第五章 图像增强2

边缘区梯度值较大，平滑区梯度值较小，对于灰度级 为常数的区域梯度值为零。
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这种性质正如下图所示。图中（a）是一幅二值图像， （b）为计算梯度后的图像。由于梯度运算的结果，使 得图像中不变的白区变为零灰度值，黑区仍为零灰度值， 只留下了灰度值急剧变化的边沿处的点。
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在用计算机计算梯度时，通常用绝对值运算代替 式 (5-3-2) ， 所 以 ，有 式 (5-3-3) 所 示的近 似 公式： G[f(x, y)]=|f(x,y)-f(x+1,y)|+|f(x,y)-f(x,y+1)|
(5-3-3) 应该注意到，对一幅N×N个像素的图像计算梯度时， 对图像的最后－行，或者最后一列不能用式(5-3-3)来 求解，解决方法是对这个区域的像素在x=N，y=N时重 复前－行和前一列的梯度值。 关于梯度处理的另一种方法是所谓的罗伯特梯度 (Robert gradient)法。这是一种交叉差分法。其近似 计算值如下式： G[f(x,y)]={[f(x,y)-f(x+1,y+1)]+[f(x+1,y)-
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4．梯形高通滤波器 梯形高通滤波器的传递函数用下式表示：
同样，式中D(u,v)=[u+v]。D0和D1为规定值，并且 D1＞D0，定义截频为D0和D1，是任选的，只要满足D1 ＞D0就可以了。梯形高通滤波器的传递函数如图所 示。
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与图像平滑化处理一样，图像尖锐化处理同 样也有空域和频域两种处理方法。
5.4.1微分尖锐化处理 在图像平滑化处理中，主要的空域处理法是采
用邻域平均法，这种方法类似于积分过程，积分 的结果使图像的边缘变得模糊了。积分既然使图 像细节变模糊，那么，微分就会产生相反的效应。 因此，微分法是图像尖锐化方法之一。
5.4图像尖锐化处理
图像尖锐化处理主要用于增强图像的边缘及灰度跳变 部分。因为图象中边缘及急剧变化部分与高频分量有关， 所以当利用高通滤波器衰减图象信号中的低频分量时就会 相对的强调其高频分量，从而加强了图象中的边缘及急剧 变化部分，达到图象尖锐化的目的。
在对图象进行特征提取之前一般要进行边缘增强，然 后再进行二值化处理以提取图象特征。边缘增强算法处理 的目的是要突出图象的边缘。除边缘以外图象中的其它内 容经过这－处理后通常一都被削弱甚至被完全去掉了。因 此，处理后的图象往往就不象原图了。增强后边界的亮度 与原图中边缘周围的亮度变化率成正比。尽管边缘增强主 要用在机器视觉上，但在别的方面也是有用的。例如，经 过边缘增强处理后的边缘信息可以叠加到原图中，使原图 象得到锐化。边缘增强还可以做为－一种艺术处理的方法
也就是说，事先设定－个非负的门限值T，当梯度值大
于或等于T时，则这一点就取其梯度值作为灰度值，如
果梯度值小于T时则仍保留原f(x,y)值，这样，通过合
理地选择T值，就有可能既不破坏平滑区域的灰度值又
能有效地强调了图像的边缘。
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基于上述思路的另一种作法是给边缘处的像素值规定 一个特定的灰度级LG，即：
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5.5 卷积方法
采用卷积方法可以实现边缘增强。下面介绍 三种不同的边缘增强方法和一种边缘检测方法， 所有这些方法都是以待处理象素为中心的邻域作 灰度分析为基础的，并且图象中正是利用象素邻 域中灰度变化信息来判别与突出边缘的。还应该 注意所有采用卷积的边缘增强算法都是线性的， 这些算法都是一次乘积的和。但Soble边缘检测算 法则采用了一次微分的方法来检测边缘。这种非 线性方法用较小的计算量，得到了较好的边缘检 测效果。
f(x,y+1)]}
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用绝对值近似计算如下 G[f(x,y)]=|f(x,y)-f(x+1,y+1)|+|f(x+1,y)f(x, y+1)|
