状态空间模型和卡尔曼滤波优秀课件
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为新的状态向量。用B矩阵左乘状态方程(11.1.3)，得到
αt Ttαt1 ct Rtεt
(11.1.12)
式中Tt* = BTt B-1，ct*= Bct ，Rt*= BRt 。相应的量测方程
是
yt Ztαt dt ut
(11.1.13)
式中 Zt* = Zt B-1 。
例11.2 二阶自回归模型AR(2)
一般地，t 的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马
尔可夫(Markov)过程。下面定义转移方程(transition equation) 或称状态方程(state equation)为
αt Ttαt1 ct Rtεt , t 1, 2，,T (11.1.3)
其中：Tt 表示 mm 矩阵，称为状态矩阵，ct 表示 m1 向量，
yt 1 yt1 2 yt2 ut , t 1, 2 , , T (11.1.14)
其中：E(ut) = 0，var(ut) = 2，cov(ut , ut-s) = 0, 考虑两个可能的
状态空间形式( k=1, m=2 )是
yt (1, 0)αt
(11.1.15)
αt
2
yt yt
(11.1.5)
var(ut ) 2 t 1, 2 , , T
其中：Zt 表示 1m 矩阵，t 表示 m1状态向量， ut 是方 差为 2 的扰动项。
若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：
(1) 初始状态向量 0 的均值为 a0，协方差矩阵为 P0，即
E(α0 ) a0
var(α0 ) P0
Rt 表示 mg 矩阵，t 表示 g1 向量，是均值为0，协方差矩阵
为 Qt 的连续的不相关扰动项，即
E(εt ) 0
var(εt ) Qt
(11.1.4)
量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用 表示
Ω
var
ut εt
H 0
t
0 Qt
当 k 1 时，变为单变量模型，量测方程可以写为
yt Ztαt dt ut
§11.1 状态空间模型的定义
在本节中，我们仅就如何定义并预测一个线性状态空间
模型做以简要的讨论。状态空间模型一般应用于多变量时间
序列。设 yt 是包含 k 个经济变量的 k1 维可观测向量。这
些变量与 m1 维向量 t 有关，t 被称为状态向量。定义
“量测方程” (measurement equation) 或称“信号方 程”(signal equation)为
状态空间模型和卡尔曼滤波
在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的， 这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利 用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未 来的值。状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。
而实际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态 （如导弹轨迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状 态都是一种不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反 映了系统所具有的真实状态，所以被称为状态向量。这种 含有不可观测变量的模型被称为UC模型(Unobservable Component Model)。
量测方程： yt (1, 0) t
(11.1.10)
状态方程：
t
0 0
1 0
t
1
1
t
(11.1.11)
这种形式的特点是不存在量测方程噪声。
对于任何特殊的统计模型，状态向量t 的定义是由
结构确定的。它的元素一般包含具有实际解释意义的成 分，例如趋势或季节要素。状态空间模型的目标是，所
建立的状态向量t 包含了系统在时刻 t 的所有有关信息，
利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点：
第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量) 并入可观测模型并与其一起得到估计结果；
其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法—— 卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量 和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模 型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。
但是都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被
表示为当前的和过去的 ut 和 t 及初始向量 0 的线性组
合，所以模型是线性的。
例11.1 一阶移动平均模型MA(1)
yt t t1 ， t 1, 2 , , T
(11.1.9)
其中：E(t )=0，var(t)= 2，cov(t , t-s)=0, 通过定义状态向量 t =( yt ,t )可以写成状态空间形式
(11.1.6)
(2) 在所有的时间区间上，扰动项 ut 和 t 相互独立，而且 它们和初始状态 0 也不相关，即
E(ut εs ) 0
s, t 1, 2 ,,T
(11.1.7)
且
E(ut α0 ) 0 ， E(εt α0 ) 0
(11.1.8)
t 1, 2 , , T
量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与转移方程中的矩阵 Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变，
yt Ztαt dt ut , t 1, 2，,T (11.1.1)
其中：T 表示样本长度，Zt 表示 km 矩阵，称为量测矩阵， dt 表示 k1 向量，ut 表示 k1 向量，是均值为0，协方差矩 阵为 Ht 的不相关扰动项，即
Leabharlann Baidu
E(ut ) 0 var(ut ) Ht
(11.1.2)
UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的， 必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可 观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估 计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。
EViews状态空间对象对单方程或多方程动态系统提 供了一个直接的、易于使用的界面来建立、估计及分析 方程结果。它提供了大量的建立、平滑、滤波及预测工 具，帮助我们利用状态空间形式来分析动态系统。
同时又使用尽可能少的元素。所以如果状态空间模型的 状态向量具有最小维数，则称为最小实现(Minimal Realization)。对一个好的状态空间模型，最小实现是一 个基本准则。然而对于任一特殊问题的状态空间模型的 表示形式却不是惟一的，这一点很容易验证。
