6-3无交互作用双因素方差分析

8
1）计算SSA。SSB
SS A Q1 s ( x i x)
i 1 r 2
SS B r ( x j x) 2
j1
s
x 总平均 值
r 因素 A 的水平数
s 因素 B的水平数
本例中：s 3；r 3；x 30.59 x i 计算如下：
A因素水平 xi Xi平均值 1 2 3 B因素水平 Yj Yj=平均值 1 2 3
7.3.1 无交互作用双因素方差分析
1
1.数据结构
如果知道因素A 与因素B不存在交互作用，或交互 作用不明显，可以忽略不计，此时仅仅分析因素A 与因素B各自对试验的影响是否显著 安排在试验时，对因素A与因素B的每一种水平组 合，就只需要安排一次试验，这样就可以大大减 少试验的次数，相应的数据结构如下：
F值 Fcale
4.34 0.36
F临界值 Fcrif
6.94 6.94
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6）查F0.05(2,4)对应的F分布表，得Fcrit=6.94
7）比较FA和Fcrit，因为FA<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0； 比较FB和Fcrit，因为FB<Fcrit，因此无法拒绝零假设H0；
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射出压力不同水平设置对应的成形品尺寸均值无 显著差异，模腔温度不同水平设置对应的成形品 尺寸均值无显著差异。 8)计算各因素及残差对输出的影响-----贡献率分析 通过计算各因素及残差对因变量y的影响，可以 更直观理解因素对输出影响的重要度
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1、将实际问题转化为统计问题。 转化的统计问题为：射出压力不同设置水平 时成形品尺寸是否相同：模腔温度不同水平设置对 成形品尺寸均值是否相同。 2、建立假设。 H0：μA1=μA2=μA3；μB1=μB2=μB3 Hα：至少有一个μAi与其它不等；至少一个μBi 与其他不等 3、确定可接受的α风险系数 α=0.05 4、进行方差分析 根据本节所讲的双因素无交互作用方差公 式，我们首先需计算SST、SSA、SSB、SSe， 然后用方差分析表进行分析即可。
4
2.离差平方和的分解 SS = 邋 ( x - x )
r s 2 T ij i= 1 j = 1
=邋 轾 ( xi - x) + ( xj - x) + ( xij - xi - xj + x) 犏 臌 i= 1 j = 1 = s 邋( xi - x) + r
因素 A 因素 B 残差
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例2，某商品有五种不同的包装方式（因素A），在 五个不同地区销售（因素B），现从每个地区随机 抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包 装的销售资料如下表. 包装方式(A) A1 A2 A3 A4 A5 B1 20 12 20 10 14 销 售 B2 22 10 20 12 6 地 B3 24 14 18 18 10 区 B4 16 4 8 6 18 (B) B5 26 22 16 20 10
i= 1 r 2 s j= 1 2 s j= 1 2
r
s
2
( xj - x) + 邋 ( xij i= 1 j = 1
2
r
s
xi - x j + x) xi - x j + x)
2
= s 邋( xi - x) + r
i= 1
r
( xj - x) + 邋 ( xij i= 1 j = 1
r
s
2
= SSA + SSB + SSE
SSA SSB SST SSE
5
3.无交互作用的双因素方差分析表
变差 来源 A因素 B因素 误 差 离差平方 和 SS SSA SSB SSE 自由度 df 均方 MS F值
合 计
SST
MSA=S FA=MSA/MS r-1 SA/(r-1) E MSB=S FB=MSB/MS s-1 SB/(s-1) E MSE=S (r-1)(s-1) SE/(r1)(s-1) rs-1
6
4.双因素无交互作用方差分析案例 在注塑成形过程中，成形品尺寸与射出压力和模 腔温度有关，某工程师根据不同水平设置的射出 压力和模腔温度式样得出某成形品的关键尺寸如 下表，用方差分析两个因素对成形品关键尺寸是 否存在重要影响。
因素A：射出压力 水平1 水平2 水平3 水平1 30.51 30.47 30.84 因素B 水平2 30.97 30.29 30.79 模腔温度 水平3 30.99 29.86 30.62

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接下来：
335.36 MSA 83.84 5 1 199.36 MSB 49.84 5 1 346.24 MSE 21.64 (5 1)(5 1)
因此
MSA FA MSE MSB FB MSE
83.84 3.87 21.64 49.84 2.30 21.64
r s
SS T (x ij x) 2 1.051
i 1 j1
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4）计算SSe。
