第一章集合

k =1 n ∞
1 k
8． 设 { f n ( x)}
∞ n =1 是区间
(a, b) 上的单调递增的序列，即
f1 ( x) ≤ f 2 ( x) ≤
≤ f n ( x) ≤
， E{ f ( x) > a} = ∪ E{ f n ( x) > a} .
n =1
n →∞
若 f n ( x) 有极限函数 f ( x ) ，证明： ∀a ∈
i =1 i =1
n +1 i =1
n
n
∪ Ai = ( ∪ Ai ) ∪ An +1 = ( ∪ Ai ) ∪ ( An +1 − ∪ Ai ) = ( ∪ Bi ) ∪ ( Bn +1 − ∪ Bi ) .
i =1 i =1 i =1 i =1 i =1
n
n
n +1
n
n
n
事实上， ∀x ∈ ∪ Ai ，则 ∃i (1 ≤ i ≤ n) 使得 x ∈ Ai ，令
使得 f ( x )
∞ 1 1 1 > a 且 x ∈ E . 故 x ∈ E{x | f ( x) ≥ a + } ⊂ ∪ E{x | f ( x) ≥ a + } . 从 n =1 n n n ∞ 1 而， E{ x | f ( x ) > a} ⊂ ∪ E{x | f ( x ) ≥ a + } . n =1 n ∞ 1 1 反之, ∀x ∈ ∪ E{x { x | f ( x ) ≥ a + } , ∃n ∈ 使得 x ∈ E{x | f ( x ) ≥ a + } . n =1 n n 1 即， f ( x ) ≥ a + > a 并且 x ∈ E ，故 x ∈ E{ x | f ( x ) > a} . 于是， n ∞ 1 ∪ E{x | f ( x) ≥ a + } ⊂ E{x | f ( x) > a} . n =1 n ∞ 1 从而， E{x | f ( x ) > a} = ∪ E{x | f ( x ) ≥ a + } n =1 n
n =1
∞
反过来， ∀x ∈ ∪ E{ f n ( x) > a} ， ∃n0 ∈
n =1
n →∞
∞
使得 x ∈ E{ f n0 ( x ) > a} . 于是，
∀n ≥ n 0 ， 有 f n ( x ) ≥ f n0 ( x) . 因此，lim f n ( x ) = f ( x ) ≥ f n0 ( x ) > a 且 x ∈ E . 因
i =1
i0 = min{i | x ∈ Ai 且1 ≤ i ≤ n
n i =1
}
i0 −1 i =1
则 x ∈ Ai0 − ∪ Ai = Bi0 ⊂ ∪ Bi ，其中，当 i0 = 1 时， ∪ Ai = ∅ .
i =1
i0 −1
从而， ∪ Ai = ∪ Bi .
i =1 i =1
n
n
6．设 f ( x ) 是定义于 E 上的实函数， a 为常数，证明：
m ≥ n0
lim inf χ An ( x) = sup inf χ Am ( x) = 1
n b∈N m ≥ n
此外，对于 ∀x ∉ lim inf An ，即 ∀n ∈
n
n
有 x ∉ ∩ An . 所以, ∃kn ∈
m≥n
b∈N m ≥ n
使得
kn ≥ n 并且 x ∉ Akm , 则 χ Ak = 0 . 因此， inf χ Am ( x ) = 0 . 故, sup inf χ Am ( x) = 0 .
n →∞ n →∞
证 因为 {E1 , E2 ,
} 两两不相交，则 ∀n ∈
∞ ∞ ∞
， ∩ Em = ∅ . 故,
m=n
∞
lim En = ∪ ( ∩ Em ) = ∪ ∅ = ∅ .
n →∞ n =1 m = n n =1
另一方面，若 limEn = ∩ ( ∪ Em ) ≠ ∅ ，我们可取 x0 ∈ lim E n ，则 ∀k ∈
( A − B) ∪ C ⊂ A − ( B − C ) .
