第二章 非线性微分方程动力系统的一般性研究

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第二章 非线性微分动力系统的一般性研究

在对一个由非线性微分方程所描述的数学模型设计一个计算格式之前，在对该模型所表示的控制系统进行镇定设计或其他工作之前，人们往往希望对该系统可能呈现的动态特性有一个清楚的了解。特别是当系统模型包含若干个可变参数时，人们又希望知道，这些参数的变化将如何影响整个系统的动态特性。本章主要介绍非线性微分方程的一般理论，它将是进一步研究和讨论以下几章的基础。

本章中将研究非线性常微分方程定义的动力系统：

()dx x f x dt '== (2.1)

其中n x R ∈，()f x 是定义在某个开集n G R ⊂中的一阶连续可微函数。首先，介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征。然后，分别介绍非线性微分方程的解的动态特性研究中的三个主要的内容，即方程的平衡点、闭轨以及轨线的渐近性态分析。

2.1 常点流、直化定理

本节介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征，即证明如下的直化定理。

定理2.1 设有定义在开集n G R ⊂上的动力系统(2.1)，0x G ∈是它的一个常点，则存在0x 的邻域0()U x 及其上的r C 微分同胚α，它将0()U x 内的流对应为n R 内原点邻域的一族平行直线段。

证明：由于0x 是常点，0()f x 是n R 中的非零向量，通过非奇异线性变换β（坐标轴的平移、旋转和拉伸），可将0x 对应为新坐标系的原点，且0()f x 化为列向量

(1,0,,0)T

L （简记为(1,0)T r ），其中T 表示向量的转置，0r 代表(1)n -维零向量，而微分系统可化为

(),(0,0)(1,0)T x f x f ββ==r r & (2.2) 与此同时，0x 的邻域V ，在线性变换β的作用下化为

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10(),()n V R R x ββ-⊂⨯=原点O

参见图2.1(b)。根据解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在0(0,0)=r 的邻域

10()n I U V β-⨯⊂和包含0的区间J ，使得系统(2.1) 从10n I U -⨯中任何一点出发的解()t ϕ在J 上存在，且关于其变量是r C 连续可微的。

进一步，

10:()n J I U V ϕβ-⨯⨯→，

即对任意的10(,)n s q I U -∈⨯r ，其中121(,,,)n q q q q -=r L ，系统(2.1)过(,)s q r 点有解曲线

(,,):()t s q J V ϕβ→r 满足

(0,,)(,)T s q s q ϕ=r r 。

令(,)(,0,)t q t q ψϕ=r r ，则得到映射

1:()n J U V ψβ-⨯→。

考察导算子(0,0)D ψr ，因 (0,0)(0,0,0)||((0,0,0))(0,0)(1,0)T d f f t dt

ββψϕϕ∂====∂r r r r r 。 又由于(0,0,)(0,)q q ϕ=r r

，故有 (0,0)(0,0,0)10||T n q q E ψϕ-⎛⎫∂∂== ⎪∂∂⎝⎭

r r r ， 其中1n E -表示(1)n -阶单位方阵。于是导算子

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(0,0)n D E ψ=r 。

由反函数定理知，在(0,0)r 的一个邻域，ψ为局部微分同胚。取0x 的邻域

011()()n U x J U βψ--=⨯。

由于,βψ均为微分同胚，因而1αψβ-=也是微分同胚，且它将n R 中(2.1)的常点0x 的邻域0()U x 内的流映射为n R 中开集1n J U -⨯内的一族平行于t 轴的直线段（见图2.1）。证毕。

x 1ψ-V

q

()a ()

b

图2.1 对于离散系统g 的常点，有类似结论。只需改为：在常点邻近的离散轨道在微分同胚α之下，都相应分布在一族平行直线段上。

2.2 平衡点及其动态特性

2.2.1 基本概念

考虑以下非线性常微分方程定义的动力系统：

定义2.1 假设x 是系统(2.1)的一个平衡点，它是“稳定的”是指：如果对x 的任一个邻域V ，存在—个子邻域，使沿系统(2.1)的任何—个满足初始条件：0(0)x x =的解0(,)x t x 对0t >皆在V 存在且位于V 之中(图2.2)。进而，如果可选得一个1V ，使得对任何01x V ∈都有

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0lim (,)t x t x x

→∞= 那么x 被称为是浙近稳定的平衡点或汇(图2.3)。

图2.2 稳定平衡点 图2.3 渐近稳定平衡点

定义2.2 假设x 是系统(2.1)的一个平衡点，且()Df x 没有零特征值和纯虚数特征值，那么x 被称为是双曲型的平衡点或非退化平衡点。 显然，对双曲型平衡点而言如果()Df x 所有特征值皆有负实部，那么x 是渐近稳定平衡点，而当()Df x 的特征值中某些具有负实部，另一些却具有正实部时，x 是不稳定的，它被称为鞍点(saddle)；进而，如果()Df x 所有持征值皆有正实部，那么x 是不稳定平衡点，此时被称之为源(source)。

例题2.1 (Lienard 方程)考虑

(),x y F x y x

'=-⎧⎨'=-⎩ 的平衡点及其稳定性。

易推得，Lienard 方程的等价形式为

()()0,x f x x g x '''++=

其中()g x x =，

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0()()x

F x f u du =⎰。 从定义可知，该方程平衡点是(0,(0))F ，同时该系统在平衡点处Jacobian 矩阵为 (0)1,1

0F D '-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 其两个特征值没分别是 21/21

[(0)((0)4)],2

F F λ±''=-±- 所以，当(0)0F '>时，平衡点(0,(0))F 是汇；而(0)0F '<时，(0,(0))F 是源。

2.2.2 平衡点稳定性分析

对于双曲型平衡点而言，其稳定性完全可以由相应的线性化系统来判断。假设x 是系统(1.1)的一个平衡点，那么在点x 系统的线性化系统定义为

(),.n Df x R ξξξ'=∈ (2.3) 其中[/]i j Df f x =∂∂是()f x 的Jacobian 矩阵，,||1x x ξξ=+=。以下定理给出了—个十分有用的结论，即双曲型平衡点的稳定性与其相应的线性近似系统在原点的稳定性—样。

定理2.2 如果()Df x 没有零或纯虚数特征值，那么存在一对一连续可逆变换(称之为同胚)，它定义于n R 中x 的某个邻域之内，将非线性方程的解映射为相应线性方程(1.2)的解，并保持解的性态不变。

以上定理的证明可以在Hartman P ．在1964年出版的专著中找到。这里不再引述。 然而，当x 不是双曲型不动点时，就无法应用上述定理，从线性化系统来判断其稳定性，下面的Liapunov 定理给出了—条途径。