考虑通过定义一个任意的非奇异矩阵B，得到t*=Bt ，
αt Ttαt1 ct Rtεt
(11.1.12)
式中Tt* = BTt B-1，ct*= Bct ，Rt*= BRt 。相应的量测方程
是
yt Ztαt dt ut
(11.1.13)
式中 Zt* = Zt B-1 。
例11.2 二阶自回归模型AR(2)
一般地，t 的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马
尔可夫(Markov)过程。下面定义转移方程(transition equation) 或称状态方程(state equation)为
αt Ttαt1 ct Rtεt , t 1, 2，,T (11.1.3)
其中：Tt 表示 mm 矩阵，称为状态矩阵，ct 表示 m1 向量，
yt 1 yt1 2 yt2 ut , t 1, 2 , , T (11.1.14)
其中：E(ut) = 0，var(ut) = 2，cov(ut , ut-s) = 0, 考虑两个可能的
状态空间形式( k=1, m=2 )是
yt (1, 0)αt
(11.1.15)
αt
2
yt yt
(11.1.5)
var(ut ) 2 t 1, 2 , , T
其中：Zt 表示 1m 矩阵，t 表示 m1状态向量， ut 是方 差为 2 的扰动项。
若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：
(1) 初始状态向量 0 的均值为 a0，协方差矩阵为 P0，即
E(α0 ) a0
var(α0 ) P0
Rt 表示 mg 矩阵，t 表示 g1 向量，是均值为0，协方差矩阵
为 Qt 的连续的不相关扰动项，即
E(εt ) 0
var(εt ) Qt
(11.1.4)
量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用 表示
Ω
var
ut εt
H 0
t
0 Qt
当 k 1 时，变为单变量模型，量测方程可以写为
yt Ztαt dt ut
§11.1 状态空间模型的定义
在本节中，我们仅就如何定义并预测一个线性状态空间
模型做以简要的讨论。状态空间模型一般应用于多变量时间
序列。设 yt 是包含 k 个经济变量的 k1 维可观测向量。这
些变量与 m1 维向量 t 有关，t 被称为状态向量。定义
“量测方程” (measurement equation) 或称“信号方 程”(signal equation)为
状态空间模型和卡尔曼滤波
在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的， 这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利 用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未 来的值。状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。
而实际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态 （如导弹轨迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状 态都是一种不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反 映了系统所具有的真实状态，所以被称为状态向量。这种 含有不可观测变量的模型被称为UC模型(Unobservable Component Model)。
量测方程： yt (1, 0) t
(11.1.10)
状态方程：
t
0 0
1 0
t
1
1
t
(11.1.11)
这种形式的特点是不存在量测方程噪声。
对于任何特殊的统计模型，状态向量t 的定义是由
结构确定的。它的元素一般包含具有实际解释意义的成 分，例如趋势或季节要素。状态空间模型的目标是，所
建立的状态向量t 包含了系统在时刻 t 的所有有关信息，
利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点：
第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量) 并入可观测模型并与其一起得到估计结果；
其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法—— 卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量 和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模 型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。
但是都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被
表示为当前的和过去的 ut 和 t 及初始向量 0 的线性组
合，所以模型是线性的。
例11.1 一阶移动平均模型MA(1)
yt t t1 ， t 1, 2 , , T
(11.1.9)
其中：E(t )=0，var(t)= 2，cov(t , t-s)=0, 通过定义状态向量 t =( yt ,t )可以写成状态空间形式
(11.1.6)
(2) 在所有的时间区间上，扰动项 ut 和 t 相互独立，而且 它们和初始状态 0 也不相关，即
E(ut εs ) 0
s, t 1, 2 ,,T
(11.1.7)
且
E(ut α0 ) 0 ， E(εt α0 ) 0
(11.1.8)
t 1, 2 , , T
量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与转移方程中的矩阵 Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变，
yt Ztαt dt ut , t 1, 2，,T (11.1.1)
其中：T 表示样本长度，Zt 表示 km 矩阵，称为量测矩阵， dt 表示 k1 向量，ut 表示 k1 向量，是均值为0，协方差矩 阵为 Ht 的不相关扰动项，即
Leabharlann Baidu
E(ut ) 0 var(ut ) Ht
(11.1.2)
UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的， 必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可 观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估 计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。
EViews状态空间对象对单方程或多方程动态系统提 供了一个直接的、易于使用的界面来建立、估计及分析 方程结果。它提供了大量的建立、平滑、滤波及预测工 具，帮助我们利用状态空间形式来分析动态系统。
同时又使用尽可能少的元素。所以如果状态空间模型的 状态向量具有最小维数，则称为最小实现(Minimal Realization)。对一个好的状态空间模型，最小实现是一 个基本准则。然而对于任一特殊问题的状态空间模型的 表示形式却不是惟一的，这一点很容易验证。
考虑通过定义一个任意的非奇异矩阵B，得到t*=Bt ，