第一章多项式

第一章多项式
第一章多项式

第一章 多项式

基本内容及考点综述

一、基本概念

1.整除

数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x g ,如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式

)()()(x h x g x f = 成立,)()(x f x g 表示)(x g 整除)(x f

2.最大公因式

][],[)(),(x P x P x g x f ∈中多项式)(x d 称为)(x f 与)(x g 的一个最大公因式,如果它满足以

下两个条件: (i) ()(),()()d x f x d x g x

(ii) )(x f ,)(x g 的任意公因式全是)(x d 的因式。

3.互素

][x P 中的两个多项式)(x f ,)(x g 称为互素的,如果.1))(),((=x g x f

4.数域P 上的不可约多项式

数域P 上次数≥1的多项式)(x P 称为数域P 上的不可约多项式,如果它不能表成数域P

上的两个次数比)(x P 低的多项式的乘积。

5.K 重因式

不可约多项式()p x 称为多项式)(x f 的K 重因式,如果()k p x 能整除()f x ,而

1()k P x +不能整除()f x 。

如果0=k ,那么)(x P 不是)(x f 的因式,如果1=k ,那么)(x P 称为)(x f 的单因式,如果

1,k >那么p(x)称为f(x)的重因式。

6.本原多项式

如果一个非零的整系数多项式

0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--

的系数011,,,,a a a a n n -互素,则称)(x f 是本原多项式.

二、基本结论

1.0)(][)(),(≠∈?x g x P x g x f 且,一定有][)(),(x P x r x q ∈使

)()()()(x r x g x q x f +=

成立,其中(())g x ?

2. 如果()(),()(),f x g x g x f x 那么()()f x cg x =.其中c 为非零常数.

3. 如果),()(),()(x h x g x g x f 那么)()(x h x f .

4. 如果r i x g x f i ,,2,1,)()( =.那么

)()()(1

x g x u x f i i r i =∑ 其中)(x u i 是数域P 上的任意多项式.

5. ][)(),(x P x g x f ∈?,在][x P 中存在一个最大公因式)(x d 且有][)(),(x P x v x u ∈使 ()()()()()d x f x u x g x v x =+

6.][x P 中多项式)(),(x g x f 互素的充分必要条件是有][x P 中的多项式)(),(x v x u 使

1)()()()(=+x v x g x u x f

7.如果1))(),((=x g x f 且)()()(x h x g x f ,那么).()(x h x f

8.如果)()(),()(21x g x f x g x f 且1))(),((21=x f x f ,那么)()()(21x g x f x f

9.0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 是一个整系数多项式,s

r 是)(x f 的一个有理根,其中s r ,互素,那么必有0,a r a s n ,特别地,如果,1=n a 那么)(x f 的有理根都是整数根.

10.如果)(x P 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式)(),(x g x f ,由)

()()(x g x f x p 一定推出)()(x f x p 或者)()(x g x p .

11.(因式分解及唯一性定理)数域P 上每一个次数≥1的多项式)(x f 都可以唯一地分解

成数域P 上一些不可约多项式的乘积.

12.如果不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,那么它是微商)(x f '的1-k 重因

式.

13.多项式)(x f 没有重因式的充分必要条件是)(x f 与)(x f '互素.

14.在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.

15.在实数域上不可约多项式只能是1次多项式或判别式小于零的2次多项式.

16.在有理数域上存在任意次的不可约多项式.

17.如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么

它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.

18.(Eisenstein 判别法)设

0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--

是整系数多项式,如果有一个素数p ,使

(i)n p a 不能整除 (ii)1,,1,0,-=n i a p i

(iii) 20p a 不能整除

那么)(x f 在有理数域上不可约.

三、基本方法

1.关于最大公因式的证明,一般有以下几种方法:

(1) 利用定义.

(2) 证明等式两边能互相整除.

(3) 如果0)()()()()(≠+=x g x r x g x q x f .那么

))(),(())(),((x r x g x g x f =

(4)如果),()(),()(x g x d x f x d 且有][)(),(x P x v x u ∈使

)()()()()(x v x g x u x f x d +=

则)(x d 是)(),(x g x f 的一个最大公因式.

试题精选

1.(上海交通大学,2004)假设)(1x f 与)(2x f 为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式,

假设124++x x 整除)()(32431x f x x f +试求)(1x f 与)(2x f 的最大公因式.

解 )1)(1()1(12222224+-++=-+=++x x x x x x x x ,它的4个根2121,,,εεωω,其中

2

31,231,231,2312121i i i i

-=+=--=+-=εεωω )()1()()(2432431x g x x x f x x f ++=+.于是有方程组

???=---=---???=+=+0)1()1(0)1()1(0

)1()1(0)1()1(221211221211f f f f f f f f εεωω 解方程组,1212(1)(1)0,(1)(1)0.f f f f ==-=-=于

是,)()1)(1(,)()1)(1(21x f x x x f x x -+-+,而)(),(21x f x f 是互异的次数不超过3的多项式,所以

212((),())1f x f x x =-.

2.(兰州大学,2002)设)(x f 是整系数多项式,1)()(+=x f x g 至少有三个互不相等的整数

根,证明)(x f 设有整数根.

