2.2.3直线与平面平行的性质定理

平面A'B'C'D'， 例3、 如图所示的一块木料中，棱BC//平面 、 如图所示的一块木料中， 平面 ， (1) 要经过面A'B'C'D'内的一点 和棱BC将木料锯开， 要经过面 内的一点P和棱 将木料锯开， 内的一点 和棱 将木料锯开 应该怎样画线？ 应该怎样画线？ (2) 所画的线和平面 所画的线和平面ABCD是什么位置关系？ 是什么位置关系？ 是什么位置关系
a
（×）
α
b
(3)若直线 ∥平面 ，则l与平面 内的 若直线l∥平面α， 与平面 与平面α内 若直线 任意直线都不相交. 任意直线都不相交 （√） (4) 设a、b为异面直线，过直线 且与 为异面直线， 、 为异面直线 过直线a且与 直线b平行的平面有且只有一个 直线 平行的平面有且只有一个. 平行的平面有且只有一个
(2)该定理作用：“线面平行⇒线线平行” 该定理作用： 线面平行⇒线线平行” 该定理作用 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据. 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据 (3)应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相 应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相 应用该定理 并找出两平面的交线. 交，并找出两平面的交线 (4)平面外的两平行线同平行于同一个平面 平面外的两平行线同平行于同一个平面. 平面外的两平行线同平行于同一个平面
F
C' C
P D
E
B' B
练习
1.已知 已知ABCD是平行四边形，点P是平面 是平行四边形， 是平面ABCD外一点，M是PC的 外一点， 是 的 已知 是平行四边形 是平面 外一点 中点， 上取一点G，画出过G和 的平面 的平面. 中点，在DM上取一点 ，画出过 和AP的平面 上取一点 P M
G V F
1. 判断下列命题是否正确？ 判断下列命题是否正确？ (1) 若直线 平行于平面 内的无数条直 若直线l 平行于平面α内的无数条直 线，则l∥α. ∥
（×）
α
l
l // α
(2) 设a、b为直线 为平面 若a∥b，且 为直线,α为平面 、 为直线 为平面,若 ∥ ， b在α 内，则a∥α . 在 ∥
已知a // α , a // b, b ⊄ α , 求证 : b // α . 证明:过直线a作平面β，使得α I β = c.
⇒ a // c ⇒ b // c α I β = c α a // b b ⊄ α ⇒ b // α a // α a⊂β
2.2.3 直线与平面平行的性质定理
复习
1. 直线和平面有哪几种位置关系？ 直线和平面有哪几种位置关系？ 平行、相交、 平行、相交、在平面内 2. 反映直线和平面三种位置关系的依据 是什么？ 是什么？ 公共点的个数 没有公共点： 没有公共点： 平行 仅有一个公共点： 仅有一个公共点：相交 无数个公共点： 无数个公共点：在平面内
如果一条直线与平面平行， 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 这个平面相交，那么这条直线与交线平行
(1)该定理中有三个条件：a // α 该定理中有三个条件： 该定理中有三个条件
β a⊂β ⇒ a // b β I α = b α a b
b a c
c ⊂α
内作一条直线c与直线 平行” 与直线a平行 注1：“已知直线 与平面α平行，在α内作一条直线 与直线 平行”， ： 已知直线a与平面 平行， 这是一个成立而需要证明的命题，是不可直接应用的. 这是一个成立而需要证明的命题，是不可直接应用的 应以平面为媒介证明两直线平行） （应以平面为媒介证明两直线平行）
Hale Waihona Puke 练习1.已知直线 平行于平面α ，经过 的两个平面和平面α相交 已知直线AB平行于平面 经过AB的两个平面和平面 已知直线 于直线a， 求证： 于直线 ，b. 求证：a ∥ b. A B
β
A
B
α
a
b
α
C
D
2.如图，已知AB ∥平面 ，AC ∥ BD，且AC、BD与α分别相交 如图，已知 平面α 如图 ， 、 与 分别相交 于点C， 求证： 于点 ，D. 求证：AC=BD. 证明:∵ 证明 ∵AC ∥ BD 确定一个平面β 与平面α相交于 ∴AC与BD确定一个平面 ,与平面 相交于 与 确定一个平面 与平面 相交于CD. 平面α 又∵AB ∥平面 ，∴AB ∥ CD 是平行四边形. 是平行四边形 又由AC ∥ BD，得 ABDC是平行四边形 又由 ， ∴AC=BD
3. 直线和平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和平面内 如果平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行 平行， 的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行. 个平面平行
a ⊄α b ⊂ α ⇒ a // α a // b
a
α
b
思考
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和 ）如果一条直线和一个平面平行， 即不相交) 这个平面内的直线有怎样的位置关系？平行或异面(即不相交 这个平面内的直线有怎样的位置关系？平行或异面 即不相交 a a b α
小结
线面平行的判定定理： 线面平行的判定定理： 判定定理 线线平行 线面平行
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. 那么这条直线和这个平面平行.
