考点三 平行与垂直的综合问题 多维探究

考点三平行与垂直的综合问题多维探究

角度1多面体中平行与垂直关系的证明

【例3－1】(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD.

证明(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD.

所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，

所以AB⊥AD.

又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，

所以AB⊥平面P AD.

所以AB⊥PD.

又因为P A⊥PD，且P A∩AB＝A，

所以PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，

所以平面P AB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，

所以FG∥BC，FG＝1

2BC.