第10节 导数的概念及计算

︱高中总复习︱一轮·理数
考点二 导数的几何意义及其应用(多维探究)
考查角度1:求切线方程
【例2】 (2018·湖北荆州模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0
时,f(x)=x3-2x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
.
解析:设x>0,则-x<0,由x<0时,f(x)=x3-2x2可知f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x32x2. 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x3+2x2, 所以f(1)=1+2=3. f′(x)=3x2+4x,且f′(1)=7. 答因案此:曲7x线-yy-=4=f(0x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.
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反思归纳
求曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程的方法: (1)求出y=f(x)在x=x0处的导数,即y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线斜率; (2)由点斜式求得切线方程y-f(x0)=f(x)·(x-x0).
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【跟踪训练2】 设函数y=f(x)的图象在x=0处的切线方程是x-y+1=0,则函数
解:(3)f′(x)=( cos x )′= cos x ex cos x ex =- sin x cos x .
ex
ex 2
ex
(4)由
f(x)=(1-2x2)
1 2
,
所以
f′(x)=-
1
(1-2x2)
3 2
·(-4x),f′(x)=2x(1-2x2)
3 2
.
2
f(x)=ax f(x)=ex
为 f(x)的导函数.
导函数 f′(x)=0 f′(x)= αxα-1 . f′(x)= cos x . f′(x)= -sin x . f′(x)= axln a . f′(x)= ex .
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f(x)=logax f(x)=ln x
1
f′(x)= x ln a
解析:因为 f(x)=x3+ax2,所以 f′(x)=3x2+2ax, 因为曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为 x+y=0, 所以 3 x02 +2ax0=-1,① x0+ x03 +a x02 =0,即 x0( x02 +ax0+1)=0,② 由①可得 x0≠0,因此变形②为 x02 +ax0+1=0, 结合①可解得 x0=±1,所以当 x0=1 时,f(x0)=-1,
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4.函数 f(x)= 3 tan x 在( π ,f( π ))处的切线的倾斜角α为( C )
2
44Βιβλιοθήκη (A) π 6(B) π 4
(C) π 3
(D) π 2
解析:f′(x)=( 3 × sin x )′= 3 × 1 ,得切线斜率 k=tan α=f′( π )=
2 cos x
2 cos2 x
4
3,
则α= π ,故选 C. 3
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5.曲线 y=x2+ 1 在点(1,2)处的切线方程为
.
x
解析:因为 y′=2x- 1 , x2
所以在点(1,2)处的切线的斜率为
y′|x=1=2×1-
1 12
=1,
所以切线方程为 y-2=x-1,即 x-y+1=0.
答案:x-y+1=0
(C) ln 2 2
(D)- ln 2 2
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解析:对 f(x)=ex+a·e-x 求导得 f′(x)=ex-ae-x,又 f′(x)是奇函数,故 f′
(0)=1-a=0,解得 a=1,故有 f′(x)=ex-e-x,设切点为(x0,y0),则 f′(x0)= ex0
- ex0 = 3 ,解得 ex0 =2 或 ex0 =- 1 (舍去),所以 x0=ln 2.故选 A.
2
2
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反思归纳 已知曲线在某点的切线斜率或切线方程求切点坐标,应先设出切点坐标,再 根据切点在切线上以及曲线在切点处的导数值等于切线的斜率建立方程(组) 求切点坐标.
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【跟踪训练3】 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线 方程为x+y=0,则点P的坐标为( ) (A)(0,0) (B)(1,-1) (C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)
(1)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5);(2)f(x)= 1 x + 1 x ; 1 x 1 x
解:(1)因为f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5)=2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5. 所以f′(x)=10x4+32x3-15x2+4x+8.
2
2
(2)因为 f(x)= 1 x + 1 x = 1 x
(3)y=ln 1 2x ;(4)y=1+cos2x.
解:(3)因为 y=ln 1 2x ,所以 y= 1 ln(1+2x), 2
所以 y′= 1 · 1 ·(1+2x)′= 1 .
2 1 2x
1 2x
(4)因为 y=1+cos2x=1+ 1 cos 2x = 3 + 1 cos 2x,
y=f(x)+ex的图象在x=0处的切线方程是
.
解析:因为函数y=f(x)图象在x=0处的切线方程是x-y+1=0,
所以f′(0)=1,f(0)=1,
从而可知函数y=f(x)+ex的图象在x=0处的切线斜率等于f′(0)+e0=2,
又函数y=f(x)+ex在x=0处的函数值为f(0)+e0=2.
故函数y=f(x)+ex的图象在x=0处的切线方程是y-2=2(x-0),
1 x +
= 2 2x = 4 -2,
1 x 1 x 1 x
1 x 1 x 1 x
所以 f′(x)=( 4 -2)′= 41 x = 4 .
1 x
1 x2 1 x2
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(3)f(x)= cos x ;(4)f(x)= 1 .
ex
1 2x2
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(2)y= 1 + 1 ; 1 x 1 x
解:(2)y= 1 + 1 1 x 1 x
= 1 x 1 x 1 x 1 x
=2. 1 x
所以 y′=( 2 )′=(- 2 )′= 2 .
1 x
x 1
x 12
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即2x-y+2=0. 答案:2x-y+2=0
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考查角度 2:求切点坐标 【例 3】 (2018·河北石家庄模拟)设 a∈R,函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数
是 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是 3 ,则 2
切点的横坐标为( ) (A)ln 2 (B)-ln 2
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对点自测
1.给出下列结论:
①若 y=log2x,则 y′= 1 ;②若 y=x ln 2
1 x
,则 y′= 1 2x x
;③若 f(x)= 1 x2
,则 f′(3)
=- 2 ;④若 y=ax(a>0 且 a≠1),则 y′=axln a.其中正确的个数是( 27
(A)1
(B)2
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2.设 f(x)在 x=x0 处可导,且 lim f x0 x f x0 =1,则 f′(x0)等于( A )
x 0
x
(A)1 (B)0
(C)3
(D) 1 3
解析: lim f x0 x f x0 =1,即 f′(x0)=1.故选 A.
(C)3
(D)4
D)
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解析:①正确;若 y=-
1 x
=-
1
x2
,则
y′=
1

x
3 2
2
=
1 2x
x
,所以②正确;若 f(x)=
1 x2
,则
f′(x)=-2x-3,所以 f′(3)=- 2 ,所以③正确;若 y=ax(a>0 且 a≠1),则 y′=axln a, 27
所以④正确.因此正确的结论个数是 4,故选 D.
(3)物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在 [x1,x2]上的 平均 速度.
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2.导数的概念
(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
①定义
称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim y =
lim f x0 x f x0
(2)复合函数的导数
(g(x)≠0).
复合函数y=f(ax+b)的求导法则为[f(ax+b)]′=af′(ax+b).
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【重要结论】
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期 函数. 2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了 变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处 的切线越“陡”.