线面平行的性质定理： 线面平行的性质定理：
线面平行
线线平行
分析 :1 BC ⊂ 面BCC'B' ⇒ B'C'//BC A' 面BCC'B' I 面A'B'C'D'=B'C' 2 设过点P和BC的面PBC BC // 面A'B'C'D'
D' C' P C D B' B
与面A'B'C'D'的交线为EF. BC ⊂ 面PBC ⇒ EF//B'C' 面PBC I 面A'B'C'D'=EF BC // 面A'B'C'D'
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个 如果一条直线和一个平面平行， 平面相交，那么这条直线和交线平行. 平面相交，那么这条直线和交线平行.
D H A
O
C
G B
P E C
B
H A
2.点P在平面 点 在平面 在平面VAC内，画出过点 作一个截面平行于直线 和AC. 作一个截面平行于直线VB和 内 画出过点P作一个截面平行于直线
例4、 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个 平面,求证另一条也平行于这个平面. 平面,求证另一条也平行于这个平面.
另一方面，我们发现
B1
F
A1B1 // 面CDD1C 1 C1D1 =面CDD1C 1 I 面A1B1C 1 D1
D A B
C A1B1 ⊂ 面A1B1C 1 D1
猜想:过A1B1的平面A1B1FE与面CDD1C1交于直线EF，则A1B1 // EF?
1.直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理
b
（√）
a
课堂练习
2、选择题： 选择题： （1）直线a//平面α，平面α内有n条互相平行的直 直线 平 内有 条互相平行的直 那么这n条直线和直线 条直线和直线a( 线，那么这 条直线和直线 ( C ) （A）全平行 ） B） （B）全异面 （C）全平行或全异面 ） （D）不全平行或不全异面 ） 直线a//平面 内有n条交于一点的直 （2）直线 平面α，平面α内有 条交于一点的直 那么这n条直线和直线 条直线和直线a 线，那么这 条直线和直线 平行的 ( B ) （A）至少有一条 ） （B）至多有一条 ） （C）有且只有一条 （D）不可能有 ） ）
b α
内找出和直线a （2）已知直线 ∥平面 ，如何在平面 内找出和直线 ）已知直线a∥平面α，如何在平面α内找出和直线 平行的一条直线？ 平行的一条直线？
思考
如图， 直线A 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线 1B1//面CDD1C1. 面
D1 A1
E
C1 由长方体性质，我们知道A1B1 // C1D1.
在平面A'C'内，过点 作直线 ，使EF ∥ B'C'，并分别 作直线EF， 解：(1) 在平面 内 过点P作直线 ， 交棱A'B'，C'D'于点 ，F. 连接 ，CF. 于点E， 连接BE， 交棱 ， 于点 D' 就是应画的线. 则EF，BE，CF就是应画的线 ， ， 就是应画的线 (2)因为棱 平行于平面A'C' ， 因为棱BC平行于平面 因为棱 平行于平面 平面BC'与平面 与平面A'C'交于 交于B'C'， A' 平面 与平面 交于 ， 所以， 所以，BC ∥ B'C'. 由(1)知，EF ∥ B'C' ， 知 所以EF 所以 ∥ BC，因此 ，因此EF ∥ BC， ， EF不在平面 ，BC在平面 上， 不在平面AC， 在平面AC上 A 不在平面 在平面 从而EF 平面AC.BE CF显然都 AC.BE， 从而 ∥平面AC.BE，CF显然都 与面AC相交. AC相交 与面AC相交.
A
如图所示的一块木料中， 平面A'B'C'D'， 例 如图所示的一块木料中，棱BC//平面 平面 ， (1) 要经过面A'B'C'D'内的一点 和棱BC将木料锯开， 要经过面 内的一点P和棱 将木料锯开， 内的一点 和棱 将木料锯开 应该怎样画线？ 应该怎样画线？ (2) 所画的线和平面 所画的线和平面ABCD是什么位置关系？ 是什么位置关系？ 是什么位置关系