高等代数(多项式)

1）普通除法或长除法
除 式 g (x ) 被 除 式 f
(x ) − )q ( x) g (x ) 余 式 r (x )
商 q (x )
2）竖式除法
：利用g ( x ) 确定q ( x ) 除式g ( x) 被除式f ( x ) 商 q ( x ) 注 1
余 式 r( x)
−)q( x) g ( x)
若g ( x ) ≠ 0, g ( x ) f ( x ) ⇔ r ( x ) = 0
零多项式只能整除零多项式；任一多项式一定能整除它自 身；任一多项式都可以整除零多项式；零次多项式（非零 常数）能整除任一多项式。 多项式 f ( x ) 与 cf ( x ) c ≠ 0 有相同的因式和倍式。 两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。
f ( x) − b n−m x g ( x ) ，它是数域 a
F
f ( x) −
F
上的多项式且次数小于 n ，
q 1 ( x ), r1 ( x )
由归纳假设，存在数域 其 中
q( x) =
上的多项式
使得
b n−m x g ( x ) = q1 ( x ) g ( x ) + r1 ( x ) a
f ( x ), g ( x )
是数域
F
F
上的两个多项式，且
q ( x ), r ( x )
，则存在数域
r( x) = 0
上的多项式
，使得
f ( x ) = q( x ) g ( x ) + r ( x )
其中
或者
deg r ( x ) < deg g ( x )
，并且多项式
q ( x ), r ( x ) 是由
，
r( x) = 0
即可。
若 deg g ( x ) = m > 0 ，对 f ( x ) 的次数用归纳法。 当 deg f ( x ) < deg g ( x ) 时，取 q( x ) = 0 ， r ( x ) = f ( x ) 即可。
当 deg f ( x ) ≥ deg g ( x ) 时，不妨设 f ( x ) 是 n 次多项式， 且 首 项 系 数 为 b ； g( x) 的 首 项 系 数 为 a 。 作 多 项 式
设 f ( x ), g ( x ) 是数域 F 上的多项式，如果存在数域 F 上的多项式 q ( x ) ，使得 f ( x) = q( x)g( x) ，则称多项式 g ( x) 整 除 f ( x) ， 记作 g ( x) f ( x) 。 此时， g ( x ) 称为 f (x) 的因式， f ( x) 称为 g ( x) 的倍式。
（6）g ( x ) f ( x ) 则kg ( x ) lf ( x ) , k为非零常数，l为常数。
( 4 )， ( 5 ) 结合起来可的推广结果。
注
数域P中的多项式不能做除法，而整除性不是多项式的运 算，它是P[x]中元素间的一种关系，即任给P[x]中两个多 项式 f ( x ) , g ( x ) 可以判断 g ( x ) 整除或不能整除f ( x )。
例 2、 多项式的带余除法和所考虑的多项式系数的范围有 关。例如，在整系数多项式范围内，上述定理就不成立。 例如，取 f ( x ) = 2 x ， g ( x ) = 3 x + 2 ，就无法找到满足该定理要 求的整系数多项式 q( x) 和 r ( x ) 。
2
带余除法的计算格式
用g ( x ) ≠ 0除f ( x ) 所得商为q ( x ) 和余数r ( x )
设
f (x) = a0 +a1x + +anxn
g(x) =b0 +b1x + +bmxm
分 别 是 n次 和 m次 多 项 式 ， 不 妨 设 n ≤ m， 定 义 多 项 式 f ( x) 和 g(x) 的 加 法 和 减 法 运 算 为 ：
f (x) +g(x) =(a0 +b0 ) +(a1 +b1)x+ +(am +bm)xm f (x) − g(x) = (a0 −b0 ) +(a1 −b1)x + +(am −bm)xm
，a 其 中 ， 当 n < m时
n+1
=
= am = 0 。
乘法运算
设