两种方法中像素间的关系如下图所示：
由上面的公式可见，梯度的近似值都和相邻像素的灰
度差成正比。这正象所希望的那样，在一幅图像中，
由图可见，理想高通传递函数与理想低通正好相反。
通过高通滤波正好把以DO为半径的圆内的频率成份衰 减掉，对圆外的频率成份则无损地通过。与理想低
通一样，理想高通可以用计算机模拟实现，但不可
能用电子元件来实现。
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2．Butterworth高通滤波器 截止频率为DO的n阶Butterworth高通滤波器的传递函数 如下式表示：
1．理想高通滤波器 一个理想的二维高通滤波器的传递函数由下式表
示：
式 中 DO 是 从 频 率 平 面 原 点 算 起 的 截 止 频 率 （ 或 距 离），D(u,v)仍然由下式决定：
D(u,v)=(u2+v2)1/2
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理想高通滤波器传递函数如下图所示。
的方向； （ 2 ） 如 果 用 G[f(x,y)] 来 表 示 grad[f(x,y)] 的 幅
度，那么 G[f(x,y)]=max{grad[f(x,y)]} =[(f/x)+ (f/y)] (5-3-1)
这就是说，G[f(x,y)]等于在grad[f(x,y)]的方向上每单位
距离f(x,y)的最大增加率。显然，式(5-3-1)是一个标量
3．指数高通滤波器 指数高通滤波器的传递函数如下式表示：
式中D0为截频，D(u,v)=[u+v]。参数n是决定衰减率 的系数。指数高通滤波器的传递函数如图所示。
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由传递函数可知，当D(u,v)=D0时，H(u,v)=1/e。如果 把截止频率定在H(u,v)最大值的1/21/2时，则其传递函 数可修改为下面的形式：
（中间像素同上、下、左、右四个相邻像素之差） 拉普拉斯变换边缘检测
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下图中给出了三个不同的拉普拉斯边缘增强卷积核。
LAP1
LAP2
LAP3
LAP4
除LAP3外，其余卷积和的卷积系数之和均为0
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采用这种方法时需要注意，当象素值变化是由白到 黑时，求得的变化率为负值，所以应取绝对值，这样无 论象素是由白变黑还是由黑变白边缘都能够得到增强。
当要用此方法来增强图象中的垂直方向的边缘时，
可将图象向左平移一个象素，然后用原因象减去平移后 的图象。当要增强图象中水平方向的边缘时，可将图象 向上平移一个象素，然后用原图象减去平移后的图象。 如果同时增强水平和垂直方向上的边缘，可以将图象向 上平移一个象素，再向左平移一个象素，然后用原图象 减去平移后的图象。上述方法说起来好象很简单，实现 起来还是有一定的复杂性的。为使这种方法在实现上简 单一些，可以采用卷积的方法，而不去移动图象，这样 处理也能取得相同的结果。下图给出了能够进行平移和 差分边缘增强的卷积核。这些卷积核与平移和差分算法 在本质上是相同的。
微分尖锐化的处理方法最常用的是梯度法。由 场论理论知道，数量场的梯度是这样定义的：
如果给定一个函数f(x,y)，在坐标(x,y)上f的 梯度可定义为一个矢量
grad[f(x,y)]=[f/x,f/y]
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由梯度的定义可以得知它有两个特点： （1）矢量grad[f(x,y)]是指向f(x,y)最大增加率
即首先将原图象平移一个象素，然后用原图象减去 平移后的图象。相减的结果反映了原图象亮度变化 率的大小。对于图象中象素值保持不变的区域，相 减的结果为0，这意味着象素为黑，对于图象中象素 值变化剧烈的区域，相减后退到了相应的变化率， 对应的象素将很亮。象素值差别越大，相减得到的 象素就越亮。