证明 假定)(x f 有整数根m ,则)()()(x h m x x f -=由m x -是本原多项式,所以)(x h 是

整系数多项式,令321,,n n n 是)(x g 的3个互不相等的整数根,则

)())()(()(321x p n x n x n x x g ---=,其中)(x p 是整系数多项式。

)())()((11)()(321m p n m n m n m m f m g ---==+=

于是)(,,,321m p n m n m n m ---只能是1或-1,那么,321,,n m n m n m ---中至少有两

个同为1或同为-1,与321,,n n n 互不相等矛盾,所以 f(x) 没有整数根

3 (兰州大学,2004)设)(x f 和)(x g 是数域F 上的两个不完全为零的多项式,

令 ]}[)(),(|)()()()({x F x v x u x g x v x f x u I ∈+=

证明:(1)I 关于多项式的加法和乘法封闭,并且对任意的I x h ∈)(和任意的][)(x F x k ∈,

有I x k x h ∈)()(.

(2)I 中存在次数最小的首项系数为1的多项式()d x ,并且()((),())d x f x g x =

证明 (1)容易证明,略

(2)考虑0{(()()()())|(),()[]I u x f x v x g x u x v x F x =?+∈且}0)()()()(≠+x g x v x f x u

则0I 是非负整数的一个子集,由最小数原理,0I 中存在最小数,也就是说,I 中存在次数最小的

首项系数为1的多项式11()()()()(),()()()()()d x u x f x v x g x h x u x f x v x g x =+=+令是I

中任意多项式.

令()()()(),()0(())(())h x d x q x r x r x r x d x =+=?

若(())(())r x d x ?

)(|)(x h x d ,显然),(|)(),(|)(,)(),(x g x d x f x d I x g x f 那么∈如果则),(|)(),(|)(x g x p x f x p

),(|)(),()()()(|)(11x d x p x g x v x f x u x p 即+所以)).(),(()(x g x f x d =

4.(苏州大学,2005)设)(x f 是一个整系数多项式,证明:如果存在一个偶数m 和一个奇数

n 使得)()(n f m f 和都是奇数,则)(x f 设有整数根.

证明:假定)(x f 有整数根k ,则)()()(x g k x x f -=,由k x -是本原多项式,那么)(x g 是整

系数多项式,()()(),()()(),(),()f m m k g m f n n k g n f m f n =-=-都是奇数,那么

k n k m --,都是奇数,与m 是偶数且n 是奇数矛盾,所以)(x f 没有整数根.

注:第2题,第4题都是证明的一个否定的结果,一般情况下,用反证法证明.

5.(上海大学,2005)设)1(2)(1≥-+=+n x x x f n n ,求)(x f 在有理数域上的不可约因式并

说明理由.

11112

()2(1)(1)(1)(1)(1)(n n n n n n n n f x x x x x x x x x x x ++---=+-=-+-=-++

++-+)()1()2222)(1()121x g x x x x x x n n n -=+++++-=++-- 对)(x g ,令2=p ,用Eisenstein 判别法容易证明 )(x g 在有理数域上不可约,因此)(x f 在有理

数域上的不可约因式为1-x 及.2221++++-x x x n n

6.(上海大学,2005)设2212311|(1)[()()()()]n n n n n n n x x f x xf x x f x x f x ----++++

(2≥n ),求证:)1,,2,1)((|1-=-n i x f x i

证明:122212311|()()()()n n n n n n n n x x x f x xf x x f x x f x ----++++++++

令ε是n 次本原单位根,那么

???????=++++=++++=+++---------0)1()()1()()1()1(0)1()()1()()1()1(0)1()1()1()1(121321211

122322*********n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f εεεεεεεεε 以上关于121(1),(1),,(1)n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式为

齐次线性方程组只有零解,于是0)1()1()1(121====-n f f f 所以

1,,2,1),(1-=-n i x f x i

7、(大连理工大学,2002)设[]p x 为数域p 上的多项式环,[]x p x f x f ∈)(),(21,且

12(),()f x f x 互素。证明:对于任意[]x p x g x g ∈)(),(21,存在[]x p x g ∈)(使得

.2,1),()()(=-i x g x g x f i i

证明:由)(),(21x f x f 互素,那么存在[]x p x u x u ∈)(),(21,使1122()()()(

)1f xu x f xu x +=

于是 )

()()()()()()()

()()()()()()(22222111122111x g x g x u X f x g x u x f x g x g x u x f x g x u x f =+=+

令)()()()()()()()()(22211121x g x u x f x g x u x f x g x g x g --+= 于是)()()()()()()()()()()(1112222111x g x u x f x g x u x f x g x u x f x g x g -+=-

())()()()()()()()(11211222x g x u x g x u x f x g x u x f -=-

所以 ),()(|)(11x g x g x f -同理)(|)(22x g g x f -

8.(大连理工大学,2000)设)(x p 是次数大于零的多项式,如果对于任何多项式)(),(x g x f ,

由).()(|)(x g x f x p 可以推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p ,试证,p(x)是不可约多项式 证明 假定p(x)可约,令

2222222112

1211

()()01

()()n n n n n n εεεεεεεεε------≠

1212()()(),(())(()),(())(()),p x p x p x p x p x p x p x =?