f (x) = a0 +a1x + +an xn
g(x) = b0 +b1x + +bmxm
分别是 n 次和 m 次多项式，不妨设 义多项式 其中
ci =
f ( x ) 和 g( x) 的乘法运算为：
n ≤ m ，定
f (x)g(x) = c0 + c1x + + cn+m xn+m
多项式
北京科技大学应用学院数力系 卫宏儒 Weihr168@yahoo.com.cn
课程性质和计划
高等代数是数学类专业的一门重要基础 课，是考研的必考课程，是后续有关课 程的基础； 高等代数对抽象思维能力、逻辑思维能 力的培养具有重要的作用； 高等代数的特点是习题类型多、内涵丰 富、变化复杂； 高等代数是数学老三基（分析、代数和 拓扑）中代数的基础课程。
例3 设 f (x) = x −6x 则 有 g ( x) f ( x) 。
3
2
+11x − 6
，g(x) = x −3x +2， 由 于
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f (x) = (x −3)g(x) ，
多项式整除的性质
设 f ( x ), g ( x ) 和 h( x ) 是数域 F 上的多项式，则有： （1） 若 f ( x ) g ( x ) ， g ( x ) h( x ) ，则 f ( x ) h( x ) ； （2） f ( x ) f ( x ) ； （3） 若 f ( x ) g ( x ) ， g ( x) f ( x) ，则 f ( x ) = cg ( x ) ， c 是 F 中的一 个非零数； （4） 若 f ( x ) g ( x ) ， f ( x ) h( x ) 则 f ( x) (g( x) ± h( x)) ； （5）若 f ( x ) g ( x ) ，则 f ( x ) g ( x )h ( x ) 。
{
注：
（1）任何数域都包含有理数域Q； （2）在有理数域Q与实数域R之间存在无穷 多个数域； （3）在实数域R与复数域C之间不存在其它 的数域。
2、多项式及其运算
设 F 是一个数域（数域 F 是指有理数域、实数 域或复数域。 ） ， x 是一个未定元， a , a , , a 是数域 F n a x + + a 1 x + a 0 的表达式为数域 中的一组数，称形如 n F 上关于未定元 x 的一元多项式，其中 a x 称为 x 的 i 次方项， a 称为 x 项的系数， 0 ≤ i ≤ n 。 若多项式 f ( x ) = a x + + a x + a ， 当 a n ≠ 0 时，n 称
其中， r ( x ) = 0 或者 deg r ( x ) < deg g ( x ) 。
（2）唯一性： 若另有 q ( x ), r ( x ) 使得
1 1
f ( x) = q1 ( x)g ( x) + r1 ( x)
且其中 由
r1 ( x ) = 0 或者 deg r1 ( x ) < deg g ( x ) 。
r1 ( x ) = 0
或 者 ，
deg r1 ( x ) < deg g ( x )
。 这 时 取
b n−m x + q 1 ( x ), r ( x ) = r1 ( x ) a
q ( x ), r ( x )
为数域 F 上的多项式且
f ( x ) = q( x )g ( x ) + r( x )
k +l =i
∑a b
k l
，0 ≤i ≤ n+m。
运算性质
多项式的和、差运算归结为对应系数的 和、差；多项式的乘法运算归结为逐项相 乘后合并同类项。 加法和乘法运算的规律 加法和乘法适合交换律、结合律、分配律 和消去律。
3、多项式的带余除法和整除性 关于多项式的带余除法我们有下述定理：
设
g( x) ≠ 0
s , t
，使得 ( a , b )
= sa + tb
。
最大公约数
最大公约数
