I复数的四种表示形式

第八讲 复数

知识、方法、技能

I ．复数的四种表示形式 代数形式：∈+=b a bi a z ,(R ）

几何形式：复平面上的点Z （b a ,）或由原点出发的向量OZ . 三角形式：∈≥+=0,0),sin (cos r i r z θθR . 指数形式：θ

i re z =.

复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.

II ．复数的运算法则

加、减法：;)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+ 乘法：;)()())((i ad bc bd ac di c bi a ++-=++

)];sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r

除法：

).0(2

222≠++-+++=++di c i d

c ad

bc d c bd ac bi c bi a

)].sin()[cos()sin (cos )sin (cos 21212

1

222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r

乘方：∈+=+n n i n r i r n

n

)(sin (cos )]sin (cos [θθθθN ）；

开方：复数n i r 的)sin (cos θθ+次方根是).1,,1,0)(2sin 2(cos -=+++n k n

k i n

k r n πθπθ

III ．复数的模与共轭复数 复数的模的性质

①|;)Im(|||,)Re(|||z z z z ≥≥ ②|;|||||||2121n n z z z z z z ⋅=⋅ ③);0(|

||

|||

22121≠=z z z z z

④12121|,|||||||z z z z z 与复数+≤-、2z 对应的向量1OZ 、2OZ 反向时取等号； ⑤||||||||2121n n z z z z z z +++≤+++ ，与复数n z z z ,,,21 对应的向量

n OZ OZ OZ ,,21 同时取等号.

共轭复数的性质 ①22||||z z z z ==⋅；

②)Im(2),Re(2z z z z z z =-=+； ③z z =

④2121z z z z ±=±； ⑤1121z z z z ⋅=⋅； ⑥);0()(

22

12

1≠=

z z z z z

⑦z 是实数的充要条件是z z z ,=是纯虚的充要条件是).0(≠-=z z z

Ⅳ．复数解题的常用方法与思想

（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主 值相等（辐角相差2π的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.

（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.

赛 题 精 讲 例1：设m 、n 为非零实数，i 为虚单位，∈z C ，则方程n mi z ni z =-++||||①与

m mi z ni z -=--+||||②

如图I —1—8—1，在同一复平面内的图形（F 1、F 2是焦点）是（ ）

【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据m 、n 的取值讨论进行求解. 【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得

方程①在复平面上表示以点mi ni ,-为焦点的椭圆，0,0<->n n 故.这表明，至少有

一焦点在下半虚轴上，可见（A ）不真. 又由方程①，椭圆的长轴之长为n ，

∴|F 1F 2|

又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即.||||m n >

故在图（B ）与（D ）中，均有F 1 : －ni ，F 2 : mi ，且0

【别解】仿上得n >0.

（1）若.0,0>>m n 这时，在坐标平面上，F 1（0，－n ），F 2（0，m ），只可能为图象（C ），

但与|F 1F 2|<长轴n ，而|OF 1|=n 矛盾.

（2）若),0(),,0(,.0,021m F n F m n -<>这时均在y 轴的下半轴下，故只能为图象（B ）

与（D ）.

又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即|n |>|m |. 故在（B ）与（D ）中，均有F 1 : －ni ；F 2 : mi ，且m <0. 由方程②，双曲线上的点应满足到F 2点的距离小于该点到F 1点的距离. 答案：（B ） 【评述】（1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线，

共焦点的椭圆与双曲线，讨论法.

（2）本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法.

例2：若z z z C z 则,3

)4arg(,65)4arg(,22

π

π=+=

-∈的值是 . 【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数z 的模，继而求出复数；也可由几何意义入手

来求复数z. 【略解】令),6

5sin 65(cos

412

π

πρi z +=- ① ),3sin 3(cos 422π

πρi z +=+ ②

)

0,0(21>>ρρ图I —1—8—1