12()(),()()p x p x p x p x 不能整除不能整除.矛盾,所以)(x p 是不可约多项式.

9.(大连理工大学,2004)设Q R ,分别表示实数域和有理数域,)(),(x g x f 属于][x Q .证明:

(1)若在][x R 中有)(|)(x f x g ,则在][x Q 中也有)(|)(x f x g .

(2))(x f 与)(x g 在][x Q 中互素,当且仅当)(x f 与)(x g 在][x R 中互素.

(3)设)(x f 是][x Q 中不可约多项式,则)(x f 的根都是单根.

证明: (1)假定在][x Q 中()()g x f x 不能整除,那么

][)(),(),()()()(x Q x r x q x r g g x q x f ∈+=,且()(())r x g x ?

所以在][x R 中()()g x f x 不能整除矛盾.因此,结论成立.

(2)如果)(x f 与)(x g 在][x Q 中互素,那么存在][)(),(x Q x v x u ∈,使

.1)()()()(=+x v x g x u x f 以上等式在][x R 中也成立,所以,)(x f 与)(x g 在][x R 中互素.

如果

)(x f 与)(x g 在][x Q 中不互素,那么存在1()[],(())1,()()(),d x Q x d x f x d x f x ∈?≥= ][)(),(),()()(111x Q x g x f x g x d x g ∈=,以上两

个等式在][x R 中成立,因此, )(x f ,)(x g 在][x R 中不互素.

(3) )(x f 是][x Q 中的不可约多项式,则1))(),((='x f x f ,否则1)())(),((≠='x d x f x f ,则

)(x f 有重因式,与)(x f 不可约矛盾.于是)(x f 没有重因式,所以)(x f 的根都是单根.

10.(南京大学,2002)证明多项式!

!3!21)(32p x x x x x f p

+++++= 在有理数域上不可约,其中p 为一素数.

证明: p p x px px p px p x p p x f p +++-+-++=-132)1(4)1(3!!)(!

存在素数p .

(i)1p 不能整除

(ii)!.,!,)1(3,,|p p p p p p -

(iii)2!p p 不能整除

由Eisenstein 判别法,)(!x f p 在有理数域上不可约,于)(x f 在有理数域上不可约.

11.(四川大学,2001)n a a a ,,,21 是不同的整数,证明1

)())(()(21+---=n a x a x a x x f 在有理数域上不可约或是某一有理系数多项式的平方.

证明:如果)(x f 在有理数域上不可约,则结论成立.如果)(x f 在有理数域上可约,则)

(x f 可以写成两个次数比它低的整系数多项式的乘积.

令1212()()(),(()),(()).f x f x f x f x n f x n =?

1)()(21=i i a f a f ,又Z a f a f i i ∈)(),(21,于是,,,1),()(21n i a f a f i i ==那么,)()(21x f x f =,所以

)()(21x f x f =.

12.(广西师大,1996),)(),(21x f x f 是数域F 上两个互素的多项式,)(),(21x r x r 是][x F 中任

意两个多项式,且)(),(21x r x r 的次数分别小于)(),(21x f x f 的次数,证明存在多项式][)(x F x g ∈,

它被)(1x f 除余式为)(1x r ,被)(2x f 除余式为)(2x r .

证明:,1))(),((21=x f x f 那么存在][)(),(21x F x u x u ∈,使1)()()()(2211=+x u x f x u x f .于是

)()()]()()[()()]()()[()(1212221211x r x r x r x r x u x f x r x r x u x f -=-+-

令1

2112122[()()](),()[()()]()u r x r x q x u x r x r x q x -=-=(x),则 ).()()()()()(222111x r x q x f x r x q x f +=+

令),()()()(111x r x q x f x g +=那么结论成立.

13.(广西师大,1997) )(],[)(),(x p x Q x p x f ∈在Q 上不可约,且)()(x p x f 与有一个公共复

根,证明).(|)(x f x p

证明:)(x p 不可约,那么((),())1p x f x =或者)(|)(x f x p ,假定,1))(),((=x f x p 那么存

在],[)(),(x Q x v x u ∈使得

.1)()()()(=+x v x g x u x f

令α是)(x f 与)(x g 的公共复根,则1)()()()(=+ααααv g u f 矛盾,于是).(|)(x f x p

14.(四川大学,1998),),()(],[)(x f x f x P x f -=∈如果),(|x f a x -证明)(|22x f a x -.

证明: ).()()()()()(].[)(),()()(x r a x x q a x x f x f x P x q x q a x x f +=---=-=∈-=当

0=a 时,)(),(|x f x f x 的常数项为0,又),()(x f x f -=则)(x f 奇次项系数为0,于是)(|2x f x ,

当0≠a 时,,1),(=-+a x a x 于是)(|22x f a x -.

15.(北京大学,1997)设)(x f 是有理数域Q 上的一个m 次多项式(0≥m ),n 是大于m 的正

整数,证明)(x f 的实根。

证明 ()f x 2n

x -的一个根,

那么(2,())1n x f x -=,或者2().n x f x - 如果,1))(,2(=-x f x n 那么存在][)(),(x Q x v x u ∈,使.1)()()()2(=+-x v x f x u x n 于是

)2]2)2) 1.n u f -+=矛盾.所以)(|2x f x n -,而m n >矛盾.故不是

)(x f 的根.

