薄板弯曲问题的有限元法

2
)
3w x2y
3w
y3
等效剪力
图中力矩双箭头方向表示是力
矩的法线方向，列平衡方程：
(M )y 0
(M )x 0
Fz 0
M
xy
x
源自文库
M y y
FSy
0
FSy dx
( FSy
FSy y
dy)dx
FSx dy
( FSx
FSx x
dx)dy
qdxdy
0
M xy y
M x x
FSx
0
y
M x
2 2
x
zdz
E 3 12(1
2
)
2w x2
2w y2
x
xy
x
M y
2 2
y
zdz
E 3 12(1
2
)
2w y2
2w x2
M xy M yx
2
2
xy
zdz
E 3(1 ) 12(1 2 )
2w xy
y
yx
D
E
12(1
3
2
)
称为薄板的弯曲刚度
没有平行中面的位移）即
uz0 0
v z
0
0
因为： x
u x
,
y
v y
,
xy
v x
u y
( x )z0 0,
( y )z0 0,
( xy )z0 0
纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而他们所引起的应力、 形变和位移可以按平面应力问题进行计算。
横向荷载：将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变和位移，可以按薄
1~ 1
b 80 100
薄膜 δ—厚度
1 ~ 1 1~1
80 100 b 5 8
1~1
b58
薄板 厚板
b—板长宽最小值
1
2、基本假设（克希霍夫假设） 1）直线假设：即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，
且垂直于弯曲后的中面。说明在平行于中面的面上没有剪应变，即
zx 0 zy 0
一个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi L
T
wl xl yl
F e Fzi M xi M yi L Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
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薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如 u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是 w(x,y)的选取。注意单元有12个自由度，则
板弯曲问题进行计算。
3
u z y
二、基本方程 1）几何方程
zx
u z
w x
0
zy
v z
w y
0
积分可得
z
变形
z
前的 直线
x
y
w x
变形
后的
u
z
w x
直线
f1(x,
y)
v
z
w y
f2 (x,
y)
绕y轴转角
uvzz00
0 0
u
x
2w x2
v y
z
2w y 2
2w y2 )
y
Ez
1 2
2w ( y2
2w x2 )
xy
Ez
(1 )
2w xy
zx
E
2(1 2 )
(z2
2
4
)
x
2w
zy
Ez2
2(1
2)
(z2
2
4
)
y
2w
z
E 3 6(1 2 )
1 2
z
2 1
z
4w
Mx
E
12(1
3
2)
(
2w x2
2w y 2
)
M
y
E 3 12(1 2 )
xy
E 2(1
)
xy
x
E
1 2
2w z( x2
2w y2 )
y
E
1 2
z
(
2w y2
2w x2
)
xy
E
1
z
2w xy
写为矩阵形式：
=
x y
xy
Ez
1 2
1
0
1
0
0
2w x2
1
0
2
2w y 2
2
2
w
xy
5
3）内力矩公式及平衡方程
δ
单位宽度上垂直x，y轴的横截面上弯矩、扭矩 z
2
2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即 z 0 。由于板内各点的挠度与 z
坐标无关，只是x，y的函数，即 w w(x, y)
3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层相互不挤压， 不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即 z 0
4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，（薄板中面内的各点都
z
u y
v x
2
2
w
xy
u
z
w x
v
z
w
y
分别表示薄板弯
曲曲面在x，y方
向的曲率
表示薄板弯曲曲 面在x，y方向的 扭率
绕x轴转角
x
2w x2
y
2w y 2
xy
2w xy
4
2）物理方程（广义胡克定律）
z 0 zx 0 zy 0
x
E
1 2
( x
y )
y
E
1 2
( y
x )
一.定义及假设 1.定义：工程力学理论研究中，概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小 很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的 (指一个单元)，则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向 载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷， 则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。
由应力的正负方向的规定得出： 正的应力合成的主矢量为正，
FSx
FSy
q
0
x y
D
2 x2
2 y 2
2w x2
2w y 2
q
正的应力乘以正的矩臂合成的 主矩为正；反之为负。
或者D 2 2 w
q, 式中，2 =
2 x2
2 y 2
表示拉普拉斯算子。
7
应力分量表达式
x
Ez
1 2
2w ( x2
(
2w y 2
2w x2
)
M
yx
E 3 12(1 )
2w xy
M
xy
FSx
E
12(1
2
2)
x
2w
FSy
E
12(1
2
2)
y
2w
8
三、矩形薄板单元分析
用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板中面进行离散，常用的单元有
三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节
点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即
311x2 y
12 y3 )
10
待定系数：利用12个节点位移值可待定12个系数，整理w(x,y)为插值函 数形式：
w(x, y) Niwi Nxixi N yi yi L Nl wl Nxlxl N yl yl
Mx My M xy
=
E
12(1
3
2
)
1
0
1
0
0
2w x2
0
1
2
2w y 2 2w
xy
1 0
D
E
12(1
3
2
)
0
1 0
0
1
2
称为弯曲板的弹性矩阵
6
FSx
E 3 12(1 2 )
3w x3
3w x2y
FSy
E 3
12(1
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
7 x3 8x2 y 9 xy2 10 y3 11x3 y 12 xy3
另两个转角为：
x
w y
3
5x
26 y
8 x2
29 xy
310 y2
11x3
312 xy2
y
w x
( 2
24 x 5 y
37 x2
28xy
9 y2