结构动力学习题解答

第一章 单自由度系统

1、1 总结求单自由度系统固有频率的方法与步骤。

单自由度系统固有频率求法有:牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法与能量守恒定理法。

1、 牛顿第二定律法

适用范围:所有的单自由度系统的振动。

解题步骤:(1) 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力;

(2) 利用牛顿第二定律∑=F x m

,得到系统的运动微分方程;

(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。

2、 动量距定理法

适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析;

(2) 利用动量距定理J ∑=M θ

,得到系统的运动微分方程;

(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。

3、 拉格朗日方程法:

适用范围:所有的单自由度系统的振动。

解题步骤:(1)设系统的广义坐标为θ,写出系统对于坐标θ的动能T 与势能U 的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U ; (2)由格朗日方程

θθ

∂∂-

∂∂∂L

L dt )( =0,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。

4、 能量守恒定理法

适用范围:所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤:(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 与势能U 的表达式;进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const (2)将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即

0)

(=+dt

U T d ,进一步得到系统的运动微分方程;

(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 1、2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。 方法一:衰减曲线法。

求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值i A 、1+i A 。

(2)由对数衰减率定义 )ln(

1

+=i i

A A δ, 进一步推导有 2

12ζ

πζδ-=

,

因为ζ较小, 所以有

π

δζ2=

。 方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。 (1)通过实验,绘出系统的幅频曲线, 如下图:

单自由度系统的幅频曲线

(2)分析以上幅频曲线图,得到:

4/22/max 2,1ζββ==;

于就是

2

21)21(n ωζω-=;

进一步

222)21(n ωζω+=;

最后

()n n ωωωωωζ2/2/12∆=-=;

1、3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。

用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个:幅频(相频)曲线法与功率法。

方法一:幅频(相频)曲线法 当单自由度系统在正弦激励t F ωsin 0作用下其稳态响应为:

)sin(αω-=t A x ,

其中: (

)()2

2

2

2

2

20

20

414ω

ζ

ωω

ωω+-=

+-=

st

n

x n m

F A ; (1)

()()21/2arctan ωωζα-= (2)

从实验所得的幅频曲线与相频曲线图上查的相关差数,由上述(1),(2)式求得阻尼比ζ。

方法二:功率法:

（1

）

单自由度系统在t F ωsin 0作用下的振动过程中,在一个周期内, 弹性力作功为 0=c W 、 阻尼力做功为 2A W c d πω-=、 激振力做作功为 απsin 0F W f -=;

（2） 由机械能守恒定理得,弹性力、阻尼力与激振力在一个周期内所作功为零, 即: c W +d W +0=f W ;

于就是 παsin 0F -02=A c πω 进一步得: ωαF A sin 0=; （3） 当ωω=n 时,1sin =α,

则 ζ2max st x A =,

得 ζβ21max =, max 2βζ=。 1、4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。 (1)此系统相当于两个弹簧串联,弹簧刚度为k 1刚度为 3248L

EI

k =; 等效刚度为211

11k k k +=;312148481

11l k EI EIk k k k +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=L/2

则固有频率为:(

)

m

l k EI EIl m

k 3

13

4848+==

ω; 图1-33(a) (2)此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为: 3148l

EI

k k +=则固有频率为: 3

3148ml EI

l k m

k +==

ω 图1-33(b) (3)系统的等效刚度为

11

33

33EI EI

k k k l l =+

=+ 则系统的固有频率为

ω==

图1-33(c )

(4) 由动量距定理()θ 0

I F m =∑得

(

l k l l k l 2121212111⋅⋅+⋅⋅θθ)=θ 22

1ml

得: 021=+θθ

m

k , 则 m

k 21

=

ω 。 1、5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径R,重物B 的重量为P/2,弹簧刚度为k 、

解:以θ 为广义坐标,则

系统的动能为

()2

022

121θ I x m T T T +=+=）（轮子重物 ()2

22

2244)21(21221x

g P x g P R x R g P x g P +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=）（2

2x g

P =

系统的势能能为:

2

2

1kx Px U U U +

=+=弹簧重物 ; 拉格朗日函数为

L=T-U ;

由拉格朗日方程

0)(=∂∂-∂∂∂x

L x L dt 得 0=+kx x g

P

则,

0ω=

P

kg 所以:系统的固有频率为

P

kg