16.(华南理工,2000) )(x p 是数域F 上的不可约多项式,若),()(|)(x g x f x p +且

].[)(),(),(|)()(|)(),()(|)(x F x g x f x g x p x f x p x g x f x p ∈其中且则

证明: )(x p 是数域F 上的不可约多项式,()()(),()(),()()

p x f x g x p x f x p x g x 则或假定)(|)()(|)(x g x p x f x p 且不成立,那么()|()()p x f x p x g

x 且不能整除或者()()p x f x 不能整除且()().p x g x

对第一种情况,()()(),p x f x g x +不能整除矛盾.

对第二种情况,同样可以推出矛盾,于是,结论成立.

17.(南京师大,1998)求以32+为根的有理系数不可约多项式)(x f .

解:.122]3)2][(3)2[(2--=+---x x x x ]22)1][(22)1[(22x x x x +---

.0)1().(11024≠±=+-=f x f x x 于是)(x f 不能表成一个一次与一个三次的有理系数多项式

之积.

如果)(x f 能表成两个次数都为2的有理数多项式之积,)())(21x f x f x f =.此式当然也可

以看成是实数域上的分解.由)(x f 在实数域上的分解的唯一性,,122)(21--=x x x f

,122)(22-+=x x x f 矛盾,所以)(x f 在有理数域上的不可约.

18.(南京大学,1997)F 是任意一数域,)(x f 是F 上的一元多项式,首项系数为a ,次数为n ,

证明)(|)(x f x f '当且仅当存在F b ∈,使.)()(n b x a x f -=

证明:如果),(|)(.)()(x f x f b x a x f n '-=显然

反之,令121212()()(),.t k k k t t f x ap x p p x k k k n =++

+= 那么 1211112()()()

()(),t k k k t f x cp x p x p x g x ---'=()(),1,,,(())1i p x g x i t f x n '=?=-不能整除

由).(|)(x f x f '于是((),())(),f x f x df x ''=其中d 是)(x f '首项系数的倒数,而

12()()()()()()((),())()t f x f x h x ap x p x p x f x f x df x ===

''是一次多项式,令),()(b x a x h -=于是.)(,11b x x p t -==所以.)()(n b x a x f -=

19.(北京大学,2002)设122)1()(+++-=n n n x x x f ,证明:对任意的非负整数

n ,1))(,1(2=++x f x x n .

证明:12

++x x 是有理数域上的不可约多项式,于是)(|12x f x x n ++或者1))(,1(2=++x f x x n ,假定)(|12x f x x n ++,令ε是三次本原单位根,则

01,123=++=εεε,且0)(=εn f .

.

02)1()()1()(2322421222122≠=+=+=--=+-=++++++++n n n n n n n n n n f εεεεεεεεεε矛盾.于是1))(,1(2=++x f x x .

20.(上海交大,2002)),()()(),()()(11x dg x cf x g x bg x af x f +=+=且

0≠d

c b a ,证明)).

(),(())(),((11x g x f x g x f = 证明1: 11((),())(()(),()())

((),()())f x g x af x bg x cf x dg x bc ad g x cf x dg x c

=++-=+ =)).(),(())(),(())()(),((x f x g x cf x g x dg x cf x g ==+

证明2:令)).(),(()()),(),(()(111x g x f x d x g x f x d ==

由 )()()(1x bg x af x f += (1)

)()()(1x dg x cf x g += (2)

于是),(|)(),(|)(11x g x d x f x d 那么)(|)(1x d x d .

(1),(2)可以看成是关于)(),(x g x f 的线性方程组,解得,

))()((1)())()((1)(1111x bg x df bc

ad x f x cf x ag bc ad x g --=--= 于是),(|)(),(|)(11x g x d x f x d 那么)(|)(1x d x d .于是))(),(())(),((11x g x f x g x f =.

21.(华东师大,1992)

()[],f x P x ∈对任意,,()()(),a b P f a b f a f b ∈+=+证

明,(),.f x kx k P =∈

证明: )(.0)(),()()()0(x f o f o f o f o o f f =+=+=于是的常数项为零,令

),

(2)(2)()()2(2)2(,).()(a ag a f a f a f a ag a f p a x xg x f ==+==∈?=于是)2()(a g a g =.那么 ===)4()2()(a g a g a g ,令.)(k a g =则0)(=-k x g 有无穷多解,

于是k x g -)(是零多项式,即,)(k x g =所以.)(kx x f =

22.(华东师大,1993)设n m ,是两个正整数,121)(,1)(---=++++=n m m x x g x x x x f

12++++-x x n .证明1)(),((=x g x f 当且仅当1,=n m .

证明:只要证明1,11(,) 1.m n x x x m n --=-?=()我们证明更一般的结论.