若整数 d 可以同时整除 a 和 b ，则称之为 a 和 b 的公约数（公因数） 。 最大公因数定义：整数 d 称为 a 和 b 的最大公约 数（最大公因数） ，如果下面三个条件成立： （1） d ≥ 0 ； （2） d | a 且 d | b ，即 d 是 a 和 b 的公约数； （3）若 c | a 且 c | b ，则 c | d ，即 a 和 b 的任何一 个公约数都是 d 的约数。 通常我们把 a 和 b 的最大公约数记作 ( a , b ) 。 引理 1：若 a = qb + r ，则 (a, b) = (b, r ) 。 定理 1：任意两个整数 a , b 一定有最大公约数，并且存 在整数
q(x)
f ( x ), g ( x ) 唯一确定的。
g( x)
称为
除
f (x)
的商，
r( x )
称为余式。
证明： （ 1 ） 存 在 性 ： 若 deg g ( x ) = 0 ， 则
⎛1 ⎞ f (x) = a⎜ f (x)⎟ + 0 ⎝a ⎠
g ( x) = a ≠ 0
，
。取
q(x) =
1 f (x) a
{
}
n
2
2
2
2
练习： 2 F = a + bi i = − 1, a , b ∈ Q } 是 数 域 。 证明 两个数环的交还是数环，两个数域的交还 是数域，但是两个数环的并不一定是数环。 反例：所有2的整数倍是一个数环，设为 R2 ，所有3的整数倍也是一个数环，设为 R3 。 但是 2 + 3 = 5 ∉ R2，且5 ∉ R3因而5 ∉ R2 ∪ R3 。
中由高次到低次的项来 消去被除式的首项，以 得到次数低于g ( x )的多
商 q ( x ) 被除式f ( x ) 除式g ( x) 项式或零多项式。 −)q( x) g ( x) 注 2：用辗转相除法求 余 式 r( x) 两个多项式的最大公因 式时用竖式除法较方便。
整除的定义
由上述关于带余除法的结论，我们知道在 多项式除法中，会出现余项为零的情况， 为此引入“整除”的定义。
1、数域和数环 数域是一个由某些复数组成的集合P，它包含 0和1，且P中的任意两个数的和、差、积、商 （除数不为零）仍然是P中的数。 常见的数域有有理数域Q、实数域R和复数域 C。 数环是一个由某些复数组成的非空集合R，且R 中任意两个数的和、差、积仍然是R中的数。 所有的数域都包含有理数域、数域总是数环。 整数环是数环但不是数域。
0 1 n
i i
i
i
n
n
1
0
记作 deg f ( x) ， 项 a x 称为多 为多项式 f ( x ) 的次数， 此时多项式 f ( x ) 称为 n 次多项 项式 f ( x ) 的首项， 式。单个的非零常数称为零次多项式，而多项式 f ( x ) = 0 的次数规定为 − ∞ 。
n n
运算 f ( x) = g ( x) ⇔ 对应的同次项的系数全都相等 规定：
例1、下列数集是不是数域？ （1）全体偶数 （2）全体正实数 （3） P = a + b 5 a, b ∈ Q , Q是有理数集 例2、证明如果一个数环 S ≠ {0} ，那么 S 含有无限多个数。 a ≠ 0, 且a ∈ S , 则 a + a = 2 a ∈ S , 证明：设 从而有 3a,4a, ⋅⋅⋅,∈ S , 且i ≠ j时，ia ≠ ja ⎧m ⎫ 是一个数环而不 例3、证明 S = ⎨ m ,n ∈ Z ⎬ ⎭ ⎩2 是数域。 3 5 3 5 3 证明：容易证明是数环，但 2 , 2 ∈S,但2 ÷ 2 = 5 ∉S 故不是数域。
f ( x ) = q( x ) g ( x ) + r ( x ) 相减得
(q( x) − q1 ( x))g( x) = r1 ( x) − r( x)
若 q( x) − q ( x) ≠ 0 ，则上式左端多项式的次数大于右端多项式 的次数，不可能。因此， q( x) − q ( x) = 0 ，即 q( x ) = q ( x) ，进而 有 r( x) = r ( x) 。
1 1 1 1
例题
例 1、 设f (x) = 2x +3x −7x +1，g(x) =3x −2x−1， 则 g(x) 除
3 2 2
f (x)
的 商 式 是
2 13 q( x) = x + 3 9
22 f (x) =q(x)g(x)+r(x)。 x+ ， ， 余 式 是 r( x) = − 31 即 有 9 9