3.1.1两角和与差的正弦,余弦,正切公式

5
二、公式的推导
sin
sin[ ( )]
sin cos( ) cos sin( )
sin cos cos sin
6
两角和与差的正弦公式
1、两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
简记： S( )
2、两角差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
9
练习：课本131页 1（1）（2）
(2) cos75 cos(45 30)
cos45cos30 sin 45sin30
2 3 21 2 2 22
6 2 4
10
练习：创新 基础测评 1
分析：∵为锐角，sin 5 ,
13
cos 1 sin 2 1 ( 5 )2 12 ,
13 13
13 13
15
练习：报纸 随堂练习 5
sin sin[( ) ]
sin( ) cos cos( )sin
33 ( 5 ) 56 12 65 13 65 13
3 5
16
练习：报纸 随堂练习 6
解：∵sin(A B) sin(A B)
sin AcosB cosAsin B sin AcosB cosAsin B
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
记：T( + )
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
注意：
必须在定义域范围内使用上述公式。
记:T( - )
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就
不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来
解。如:已知tan
记：T (
+
)
19
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ
上式中以代得
tan[
( )] tan tan( ) 1 tan tan( )
=
tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
∴tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
记T( - )
20
两角和与差的正切公式
1 tan tan
tan 1 1 tan
4
3 1
4 7
1 ( 3)
4
27
练习：课本131页 4
解：tan( )
tan tan
4
4 1 tan tan
4
3 1 2 13
练习：创新 基础测评 4
28
例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1)sin 72cos42 cos72sin 42(2) cos20cos70 sin 20sin 70 (3) 1 tan15
tan(2 2 ) tan[( ) ( )]
tan( ) tan( ) 1 tan( ) tan( )
33 3 133 4
35
练习：课本132页 6
(1) 1 cos x 2
3 sin x 2
sin 30cosx cos30sin x
sin(30 x);
2 2 sin(30 x)
37
练习：课本132页 6 (3) 2(sin x cos x)
2( 2 sin x 2 cos x)
2
2
2(cos45sin x sin 45cosx)
2sin(x 45)
38
练习：课本137页 4
解：∵，都是锐角，cos 1 , cos( ) 11 ,
sin( ) sin cos cos sin,
6
6
6
1 12 3 5 6 5 3 2 13 2 13 13 26
11
练习：创新 基础测评 3
sin 7 cos cos 7 sin
12 4 12 4
sin( 7 ) sin
12 4
3
3 2
12
练习：创新 基础测评 2
分析：∵cos( ) 1
3
cos cos sin sin 1 ,
3
①
∵cos( ) 1
4
cos cos sin sin 1 , ②
4
①+② 得：2cos cos 7 ,
12
cos cos 7
24
13
练习：报纸 随堂练习 1
sin 255 sin(360 105) sin105
(sin160cos70 cos160sin 70) sin(160 70)
sin 90 1 33
练习：报纸 随堂练习 3
3 tan18 1 3 tan18
tan 60 tan18 1 tan 60 tan18
tan(60 18)
tan 42
34
练习：报纸 随堂练习 2
分析：∵tan( ) 3,
简记： S( )
7
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin
8
练习：课本131页 1（1）（2）
(1)sin15 sin(45 30) sin 45cos30 cos45sin30
2 3 21 2 2 22
6 2 4
7
14
sin 1 cos2 1 ( 1 )2 4 3 ,
7
7
sin( ) 1 cos2 ( ) 1 ( 11 )2 5 3 ,
14 14
39
练习：课本137页 4
cos cos[( ) ]
cos( ) cos sin( )sin
11 1 5 3 4 3 14 7 14 7
=2,求
tan(
2
)不能用
T(
)
21
注
遇到 tan( ) 这类计算时，怎么办？
意
2
tan(
2
)
sin(
2
cos(
) )
cos sin
1
tan
2
22
小结
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
35 4; 135 7
同理 tan 2 tan[( ) ( )] - 1
8
43
练习：课本137页 13(1)(2)(3)
(1)3 15 sin x 3 5 cos x
6 5( 3 sin x 1 sin x)
2
2
6 5(cos 30sin x sin 30 cos x)
1 2
40
练习：课本137页 10 解：∵tan, tan 是方程2x2 3x 7 0的两个实数根，
tan tan 3 ,