1)1,1(),(-=--n m n m x x x (不妨假定n m ≥)

令,),(d n m =由整数的带余除法,有

11121221,0,

,0,

m q n r r n n q r r r r =+≤<=+≤< 13233211,0,,k k k r q r r r r r q r -+=+≤<=.则(,)k d m n r ==

1111(1,1)((1)1,1)((1)()1,1)nq r r r m n n n n x x x x x x x g x x x --=-+--=-+--

1(1,1)r n x x =--

类似地,我们有

11)1,1()1,1()1,1(),(1211-=-=--==--=---n m d r r r r r n x x x x x x x x k k

23.(华东师大,1994)设)(],[)(),(x f x Q x g x f ∈是有理数域Q 上的不可约多项式,α是复

数,使0)(,0)(≠=ααg f .证明存在多项式][)(x Q x h ∈使.)

(1)(ααg h = 证明:)(x f 在Q 上不可约,那么1))(),((=x g x f 或者).(|)(x g x f 若后者成立,则)

(x f 的根都是)(x g 的根,矛盾.于是.1))(),((=x g x f 存在][)(),(x Q x h x u ∈.使

()()()() 1.f x u x g x h x +=

那么.1)()()()(=+ααααh g u f 即)

(1)(ααg h =.

24.(华东师大,1996)已知)(),(x g x f 是数域P 上的两个一元多项式,k 是给定的正整数,求证:)(|)(x g x f k k 则).(|)(x g x f

证明: 令)(),(x g x f 的标准分解式为

).

()()()().()()()(21212121x p x p x bp x g x p x p x ap x f t t s t s s r t r r == 其中)(x p i 是首项系数为1的互不相同的不可约多项式,i i s r ,是非负整数,t i ,,1 =.

).

()()()().()()()(21212121x p x p x p b x g x p x p x p a x f t t ks t ks ks k k kr t kr kr k k == 由)(|)(x g x f k k .那么t i ks kr i i ,,1, =≤.于是.,,1,t i s r i i =≤所以).(|)(x g x f

25.(华东师大,1997)证明:一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根的充分必要条件是存在有理系数多项式),(x f 使)(1

ααf =.

证明:先证必要性,设+=++++==--n n n n n n a g a x a x a x a x g g ααα)(.)(,0)(0111 00111=+++--a a a n n αα .那么0111a a a a n n n n -=+++--ααα ,若00≠a ,则 1010210

=???? ??-----αααa a a a a a n n ,令010210)(a a x a a x a a x f n n ----=- ,则)(1ααf =. 若00=a ,依次查看)(x g 的系数01,,,n a a a ,令第一个不为零的是k a ,则+=n n x a x g )( .0)(,111111=++++=++++----k k k k n n n n k k n n a a a a g x a x a ααααα 于是

111()0,0k n k n k n n k k a a a a ααααα----+++++=≠

从而, 0111=+++++----k k k n n k n n a a a a ααα .

利用上述方法同样可以找出)(x f ,使

1()f αα=. 再证充分性,][)(x Q x f ∈.使1

()f αα=.

那么有.01)(=-ααf 令()() 1.g x xf x =-

显然)(x g 是非零的有理系数多项式,使

.01)()(=-=αααf g

26.(华东师大,1998) c bx ax x x f +++=23)(是整系数多项式,证明,若bc ac +为奇数,则)(x f 在有理数域上不可约.

证明:假定)(x f 在有理数域上可约,则)(x f 可以表成两个次数都比3低的整系数多项式的积,(()) 3.f x ?=那么)(x f 有整数根α,且.|c α

0)(23=+++=c b a f αααα

由c b a )(+是奇数,那么c 是奇数,b a ,一偶一奇.又α是奇数,则c +3α是偶数,于是ααb a +2是偶数,由b a ,一奇一偶,α是奇数,则ααb a +2是奇数.矛盾,所以)(x f 在有理数域上不可约.

27.(浙江大学,2002)设两个多项式)(x f 和)(x g 不全为零,求证:对于任意的正整n .有)).(),(())(),((x g x f x g x f n n n =

证明1:设)(),(x g x f 的标准分解式分别为:

).()()()().

()()()(21212121x p x p x bp x g x p x p x ap x f t t s t s s r t r r ==

其中)(x p i 是首项系数为1的互不相同的不可约多项式,i i s r ,是非负整数,令

),min(i i i s r k =,t i ,,1 =.那么)()()())(),((2121x p x p x p x g x f t k t k k =

).()()()().

()()()(21212121x p x p x p b

x g x p x p x p a x f t t ns t ns ns n n nr t nr nr n n == 那么.,,1)

,min(t i ns nr nk i i i == 于是11((t t nk k nk nk k k n n n n t t f x g x p x p x

p x p x p x p x f x g x === 证明2:令11((),())(),()()(),()()()f x g x d x f x d x f x g x d x g x ===,且

1))(),((11=x g x f ,那么.1))(),((11=x g x f n n 又11()()(),()()().n n n n n n f x d x f x g x d x g x ==于是

.))(),(()())(),((n n n n x g x f x d x g x f ==

(完整版)高等代数多项式习题解答.doc

第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x),求商q( x)与余式r ( x) . 1)f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2)f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时,有 1)x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .

本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时,用 x2 mx 1 去除x3 px q ,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2)x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ,即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时,用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1)f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解:运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ,余式为 r (x) 327.

