(完整版)高等代数多项式

第二章 多项式

1． 设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0．

1． 求f (x )被g (x )除所得的商式和余式：

(i) 14)(24--=x x x f ,13)(2

--=x x x g

(ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3

+-=x x x g

证明：k

x f x )(|必要且只要)(|x f x

2． 令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且)()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ．

3． 实数m, p , q 满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式q px x ++4？

、

4． 设F 是一个数域，F a ∈．证明：a x -整除n

n a x -．

5． 考虑有理数域上多项式 1

)1)(2()1()(-+++++=n k n k x x x x f

n k x x )1()2(++⋅⋅⋅+，这里n 和k 都是非负整数．证明：1+k x |1)1()()1(++++-n k x x f x ．

6． 证明：1-d x 整除1-n

x 必要且只要d 整除n

1． 计算以下各组多项式的最大公因式：

(i)32103)(,343)(2

3234-++=---+=x x x x g x x x x x f ；

(ii) i x i x i x i x x f ----+-+-+=1)21()42()22()(2

34；

i x i x x g -+-+=1)21()(2．

2． 设)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =．证明：若)())(),((x d x g x f =，且)(x f 和)(x g 不全为零，则1))(),((=x g x f ，反之，若1))(),((=x g x f ，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式．

从而可知)(x ϕ|)(x f ，)(x ϕ|)(x g ．既)(x ϕ是)(x f 、)(x g 的一个公因式，所以)(x ϕ|)(x d ．由

定义知))(),(()(11x g x f x d =．

3． 证明：(i) h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；

4． 、设432()242f x x x x x =+---，432

()2f x x x x x =+--

2-都是有理数Q 域上的多项式．求u (x ),][)(x Q x v ∈使得))(),(()()()()(x g xd f x v x g x u x f =+．

5． 设(f , g )=1．令n 是任意正整数，证明：( f , g n ) = 1．由此进一步证明，对于任意正整数m ，n ，都有( f m , g n ) = 1．

、

6． 设( f , g ) = 1．证明：( f , f + g ) = ( f + g , g ) = 1．

证明：因为( f , g ) = 1．所以有u ,v 使uf + vg = 1，进而有( u – v ) f + v ( g + f ) = 1, 所以( f , g + f ) = 1.同理( g + f , g ) = 1利用互素性质得( f g , f + g ) = 1

7． 证明：对于任意正整数n 都有( f , g )n = ( f n , g n )．

8． 证明：若是f ( x )与g ( x )互素，并且的次数都大于0．那么定理2.3.3里的可以如此选取，u ( x )次数低于g ( x )的次数，v ( x )次数低于f ( x )的次数，并且这样的u ( x )与v ( x )是唯一的．

9． 决定k ，使2(6)42x k x k ++++与2

(2)2x k x k +++的最大公因式是一次的．

10． 证明：如果 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，那么对于任意正整数m ，( f ( x m ) , g ( x m ) ) =１ 11． 设f ( x ) , g ( x )是数域F 上的多项式．f ( x )与g ( x )的最小公陪式指的是F [x ]中满足以下条件的一个多项式m ( x )：

(a) f (x ) | m (x ) 且 g (x ) | m (x )；

(b) h (x )∈F [x ] 且 f (x ) | h (x )，g (x ) | h (x )，那么m (x ) | h (x )．

(i) 证明： F [x ]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式差别外，是唯一的．

(ii)设f (x )， g (x )都是最高次项系数是１的多项式．令[ f (x ), g (x )]表示 f (x )与g (x )的最高次项系数是１的那个最小公倍式．证明： f (x ) g (x )= (f (x ) , g (x )) [ f (x ), g (x )]．

12． 设g (x )|)()(1x f x f n ⋅⋅⋅，并且(f i (x ), g (x )) =1, i =1,1,,2-⋅⋅⋅n . 证明 g (x ) | f n (x )．

13． 设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．证明：

(i) ()(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅)=(()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅), ()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)), 1≤k ≤n -1.

(ii))(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅互素的充要条件是存在多项式][)(,),(1x F x u x u n ∈⋅⋅⋅使得1)()()()(11=+⋅⋅⋅+x u x f x u x f n n

14． 设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．令I ={+⋅⋅⋅+)()(11x g x f f n (x ) g n (x )|][)(x F x g i ∈, 1≤i ≤n } ．比照定理１.４.２，证明：)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅有最大公因式．［提示：如果)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅不全为零，取d (x )是中次数最底的一个多项式，则d (x )就是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的一个最大公因式．］

2.4 多项式的分解

1． 在有理数域上分解以下多项式为不可约因式的乘积：

2． 分别在复数域，实数域和有理数域上分解多项式x ４+1为不可约因式的乘积．

3． 证明：g (x )２|f (x )２，当且仅当g (x )|f (x )． 4．

5． (i)求f (x )= x 5-x 4-2x 3+2x 2+x -1在Q (x )内的典型分解式； 6．

(ii)求f (x )= 2x 5-10x ４

+16x 3-16x 2+14x -6在R (x )内的典型分解式．