2
tan tan 7 ,
2
tan( ) tan tan 1 tan tan
3 2
1
1 ( 7) 3
2
41
练习：课本137页 12
解: 依题意，设 BAD , CAD ,
1 tan15
解：（1）sin 72cos42 cos72sin 42
sin(72 42)
sin 30
1; 2
29
(2) cos20cos70 sin 20sin 70 cos(20 70) cos90 0
(3) 1 tan15 1 tan15 tan 45 tan15 1 tan15 11 tan15 1 tan 45 tan15
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
和角的余弦公式
C 简记： ( )
cos( ) cos cos sin sin
4
二、公式的推导
sin
cos
2
cos
2
cos cos sin sin
2
2
sin cos cos sin
tan(12 33) tan 45 1 31
练习：课本132页 5（4）（5）
(4) cos74sin14 sin 74cos14
sin14cos74 cos14sin 74
sin(14 74) sin(60) 3 ;
2
(5)sin 34sin 26 cos34cos26 cos34cos26 sin 34sin 26
sin(45 60)
(sin 45cos60 cos45sin 60)
( 2 1 2 3 ) 22 2 2
2 6 4
14
练习：报纸 随堂练习 5
解：∵0
2
,
2
,
2
3
2
,
cos( ) 1 sin2 ( ) 1 (33 )2 56 ,
65
65
sin 1 cos2 1 ( 5 )2 12 ,
课题：两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
1
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ 思考 cos(α+β)=？
将 看为为 ( )
2
cos( ) cos[ ( )]
cos cos( ) sin sin( )
cos cos sin sin
3
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
55
tan
s in
3 5
3.
cos 4 4
24
5
例3
已知sin 3 ,是第四象限角，求sin( ),cos( ),
5
4
4
tan( )的值。
4
于是有 sin(
4
)
sin
4
cos
cos
4
s in
2 4 2 ( 3) 7 2 ; 2 5 2 5 10
25
例3
已知sin 3 ,是第四象限角，求sin( ),cos( ),
5
4
4
tan( )的值。
4
cos( )
4
cos cos sin sin
4
4
2 4 2 ( 3) 7 2 ; 2 5 2 5 10
26
例3
已知sin 3 ,是第四象限角，求sin( ),cos( ),
5
4
4
tan( )的值。
4
tan( )
4
tan tan
4
变形： tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
23
例3
已知s in
3 ,是第四象限角，求sin(
),cos(
),
5
4
4
tan( )的值。
4
解：由sin 3 ,是第四象限角，得：
5
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 ,
4
6 cosB 4 2 , B 45
32
2
18
两角和的正切公式：
tan(
)
sin(α+β) cos(α+β)
sinαcosβ+ cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ
当cos cos 0时，分子分母同时除以cos cos
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ
tan(45 15)
tan 60
3;
30
练习：课本131页 5（1）（2）（3）
(1)sin 72cos18 cos72sin18
sin(72 18) sin 90 1;
(2) cos72cos12 sin 72sin12 cos(72 12) cos60 1 ;
2
(3) tan12 tan 33 1 tan12 tan 33
则，tan 1 , tan 1
3
2
tan(
)
tan tan 1 tan tan
11 32 1 1 1
1,
32
45，即：BAC 45
Hale Waihona Puke Baidu
42
练习：课本137页 11
tan 2 tan[( ) ( )]
tan( ) tan( ) 1 tan( ) tan( )
(2) 3 sin x cos x
2( 3 sin x 1 cos x) 2(cos30sin x sin 30cosx)
2
2
2sin(x 30)
36
练习：课本132页 6
(4) 2 cos x 6 sin x
2 2(1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2(sin 30 cos x cos30sin x)
2sin Acos B
6, 2
sin Acos B
6, 4
同理：cos(A B) cos(A B) 2 cos Acos B 2 ,
2
2
cos Acos B ,
4
17
练习：报纸 随堂练习 6
6
sin AcosB tan A 4 3,
cos AcosB
2
4
A 60，sin 60cos B 6 ,
(cos34cos26 sin 34sin 26) cos(34 26) cos60 1 ;
2
32
练习：课本132页 5（6）
sin 20cos110 cos160sin 70
sin(180 160) cos(180 70) cos160sin 70 sin160( cos70) cos160sin 70 sin160cos70 cos160sin 70
6 5 sin(x 30)
44
练习：课本137页 13(1)(2)(3)
(2) 3 cos x 3 sin x