第一章:整式的运算概念

第一章:整式的运算 单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 6、单独的一个数字是单项式,它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算,而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时,应化成假分数。 11、单项式的系数是1或―1时,通常省略数字“1”。 12、单项式的次数仅与字母有关,与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项,就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念,但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。 整 式 的 运 算

4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。 四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是:去括号法则,合并同类项法则,以及乘法分配率。 2、几个整式相加减,关键是正确地运用去括号法则,然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤: (1)列出代数式:用括号把每个整式括起来,再用加减号连接。 (2)按去括号法则去括号。 (3)合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤: (1)代数式化简。 (2)代入计算 (3)对于某些特殊的代数式,可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法 1、n 个相同因式(或因数)a 相乘,记作a n ,读作a 的n 次方(幂),其中a 为底数,n 为指数,a n 的结果 叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即:a m ﹒a n =a m+n 。 4、此法则也可以逆用,即:a m+n = a m ﹒a n 。 5、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。(a m )n 表示n 个a m 相乘。 2、幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。(a m )n =a mn 。 3、此法则也可以逆用,即:a mn =(a m )n =(a n )m 。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则:积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幂相乘。即(ab )n =a n b n 。 3、此法则也可以逆用,即:a n b n =(ab )n 。 八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点: (1)法则中的底数不变,只对指数做运算。 (2)法则中的底数(不为零)和指数具有普遍性,即可以是数,也可以是式(单项式或多项式)。 (3)对于含有3个或3个以上的运算,法则仍然成立。 2、不同点: (1)同底数幂相乘是指数相加。 (2)幂的乘方是指数相乘。 (3)积的乘方是每个因式分别乘方,再将结果相乘。 九、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:a m ÷a n =a m-n (a ≠0)。 2、此法则也可以逆用,即:a m-n = a m ÷a n (a ≠0)。 十、零指数幂 1、零指数幂的意义:任何不等于0的数的0次幂都等于1,即:a 0=1(a ≠0)。 十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂,等于这个数的p 次幂的倒数,即: 1(0)p p a a a -=≠ 注:在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

高等代数多项式习题解答

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r . 1)123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2)2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.

本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时,用12-+mx x 去除q px x ++3,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2)q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ,即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时,用12++mx x 去除q px x ++24,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1);3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解:运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ,余式为.327)(-=x r

第一章多项式

第一章 多项式 习题精解 1. 用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r : 1)123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 2)2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 解 1)由带余除法,可得92926)(,9731)(--=-= x x r x x q 2)同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+3 2|1 2)q px x mx x ++++242|1 解 1) 由假设,所得余式为0,即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当 ? ??=-=++0012m q m p 时有 q px x mx x ++-+32|1 2)类似可得 ? ??=--+=--010)2(22m p q m p m 于是当0=m 时,代入(2)可得1+=q p ;而当022 =--m p 时,代入(2)可得1=q 。 综上所诉,当 ???+==10q p m 或? ??=+=212m p q 时,皆有 q px x mx x ++++242|1

3.求()g x 除()f x 的商()q x 与余式():r x 1)53()258,()3f x x x x g x x =--=+ 2)32(),()12f x x x x g x x i =--=-+ 解 1)432()261339109 ()327 q x x x x x r x =-+-+=-; 2) 2()2(52) ()98q x x ix i r x i =--+=-+ 4.把()f x 表示成0x x -的方幂和,即表成 2010200()()...()...n n c c x x c x x c x x +-+-++-+ 的形式: 1)50(),1f x x x == 2)420()23,2f x x x x =-+=- 3)4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=- 解 1)由综合除法,可得 2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- 2)由综合除法,可得 42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++ 3) 由综合除法,可得 4322(1)3(7)x ix i x x i +-+-++ 234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++ 5.求()f x 与()g x 的最大公因式: 1)43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+-- 2)4332 ()41,()31f x x x g x x x =-+=-+ 3)42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++

高等代数多项式习题解答(供参考)

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r . 1)123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2)2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时,用12-+mx x 去除q px x ++3,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2)q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ,即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时,用12++mx x 去除q px x ++24,余式为零,比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p

(完整word版)高等代数作业 第一章 多项式答案

高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ,则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ,则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域( )√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 ( )× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x ( )√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 ( )√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 ( )× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ,则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ,则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =,()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -,则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是( )B A 、{是有理数b a bi a ,|+,21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+,21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除,以下命题正确的是 ( )C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +,且()|()f x g x ,则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ,则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解:由假设,所得余式为0,即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f )(。 证明:设余式为ax b +,则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题

