线性代数的MATLAB软件实验报告

线性代数的MATLAB 软件实验

一、实验目的

1.熟悉矩阵代数主要MATLAB 指令。

2.掌握矩阵的转置、加、减、乘、除、乘方、除法等MATLAB 运算。

3.掌握特殊矩阵的MATLAB 生成。

4.掌握MATLAB 的矩阵处理方法。

5.掌握MATLAB 的矩阵分析方法。

6.掌握矩阵的特征值与标准形的MATLAB 验算。

7.掌握线性方程组的MATLAB 求解算法。

二、实验原理

1.线性方程组 【基本观点】

自然科学和工程实践很多问题的解决都涉及线性代数方程组的求解和矩阵运算.一方面，许多问题的数学模型本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题和投入产出分析问题；另一方面，有些数值计算方法导致线性方程组求解，如数据拟合，非线性方程组求解和偏微分方程组数值解等.

n 个未知量m 个方程的线性方程组一般形式为

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨

⎧=+++=+++=+++.

,

,221

12222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.1) 令

,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x x a a a a a a

a a a A

则得矩阵形式

Ax=b. (3.2)

若右端b=0,即

Ax=0, (3.3)

则称方程组为齐次的.

方程组（3.1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A 及增广矩阵（A,b ）的秩.若秩（A ）=秩（A,b ）=n,存在唯一解，其解理论上用Cramer 法则求出，但由于这种方法要计算n+1个n 阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A ）=秩（A,b ）

P50矩阵左除的数学思维:恒等变形

Ax=b 方程两边的左边同时除以A ，得：

b A

Ax A

1

1

=

，

即：b A b A

x 11-==

MATLAB 的实现（左除）：x=A\b 2.逆矩阵 【基本观点】

方阵A 称为可逆的，如果存在方阵B ，使 AB=BA=E,这里E 表示单位阵.并称B 为A 的逆矩阵，记B=1-A .方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行列式det A ≠0.求逆矩阵理论上的公式为

*1det 1

A A

A =

-， (3.4)

这里*

A 为A 的伴随矩阵.利用逆矩阵，当A 可逆时，（3.2）的解可表示为

b A x 1-=.

由于公式（3.4）涉及大量行列式计算，数值计算不采用.求逆矩阵的数值算法一般是基于矩阵分解的方法.

3.特征值与特征向量 【基本观点】

对于方阵A ，若存在数λ和非零向量x ，使

,x Ax λ= (3.5) 则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值λ的特征向量.特征值计算归结为特征多项式的求根.对于n 阶实数方阵，特征多项式在复数范围内总有n 个根。对于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组

0)(=-x E A λ (3.6)

的所有非零解.通常只需要求它的一组线性无关解.特征值和特征向量的求解的数值方法是相

当复杂的,适用性较广的是正交三角分解系列算法.

4.线性方程组求解的矩阵除法 【基本观点】

矩阵除法是解线性方程组的快速算法，它会根据系数矩阵A 的特点自动选定合适的算法为求解，然后尽可能给出一个有意义的结果。

（1） 当A 为方阵，A\B 结果与inv(A)*B 一致；

（2） 当A 不是方阵，AX=B 存在唯一解，A\B 将给出这个解； （3） 当A 不是方阵，AX=B 为不定方程组（即无穷多解），A\B 将给出一个具有最多零元素的

特解；

（4） 当A 不是方阵，AX=B 若为超定方程组（即无解），A\B 给出最小二乘意义上的近似解，

即使得向量AX-B 的范数达到最小。

三、实验设备

1、Windows XP/7, MATLAB7.0以上版本等。

2、PC 机。

3、Internet 网络工具。

四、实验步骤

1、了解本次实验目的。

2、熟悉本次实验原理。

3、检查本次实验环境。

4、完成本次实验的6个问题，记录必要的实验结果。

5、总结本次实验的个人心得体会。

五、实验结果与分析

问题1: 【P50-52】矩阵运算符 要求：1）记录实验测试用例结果。

2）对每一个实验测试用例结果进行解释。 E=A\B F=A/B

问题2: 【P52-53】特殊矩阵生成 要求：1）记录实验测试用例结果。

2）对每一个实验测试用例结果进行解释。

eye(3) rand(2,4)

round(6*rand(7)-3)

问题3:【P53-54】矩阵处理

要求：1）记录实验测试用例结果。

2）对每一个实验测试用例结果进行解释。