SSe=SST-SSA-SSB=0.314
5）讲计算结果填入方差分析表格。
方差来源 SOV
A因素影响 B因素影响 误差影响 总和
平方和 自由度 均方和 SS df MS
0.681 0.057 0.314 1.052 2 2 4 8 0.34 0.028 0.078
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SS A SS B RA ( ) 100% 64.7% R B ( ) 100% 5.4% SS T SS T SS e Re ( ) 100% 64.7% SS T R 为 A, B因素和残差占总体平方 和的比率
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2）将影响作饼图表示如下： 更能直观的观察各个因素及残差对输出的影响。
对因素B： H 0：
1 2
H1：
地区之间无差别 1 , 2 , 3 , 4 , 5 不全相等 地区之间有差别
3
4 5
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② 计算F值
因素A的列均值分别为： x 1 21.6, x 2 12.4, x 3 16.4, x 4 13.2, x 5 11.6 因素B的行均值分别为：x1 15.2, x 2 14, x3 16.8, x 4 10.4, x5 18.8 总均值=15.04 故： SST=（20-15.04）2 +…+(10-15.04)2=880.96 SSA=5(21.6-15.04)2 +…+5(11.6-15.04)2=335.36 SSB=5(15.2-15.04)2 +…+5(18.8-15.04)2=199.36 SSE=880.96-335.36-199.36=346.24
2
3
在无交互作用的双因素方差分析模型中因 变量的取值受四个因素的影响：总体的平 均值；因素A导致的差异；因素B导致的差 异；以及误差项。写成模型的形式就是：
ìï x = m+ a + b + e (可加性假定) ïï ij i j ij ïï r s ï bj = 0 约束条件) ( í 邋a i = 0 , ïï i= 1 j= 1 ïï ïï eij N (0, s 2 ) i = 1,2,, r; j = 1,2,, s (独立性、正态性、方差齐性假定) ïî
30.51 30.47 30.84
30.97 30.29 30.79 30.99 29.86 30.62 30.82 30.21 30.75
30.51 30.97 30.99
30.47 30.29 29.86 30.84 30.79 30.62 30.61 30.68 30.49
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1）代入SSA计算式，得 SSA=3*[(30.82-30.59)2+ (30.2130.59)2+ (30.75-30.59)2]=0.681 2）计算SSB。 SSB= 3*[(30.61-30.59)2+ (30.68-30.59)2+ (30.49-30.59)2]=0.057 3）计算SST。
3、方差分析中的基本假设是，来自各个总体的数 据都服从正态分布，相互独立，且有相同的方差。
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小结 (2)
4、方差分析的基本思想是，将观察值之间的总变 差分解为由所研究的因素引起的变差和由随机误差 项引起的变差，通过对这两类变差的比较做出接受 或拒绝原假设的判断的。 5、方差分析的主要步骤包括：建立假设；计算F检 验值；根据实际值与临界值的比较做出决策。 6、在方差分析中，当拒绝H0时表示至少有两个均 值有显著差异。但要知道哪些均值之间有显著差异 还需要借助于多重比较的方法，例如LSD方法。
现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否有显著性影响。（a=0.05）
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解：
若五种包装方式的销售的均值相等，则表明不同的 包装方式在销售上没有差别。 ① 建立假设 对因素A： H0： 1 2 3 4 5 , 包装方式之间无差别 H1： 1 , 2 , 3 , 4 , 5 不全相等, 包装方式之间有差别
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③ 统计决策 对于因素A，因为 FA=3.87>Fcrit =F0.05(4,16)=3.01 故拒绝H0，接受H1， 说明不同的包装方式对该商品的销售产生影响。 对于因素B，因为 FB=2.30<Fcrit=3.01 故接受H0， 说明不同地区该商品的销售没有显著差异。
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小结 (1)
1、方差分析（ANOVA），一般用来分析一个定 量因变量与一个或几个定性自变量（因素）之间 的关系，它可以同时对多个总体的均值是否相等 进行整体检验。 2、根据研究所涉及的因素的多少，方差分析可分 为单因素方差分析和多因素方差分析（包括双因 素方差分析）。