第一章 多项式 练习题

第一章多项式 一.填空题 1、当p(x)是多项式时,由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 2、当f(x)与g(x) 时,由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 32+ax+b 用x+1除余数为3,用x-1除余数为5,那么a= 、设f(x)=x +3x b= 。3 42-kx+2用x-1除余数为3,则k= 4、设f(x)=x +3x 。22432+ax+b,则a= b= -3x +6x 5、如果(x。-1) |x6、f(x)没有重根的充分必要条件是。 3-3x+k有重根,那么k= 7、如果f(x)=x 。 (k?1)(xf))p(xp(x)f(x)k的8.若不可约多项式是是的因式重因式,则 9、a是f(x)的根的充分必要条件是。 10、以l为二重根,2,1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。11.艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 答案 1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f'(x))=1 7、k=±2 5432+14x-4 11. 充分-20x x-a|f(x) 9、10、x -6x +15x8. 单因式 二.判断并说明理由 1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) () 2、若f(x)|g(x)h(x),则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) 2?1f(xx)0]f(??f(1)1)?Pf(x)?[x.,则 3. 设(,且) ?(xf)的k-1重因式。则k重因式,p(x)是)(f(x)上不可约多项式,设4、p(x)是数域p 如果p(x)是的5.任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。)xf(f(x).若一整系数多项式6在有理数域上可约。有有理根,则Qf(x)xf())在7.若上不可约。(无有理根,则在实数域上所有次数大于或等于8. 3的多项式都是可约的.)(34(f(x)=x9、-2x+8x-10在有理数域上不可约。) 1 答案√8. 时成立7. × 5. √ 6. ×次数≥24√1、2、×当f(x)是不可约时才成立 3. √、√ 、√9三.选择题)1、以下数集不是数域的是( ??2是有理数bbi|a,a? A、= -1,i??2是整数|a,b?abi,i = -1B、 ??是有理数,bb2|aa?、C??全体有理数D、2、关于多项式的整除,以下命题正确的是() |g(x)则f(x)|h(x) f(x)|g(x)h(x),且f(x) A、若?B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)

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§1 数域[达标训练题] 一 填空题 1.数集{0}对 运算封闭. 2.自然数集N 对 运算封闭. 3.数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1.加法、 减法、 乘法;2.加法、乘法 ;3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T); 2. ( F) 三、解答题 1.证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法 封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2.证明 因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ?=?333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3.证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故

高等代数第一章答案(多项式)

若()()()x m x l x h +=,且()()x m x p |,()()x l x p |/,则()()x h x p |/。 证法1: 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。 由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。 于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。 因()0≠x r ,故()()x h x p |/。 证明2:用反证法。若()()x h x p |,即()()()()x m x l x p +|, 又()()x m x p |,故()()()()()x m x m x l x p -+|,即()()x l x p |,矛盾。 问:若()()()()x g x h x f x h |,|//, 则()()()()x g x f x h +|成立吗?试举例说明。 答:不一定。 例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ,则()()()()x g x h x f x h |,|//,但 ()()()()x g x f x h +|。 例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h , 则()()()()x g x h x f x h |,|//,且()()()()x g x f x h +/|。 例 求m l ,, 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。 解法1:因()()3=?x f ,()()2=?x g ,故商()x q 满足 ()()1=?x q ,且设()p x x q +=,则由 ()()()x g x q x f =,可得 ()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323, l m p pm p =+=+=,51,2,从而 4,2,2===l m p 。

高等代数例题(全部)

高等代数例题 第一章 多项式 1.44P 2 (1)m 、p 、q 适合什么条件时,有2 3 1x mx x px q +-++ 2.45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++,3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式,求t 、 u 的值。 3.45P 14 证明:如果((),())1f x g x =,那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4.45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5.46P 24 证明:如果(1)()n x f x -,那么(1)()n n x f x - 6.46P 25 证明:如果233 12(1)()()x x f x xf x +++,那么1(1)()x f x -,2(1)()x f x - 7.46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8.46P 28 (4)多项式1p x px ++ (p 为奇素数)在有理数域上是否可约? 9.47P 1 设1()()()f x af x bg x =+,1()()()g x cf x dg x =+,且0ad bc -≠。求证: 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10.48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ,()g x 的一个最小公倍式,如果(1)()()f x m x ,()()g x m x ; (2)()f x ,()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明:如果()f x ,()g x 的首项系数都为1,那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11.设 m 、n 为整数,2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12. 求证:如果()d x |()f x ,()d x |()g x ,且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合,那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13. 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14. 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证:()g x |()f x 。

高等代数考研真题 第一章 多项式

第一章 多项式 1、(清华2000—20分)试求7次多项式()f x ,使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能 被4(1)X +整除。 2、(南航2001—20分) (1)设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ,求p,q 之值。 (2)设f(x),g(x),h(x)∈R[x],而满足以下等式 (x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 (x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明:x 2 +1∣f(x),x 2 +1∣g(x) 3、(北邮2002—12分)证明:x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n (这里里记号d ∣n 表 示正整数d 整除正整数n )。 4、、(北邮2003—15分)设在数域P 上的多项式g 1(x),g 2(x ),g 3(x ),f(x),已知g 1(x)∣f(x), g 2(x)∣f(x), g 3(x)∣f(x),试问下列命题是否成立,并说明理由: (1)如果g 1(x),g 2(x), g 3(x)两两互素,则一定有g 1(x),g 2(x),g 3(x)∣f(x) (2)如果g 1(x),g 2(x), g 3(x)互素,则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、(北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身,则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、(大连理工2003—12分)证明:次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幂主充分必要条件是,对任意的多项式g(x),h(x) ,由f(x)∣g(x) h(x)可以推出 f(x)∣g(x),或者对某一正整数m ,f(x)∣h m (x)。 7、(厦门2004—16分)设f(x),g(x)是有理数域上的多项式,且f(x)在有理数域上不可约。 若存在数α使得f(α)=g(α)=0,则f(x)∣g(x)。 8、(南航2004—30分)(1)设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8,g(x)=x 2+x -2, 将f(x)表示成g(x)的方幂和,即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次(C i (x))<次(g(x))或C i (x)=0,i=0,1, …,k。(15分 ) (2)设d(x)=( f(x),g(x)),f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明:f(x)g(x)∣d(x)h(x)。(15分) 9、(北京化工大2005—20分)设f 1(x)≠0,f 2(x),g 1(x),g 2(x)是多项式,且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x),证明:若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。

