数列不等式题型汇总
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例1. 设*n N ∈，求证：123
2341
132222n
n +≤++++
<
例2. 设*n N ∈，求证：222211112123n ++++< 变式1 设*n N ∈，求证：222211117
1234n ++++<
变式2 设*n N ∈，求证：222211115
1233
n ++++<
例3. 求证: 12111111
22331313116n n
--≤+++<⋅--- 变式1. 求证：21115
2121213n +++<---
变式2. 求证: 2211113
32323210
n n +++<
---
例4.求证：
)*1321
24
2n n N n -⨯⨯⨯
<∈
变式1. 求证：())*
111111114732n N n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫++++>∈ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
变式2.求证：ln 2ln 3
ln 1
23
n n n ⨯⨯⨯
<
例5.求证：
11113
21224n n n ≤+++<++ 训练.设1n a n =，其前n 项和为n T ，证明：当7k >且*k N ∈时，113
2
nk n T T --->
例6.设*n N ∈，求证：)
1
2
11
n
<++
<
训练：设*
n N ∈，)
12
1
33n ++++
>-
例7.求证：若*
3,n n N ≥∈，则333311111
34512
n ++++
<
训练：.
3
13n
+
+
+<
基本不等式放缩 例8 求证：(
)
(()
122
2
n n n n n n ++<++<
二项展开式放缩
例9设1,n n N >∈，求证：(
)()28312n
n n ⎛⎫
< ⎪++⎝⎭
变式1..求证：
11
14243
n
n n ⎛⎫≤- ⎪+⎝⎭
变式2. 求证：1213n
n ⎛⎫
≤+< ⎪⎝⎭
利用函数单调性
例10. 正项数列{}n a 满足2
2
11132,1
n n n n a a a a a +++=+=
(I)求2a 的值；(II)证明：对任意的*
1,2n n n N a a +∈≤；(III)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证
明：对任意的*
1
1
,232
n n n N S -∈-≤<
递推式类型（2*
1,n n n a pa qa n N +=+∈）
例11. 设数列{}n a 满足113
a =，2*
12,n n n a a a n N n +=+∈
(I)求23,a a 的值； (II)证明：{}n a 为递增数列；(III)证明：
*21
,2121
n n n a n N n n -≤≤∈++ 训练：1.已知数列{}n a 满足11
2a =，()
2*1,1n n n a a a n N n n +=+∈+，求证：1n a <
2. 已知数列{}n a 满足112
a =
，2
1,n n n a a na +=+求证：
12111
2111
n a a a +++
<+++ 3. (16衢州市统测)已知数列{}n a ，2111,()*
+==+∈n n n a a a ca n N .
（Ⅰ）若1c =，证明：≥n a n ； （Ⅱ）若21(1)c n =
+，证明：当2n ≥时，1
2
n n a n n +<<+
4.(15浙江高考理)已知数列{}n a 满足112
a =，21,n n n a a a +=- (I) 证明：1
12n
n a a +<
≤； (II) 设数列{}
2n a 的前n 项和为n S ，证明：
()()
*11,2221n S n N n n n <≤∈++
5. 已知数列{}n a 满足112
a =，2
1,1n n n na a a n ++=+且()*,
n n b na n N =∈ 求证：(I) {}n a 为递增数列； (II)对任意的*n N ∈，都有7
4n b ≤
递推式类型（12
1n
n n a a a +=
+）
例12（16省统考） 已知数列{}n a 满足11a =，*
12
,.1n n n
a a n N a +=
∈+记,n n S T 分别为数列{}n a ，{}2n a 的前n 项和。
证明：(I)1n n a a +<；(II)21
1
21n n T n a
+=--；
1n S <
训练：1.（04重庆高考）设数列{}n a 满足()*111
2,n n n
a a a n N a +==+∈
证明：n a 对一切正整数n 均成立。
2. 设数列{}n a 满足 a 1=a ，
a n +1a n -a n
2
=1(n ÎN *).(1)若
a 3=5
2，求实数 a 的值；(2)
设
*)n b n N =
∈，若 a =1
£b n <32(n ³2,n ÎN *)
3. 已知数列{a n }满足112
1,()1n
n n
a a a n a *+==+N ∈， (Ⅰ)证明：当1,n n *N ≥∈时，
2
12
n a n +≤≤； (Ⅱ) 设S n 为数列{a
n }的前n 项和，证明：).n S n *N ∈ 4. 数列{}n a 满足()*111
1,,n n n
a a a n N a +==+
∈，求证： (1) 求证：22
123n n a a +≤-≤;(2) 求证：
13123221
n n a n n
n a n +-≤≤--