最后证， A − ( B − C ) ⊂ ( A − B ) ∪ C 对于 ∀x ∈ A − ( B − C ) ，则 x ∈ A 且 x ∉ B − C . 如果 x ∈ C ，显然有 x ∈
( A − B) ∪ C ； 如 果 x ∉ C , 因 x ∉ B − C ， 则 x ∉ B . 因 此 ， x ∈ A − B ， 则 x ∈ ( A − B ) ∪ C . 从而， A − ( B − C ) ⊂ ( A − B ) ∪ C
≥a+
7．设 { f n ( x)}∞ n =1 是 E 上的实函数列，具有极限 f ( x ) ，则对任意常数 a 有：
∞ ∞ 1 1 E{x | f ( x ) ≤ a} = ∩ lim inf E{x | f n ( x) ≤ a + } = ∩ lim inf E{x | f n ( x) < a + } n k =1 n k = 1 k k 1 证 ∀x ∈ E{ x | f ( x ) ≤ a} ，∀k ∈ ，则 f ( x ) ≤ a ≤ a + 并且 x ∈ E . 因为 k 1 则 ∃n ∈ 使得 ∀m ≥ n ， 有 f n ( x) ≤ a + . 故对于 ∀m ≥ n 有 lim f n ( x ) = f ( x) ， n →∞ k 1 1 x ∈ E{x | f m ( x) ≤ a + } ，因此， x ∈ ∩ E{x | f m ( x) ≤ a + } . 即， m≥ n k k ∞ 1 1 x ∈ ∪ ∩ E{x | f m ( x) ≤ a + } = lim inf E{x | f m ( x) ≤ a + } . n n =1 m ≥ n k k ∞ 1 再由 k 的任意性， x ∈ ∩ lim inf E{x | f n ( x ) ≤ a + } . k =1 n k ∞ 1 反过来，对于 ∀x ∈ ∩ lim inf E{x | f n ( x ) ≤ a + } ， ∀k ∈ ，有 k =1 n k 1 1 x ∈ lim inf E{x | f m ( x) ≤ a + } = ∪ ∩ E{x | f m ( x) ≤ a + } n n∈ m ≥ n k k 1 即 ∃n ∈ ，∀m ≥ n 时，有 f m ( x ) ≤ a + 并且 x ∈ E . 所以， k
即， {Bn }n=1 相互正交. (ii) 因为 ∀i (1 ≤ i ≤ n ) ，有 Bi ⊂ Ai . 所以, ∪ Bi ⊂ ∪ Ai .
i =1 i =1 n n
∞
下证： ∪ Ai ⊂ ∪ Bi .
i =1 i =1
n
n
因为当 n = 1 时， A1 = B1 并且当 n ≥ 1 时， ∪ Ai = ∪ Bi . 则我们有
n →∞ n =1 m = n
∞
∞
n →∞
，
∃nk ≥ k 使得 x ∈ E nk . 特别地, 当 k = 1∈ 时, ∃n1 ≥ 1 有x ∈ En ; 当 k = n1 + 1
时, ∃n2 ∈ N , n2 ≥ k = n1 + 1 > n1 ,有 x ∈ E2 ( n1 < n2 ) . 从而， x ∈ E n1 ∩ E n2 这与 E n1 ∩ E n2 = ∅ 矛盾，故 lim En = ∅ .
3
▉▉ 实变函数习题参考解答
1 并且 x ∈ E . m →∞ k 又令 k → ∞ ，故 f ( x ) ≤ a 并且 x ∈ E . 于是, x ∈ E{x | f ( x ) ≤ a} . lim f m ( x) ≤ f ( x) ≤ a +
从而， E{ x | f ( x ) ≤ a} = ∩ lim inf E{x | f n ( x ) ≤ a + } .
n →∞
从而, lim En = lim En = ∅ .
n →∞ n →∞
16．若集 A 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即 A = {a x1 x 2 } ， 而每个指标 xi 在一个势为 c 的集中变化，则集 A 的势为 c . 证 设 xi 在势为 c 的集合中变化，即
，因为
事实上，对于 ∀x ∈ 集， 故可数. 因为
×
= ∪ ({x} × ) 是可数个有理数集的并
x∈
×
×
×
= ∪ ({x} ×
x∈
× ) 并且对于 ∀x ∈
故
， 有 { x} ×
×
~
×
. 所以 , { x} ×
是可数的 .