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所有边缘增强操作，包括拉普拉斯边缘增强方法， 都削弱了图象的低频成份。经过变换后，图象中亮度 保持不变或线性缓慢变换的区域变黑，而象素值变化 剧烈的区域经过变换后突出出来了。这种削弱图象低 频成份的卷积核其卷积系数之和为零。
5.5.2平移和差分边缘增强 该方法的名称已道出了该方法的具体实现方法，
关，所以当利用高通滤波器衰减图像信号中的低频分 量时就会相对地强调其高频分量，从而加强了图像中 的边缘及急剧变化部分，达到图像尖锐化的目的。采 用高通滤波器的方法锐化图象时，通常也伴随着放大 图象中的噪声的效果。
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与低通滤波器相对应，常用的高通滤波器有理想 高通滤波器、Butterworth高通滤波器、指数高通滤波 器和梯形高通滤波器等。这里只讨论径向对称的零相 移滤波器。
式中，截止频率D0为H(u,v)降到1/2时D(u,v)的值， D(u,v)=[u+v]。
Butterworth高通滤波器传递函数的如图所示：
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当高通滤波器的截频D0选择在使H(u,v)降到最大值的 1/21/2时，其传递函数可修改成下式：
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平移和差分边缘增强卷积核
垂直边缘
水平边缘
水平和垂直边缘
让我们来看一下垂直边界增强的例子。前面已 经说过可以将图象左移一个象素然后用原因象减去 平移后的图象，就可达到增强边界的目的。用垂直 卷积核可以达到同样的目的。
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函数，并且G[f(x,y)]永远是正值。
在数字图像处理中，仍然要采用离散形式，为此用
差分运算代替微分运算。式(5-3-1)可用下面的差分公
式来近似：
G[f(x,y)]≈{[f(x,y)- f(x+1,y)]2+[f(x,y)-
f(x,y+1)]2}1/2 (5-3-2)
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5.5.1拉普拉斯边缘增强 拉普拉斯边缘增强与其它边缘增强方法的不同之处
在于，该方法是一种各向同性的增强方法，即其边缘的 增强程度与边缘的方向无关。之所以叫拉普拉斯增强， 是因为这种变换与数学及电学中普遍使用的拉普拉斯算 子相似。拉普拉斯边缘增强方法产生的边缘的锐化程度 大于其它边缘增强方法，并且不论灰度梯度是正的还是 负的，拉普拉斯边缘增强方法都能使边缘得到增强。正 因为如此，在机器视觉领域中广泛地使用了拉普拉斯边 缘增强方法。函数f(x,y)的拉普拉斯变换，其数学表达 式为：
Robert算子边缘检测示例
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当选定了近似梯度计算方法后，可以有多种方法产 生梯度图像g(x,y)。最简单的方法是让坐标(x,y)处的 值等于该点的梯度，即:
g(x,y)=G[f(x,y)] 这 个 简 单 方 法 的 缺 点 是 使 f(x,y) 中 所 有 平 滑 区 域 在 g(x,y)中变成暗区，因为平滑区内各点梯度很小。为克 服这一缺点可采用阈值法。其方法如下式表示：
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即是f(x,y)相对于x,y的二次偏导数。对于离散函数来 讲，二次偏导数可近似地用差分表示为:
因此拉普拉斯变换可近似地表示为:
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上式等效于一个与f(x,y)作卷积运算的卷积核。卷积 核可写成:
这种处理会使图像边缘的增强效果更加明显。 当只研究图像边缘灰度级变化时，要求不受背景的
影响，则用下式来构成梯度图像：
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式中LB是规定的背景灰度值。 另外，如果只对边缘的位置感兴趣。则可采用下
式的规定产生图像：
5.4.2高通滤波法 因为图像中的边缘及急剧变化部分与高频分量有