数学模型优化模型

相应地 Q 2c1r c2
C 2c1c2r
经济订货批量公式(EOQ公式)
允许缺货的存贮模型
在某些情况下，用户允许短时间的缺货，虽然这会 造成一定的损失，但是如果损失费不超过不允许的缺货 导致的准备费和贮存费的话，允许缺货就应该是可以采 取的策略。
模型假设
3a. 生产能力为无限大(相对于需求量)，允许缺货，每
t
30.0 22.9 17.5 13.3 10.0
g
0.11 0.12 0.13 0.14 0.15
t
7.3 5.0 3.1 1.4
0
30
20
10
0 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。
t 对 r 的敏感度记作S(t, r)，定义为
S(t, r) t / t dt r r / r dr t
天每件产品缺货损失费为c3，但缺货数量需在下次生
产(或订货)时补足。
模型建立
因贮存量不足造成缺货时，可认为贮存量函数q(t) 为负值。
y Q
R
r
A
o
T1 B T
一周期的总费用为 C c1 c2 A c3 B
QT1 / 2 r(T T1)2 / 2
c1 c2 QT1 / 2 c3 r(T T1)2 / 2
t 0时生产 Q 件，贮存量q(0) Q，q(t)以需求速率 r
递减，直到 q(T ) 0
y
一周期的总费用为
Q r
C c1 c2 A c2 QT / 2
c1 c2 rT 2 / 2
A
每天的平均费用为
o
T
t C(T ) C / T c1 / T c2 rT / 2
模型求解
求 T 使得 C 最小。容易得 T 2 c1 c2 r
由
t
40r r
60
，当r
2时，S (t ,
r)
60 40r
60
3
即生猪 r 增加1％，出售时间推迟3％。
类似的 由 t 3 20g ，当 g 0.1时，
g
S(t, g) t / t dt g 3 3 g / g dg t 3 20g
模型假设
设生产周期 T 和产量 Q均为连续变量，根据问题性 质作如下假设： 1. 产品每天的需求量为常数 r ；
2. 每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2；
3. 生产能力为无限大(相对于需求量)，当贮存量降为 零时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺 货。
模型建立
将贮存量表示为时间 t 的函数 q(t)
问题分析
尝试计算一下： 周期(天) 产量(件/天) 贮存费(元) 总计(元) 平均 (元/天)
1
100
0
5000 5000
10
1000 4500 9500
950
50
5000 122500 127500 2550
一般地，考察这样的不允许缺货模型：
产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为 常数、生产能力无限、不允许缺货，确定生产周期和 产量，使总费用最小。
t 0 2.5 4.7 6.7 8.4 10.0 11.4 12.7
r 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2
t 0 2.5 4.7 6.7 8.4 10.0 11.4 12.7
20
15
10
5
0
1.5
2
2.5
3
g与 t 的关系
g
0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1. 设每天生猪价格的降低 g 0.1元不变，研究 r 变化 的影响。此时
t 40r 60 r
r 1.5
2. 设每天生猪体重的增加 r 2公斤不变，研究 g变化
的影响。此时
t 3 20g g
0 g 0.15
t 4r 40g 2 rg
r 与 t 的关系
r 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2
李明远
内蒙古财经学院
Email:lmy@imfec.edu.cn
优化模型
优 化
存
贮
模
型
模 型
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之
之 用；车间一次加工出一批零件，供装配线每
天生产之需；商店成批购进各种商品，放在
货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱
季的灌溉和发电。
显然，这些情况下都有一个贮存量多大才 合适的问题。存贮量过大，存贮费用太高； 存贮量太小，会导致一次性订购费用 增加，或不能满足及时满足需求。
影响。
l
模型假设
每天投入4元资金使生猪体重每天增加常数 r (=2 公斤)，生猪出售的市场价格每天降低常数 g (=0.1元)。
模型建立
约定记号：
t : 时间(天).
p : 单价(元/公斤).
C : t天投入的资金(元).
w : 生猪体重(公斤). R : 出售的收人(元). Q : 纯利润(元).
不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干各种部件，轮换生产不同 的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无 关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓 库要付贮存费。
今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费 5000元，贮存费每日每件1元。如果生产能力远大于需 求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划， 即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少， 可使总费用最小。
t 每天的平均费用为
C(T ,Q) c1 c2 Q2 c3(rT Q)2
T 2rT
2rT
模型求解
求 T，Q使得 C 最小。
Q 2c1r T 2 c1
Hale Waihona Puke Baidu
c2
c2 r
T 2c1 c2 c3 c2r c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
又 R rT
R 2c1r c2 c3 c2 c3
目标函数 (纯利润)
Q R C 880 (8 gt)(80 rt) 4t 640
模型求解
这是求二次函数的最大值问题，用代数或微分法
很容易解得
t 4r 40g 2 10 rg
相应的
Q(10) 20
敏感性分析
由于模型假设中的参数(生猪每天增加的体重和 每天价格的降低)是估计和预测的，所以应该研究它 们有所变化时对模型结果的影响。
记 c2 c3
c3
发现
T T,Q Q / , R Q
优
生猪的出售时机
化 模
型
一饲料场每天投入4元资金用于饲料、 之
设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪
每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格
为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，
问该市场应该什么时候出售这样的生猪。如
果上面的估计和预测有出入，对结果有多大