×
×
是可数个可数集合的并
集，因此，它也是可数的. 14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数. 证 设 S 为可数集，不妨记为 S = {s1 , s2 ,
m≥ n
即, lim inf χ An ( x) =0 .
n
▉▉ 实变函数习题参考解答
从而,
χ lim inf A ( x) = lim inf χ A ( x) .
n
n
n
n
(ii) 方法与(i)雷同. 5．设 { An }n=1 为集列， B1 = A1 ， Bi = Ai − ∪ A j (i > 1) 证明：
此， x ∈ E{ f ( x ) > a} . 从而， E{ f ( x) > a} = ∪ E{ f n ( x) > a} .
n =1 ∞
10．证明： 证 设
3
中坐标为有理数的点是可数的. 是不可数的. 下证：
为有理数集，由百度文库理 6,
×
×
=
{( x, y, z ) | x, y, z ∈
} 是可数集合.
第 1 章 集合（习题及参考解答）
3．等式 ( A − B ) ∪ C = A − ( B − C ) 成立的的充要条件是什么？ 解 若 ( A − B ) ∪ C = A − ( B − C ) ，则
C ⊂ ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) ⊂ A
即， C ⊂ A . 反过来, 假设 C ⊂ A , 因为 B − C ⊂ B . 所以, A − B ⊂ A − ( B − C ) . 故,
j =1
∞
i −1
(i) {Bn }n=1 互相正交； (ii) ∀n ∈ , ∪ Ai = ∪ Bi
i =1 i =1 n n
∞
证 (i) ∀n, m ∈
， n ≠ m ，不妨设 n > m ，因为 Bn = An − ∪ Ai ⊂
i =1
n −1
An − Am 并且 Bm ⊂ Am ，则 Bn ⊂ An − Am ⊂ An − Bm . 故 Bn ∩ Bm = ∅ .
4
, sn , } . 对于 ∀n ∈
, 记
第 1 章 集合
█
█
An = {a | a ⊂ {s1 , s2 ,
n
, sn }} ，
则 An 为有限集（ An = 2 ）. 因此， A = ∪ An 为至多可数集，即 An ≤ C0 .
n =1
∞
则 C0 = S ≤ A . 从而，A = C 0 并且 A 是 S 上 又因为 S ~ {{x}| x ∈ S } ⊂ A ， 全体有限子集所构成的集合. 15．设 {En }∞ n =1 是两两不相交的集合所的集列，证明： lim En = lim En = ∅ .
1 n =1 n ∞ 1 (ii) E{x | f ( x ) ≥ a} = ∩ { f ( x) > a − } n =1 n
(i) E{ x | f ( x ) > a} = ∪ { f ( x) ≥ a + }
2
∞
第 1 章 集合
█
█
证 (i) ∀x ∈ E{ x | f ( x ) > a} ，即 x ∈ E 且 f ( x ) > a ，则 ∃n ∈
n
(ii) χ lim sup A ( x) = lim sup χ An ( x)
n
n
n
证 (i) 因 为 ∀x ∈ lim inf An = ∪ ( ∩ An ) ， ∃ n0 ∈
n n∈ m≥ n
， 对 于 ∀m ≥ n0 有
x ∈ Am ，则 χ Am ( x) = 1 . 所以, inf χ Am ( x) = 1 .故
∞
证 对于 ∀x ∈ E{ f ( x ) > a} ，则 x ∈ E 并且 f ( x ) > a . 因为 lim f n ( x ) =
f ( x ) , 则 ∃n0 ∈
使得 ∀n ≥ n0 有 f n ( x) > a 并且 x ∈ E . 从而，
x ∈ E{ f n0 ( x ) > a} ⊂ ∪ E{ f n ( x) > a} .
于是， ( A − B ) ∪ C = A − ( B − C ) 4．对于集合 A ，定义 A 的特征函数为 χ A ( x) = ⎨ 一集列 ，证明： (i) χ lim inf A ( x) = lim inf
n
⎧1, x ∈ A ∞ ， 假设 { Ai }i=1 是 ⎩0, x ∉ A
n
n
χ A ( x)