般来说,讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏
导性以及可微性时,都要用相应的定义判定;尤其是分
段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判
【解】 lim x0
f (x, y) 0
f (0,0)
所以f 在(0,0)点连续,故否B .
y0
f
x
(0,0)
lim
x0
f ( x,0) x
f (0,0) lim x2 sin(1
令变量x趋于a. 这种极限是两个极限过程;而重极限是
一个极限过程.两者是不同的.
[例如]例1中,两个累次极限
lim lim
x0 y0
xy x2 y2
lim lim
y0 x0
xy x2 y2
0
存在
而二重极限不存在.
[又如]
f
( x,
y)
x sin
1 y
y sin
1, x
解法3 令 x r cos , y r sin ,
此法忽略了 的任意性,
极限不存在 !
由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还Fra Baidu bibliotek看到, 本题极限实际上不存在 .
一、关于多元函数极限的题类
二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多,计算 也更困难.通常从以下四个方面考虑:
【例1】求
lim
x0
x
2
xy
y
2
lim f (P)
P P0
f (P0 )
y0
【解】 取路径 y = k x,则
lim
x0
xy x2 y2
kx 2
lim
x0
(1
k
2
)
x2
k 1 k2
,
与k有关,故不存在.
ykx
【例2】求
lim
x0
|
x1 3 y x | y2
1
y0
【解】 取路径 y = k x,则
lim | x0
x3 y x | y2
lim x0 |
kx4 3 x | k2x2
0
ykx
特别注意:尽管沿路径y = k x所得极限相同,但仍不能肯定 原极限即为0,因若取曲线路径:y x1 3 时
lim
x0
|
x1 3 y x | y2
x
x
ya
1 sin xy
(3)原式 lim[(1 sin xy)sin xy ] xy e x0 y0
【说明】多元函数的极限是自变量各自独立地同时在变,
称为重极限.还有一种是自变量分先后次序变,称累次极
限。如
limlim
xa yb
f
(
x即, y先) x固定,变量y
趋于b,然后再
0
f y( x0 , y0 )y] 0
偏导数存在
极限存在
偏导数连续
可微
连续
极限存在
x2 y
【例1】设f
( x,
y)
x
2
y2
,
0,
x2 y2 0 , x2 y2 0
问f ( x, y)在点(0,0)处是否连续 ?
【解】
lim
x0
f
( x,
y)
lim
解法3 令 x r cos , y r sin ,
分析:
解法1
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步
未考虑分母变化的所有情况,
例如,
y
xx1时,
1 y
1 x
1,
此时极限为 1 .
解法2 令 y kx,
此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x2 x 时