第一章 多项式

第一章 多项式 §1多项式的整除 一、含单位根多项式的整除 问多项式12++x x 能否整除1717++x x ? 若∑=++++305234)(|1i i i x x f x x x x ,则)(|1x f x i -,3,2,1,0=i 设n 为非负整数,则1222)1(1++++++n n x x x x 122)1()(+++-=n n n x x x f ,证明1))(,1(2=++x f x x n 设i a 为非负整数,问∑=++n i a i x x x 1 21的充要条件是什么? 设m 为大于1的整数,∑-== 10)(m i i x x f ,且c x f x f m +)(|)(,试求常数c 。 设∑-==1 0)(n i i x x g ,n n x x x g x f -+=2))(()(,则)(|)(x f x g (苏州大学2002)设,,,k m r s 都是非负整数。 设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。 证明: ()f x 整除()g x 。 苏州大学(2000)设多项式)(),(),(x h x g x f 满足 0)()2()()1()()1(4=-+-++x h x x g x x f x , 0)()2()()1()()1(4=+++++x h x x g x x f x 证明:)(|14 x g x +

§2最大公因式与互素 如果)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式,且)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个组合,那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。 如果1))(),((=x g x f ,证明1))()(),()((=+x g x f x g x f (南京大学2001)设1F ,2F 是数域,且1F F ?,f (x),g (x)F ∈[x]. (1) 证明:如果在1F [x]中有g (x)| f (x),则在F [x],也有g (x)| f (x) (2) 证明: f (x)与g (x)在F [x]中互素当且仅当f (x) 与g (x)在1F [x]中互素. (3) 证明:设f (x)是数域F 的不可约多项式,则f (x)全是单根. 证明n n n x g x f x g x f ))(),(())(),((= (大连理工2005 )设)(x f ,)(x g 是数域P 上的多项式,若33)]([)]([x g x f ,证明)()(x g x f 。 1))(),((=m m x g x f 当且仅当1))(),((=x g x f 设)()()(1x g x p x g k =,1))(),((1=x g x p .证明: ) ()()()()()()(111x g x p x f x p x r x g x f k k -+= 存在)(x u ,)(x v 适合))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+,且 ???? ???,证明1))(),((=x g x f 假设1))(),((21=x f x f ,证明:对任意)(),(21x g x g ,必存在)(x g ,使得 )()(|)(x g x g x f i i -,2,1=i

第一章 多项式 练习题

第一章 多项式 一.填空题 1、当p(x)是 多项式时,由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 2、当f(x)与g(x) 时,由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 3、设f(x)=x 3+3x 2+ax+b 用x+1除余数为3,用x-1除余数为5,那么a= b= 。 4、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3,则k= 。 5、如果(x 2-1)2|x 4-3x 3+6x 2+ax+b ,则a= b= 。 6、f(x)没有重根的充分必要条件是 。 7、如果f(x)=x 3-3x+k 有重根,那么k= 。 8.若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式,则()p x 是(1)()k f x -的 因式 9、a 是f(x)的根的充分必要条件是 。 10、以l 为二重根,2,1+i 为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。 11.艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。 答案 1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f’(x))=1 7、k=±2 8. 单因式 9、x-a|f(x) 10、x 5-6x 4+15x 3-20x 2+14x-4 11. 充分 二.判断并说明理由 1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) ( ) 2、若f(x)|g(x)h(x),则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) 3. 设()[]f x P x ∈,且(1)(1)0f f -==,则21()x f x -. ( ) 4、设p(x)是数域p 上不可约多项式,如果p(x)是f(x)的k 重因式,则p(x)是()f x '的k-1重因式。 ( ) 5.任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。 6.若一整系数多项式()f x 有有理根,则()f x 在有理数域上可约。 7.若()f x 无有理根,则()f x 在Q 上不可约。( ) 8. 在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的. ( ) 9、f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。( )

高等代数作业 第一章 多项式答案

---------------------------------------------------------------------------------------------------高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ,则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ,则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域( )√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 ( )× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x ( )√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 ( )√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 ( )× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ,则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ,则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =,()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -,则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是( )B A 、{是有理数b a bi a ,|+,21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+,21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除,以下命题正确的是 ( )C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +,且()|()f x g x ,则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ,则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解:由假设,所得余式为0,即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f )(。 证明:设余式为ax b +,则有2()(1)()f x x q x ax b =-++

高等代数作业第一章多项式答案

第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ,则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ,则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域( )√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 ( )× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x ( )√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 ( )√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 ( )× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ,则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ,则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =,()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -,则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是( )B A 、{是有理数b a bi a ,|+,21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+,21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除,以下命题正确的是 ( )C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +,且()|()f x g x ,则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ,则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1 解:由假设,所得余式为0,即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f )(。 证明:设余式为ax b +,则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题 1. 当()p x 是 多项式时,由()|()()p x f x g x 可推出()|()p x f x 或()|()p x g x 。不可约

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