2015届高考数学总复习 第二章 第六节对数与对数函数课时精练 理
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第六节 对数与对数函数
1.(2013·浙江卷)已知x ,y 为正实数,则( )
A .2lg x +lg y =2lg x +2lg y
B .2lg (x +y )=2lg x ·2lg y
C .2lg x ·lg y =2lg x +2lg y
D .2lg (xy )=2lg x ·2
lg y
解析: 由指数和对数的运算法则,易知选项D 正确.
答案:D
2.函数f (x )=2|log 2x |的图象大致是( )
解析:∵f (x )=2|log 2x |=⎩⎪⎨⎪⎧
x ,x ≥1,1x
,0 答案:C 3.给定函数:①y =x 12;②y =log 12 (x +1);③y =|x -1|;④y =2x +1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数是( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 答案:B 4. 已知a ,b ∈R ,则“lo g 2a >log 2b ”是 “⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12b ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:由a >b >0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ,但由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12b ⇒a >b ⇒ / log 2a >log 2b .故选A. 答案:A 5.(2012·重庆卷)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a =b <c B .a =b >c C .a <b <c D .a >b >c 解析:a =log 23+log 23=log 233,b =log 29-log 23=log 233,因此a =b , 而log 233>log 22=1,log 32<log 33=1,所以a =b >c ,故选B. 答案:B 6.已知f (x )=|log 2x |,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38+f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫32=________. 解析:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪log 238+⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 232=3-log 23+log 23-1=2. 答案:2 7.(2013·揭阳二模)若点(a ,-1)在函数y =log 13x 的图象上,则tan 4πa 的值为________. 解析:将x =a ,y =-1代入函数解析式得:-1=log 13 a ,解得:a =3, 则tan 4πa =tan 4π3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π 3=tan π3= 3. 答案: 3 8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +1,x ≤0,log 2x ,x >0,则使函数f (x )的图象位于直线y =1上方的x 的 取值范围是________. 解析:当x ≤0时, 3x +1>1⇒x +1>0,∴-1<x ≤0; 当x >0时,log 2x > 1⇒x >2,∴x >2. 综上所述,x 的取值范围为-1<x ≤0或x >2. 答案:{x |-1<x ≤0或x >2} 9.函数y =lg(3-4x +x 2)的定义域为M ,当x ∈M 时,求f (x )=2x +2-3×4x 的最值. 解析:由3-4x +x 2>0,得x >3或x <1, ∴M ={x |x >3或x <1}. f (x )=-3×(2x )2+2x +2=-3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -162+2512. ∵x >3或x <1,∴2x >8或0<2x <2. ∴当2x =16,即x =log 216时,f (x )最大,最大值为2512 , f x 没有最小值. 10.(2013·北京东城区检测)已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域; (2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)若a >1时,求使f (x )>0的x 的解集. 解析: (1)f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ), 则⎩ ⎪⎨⎪⎧ x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |-1<x <1}. (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |-1<x <1}. 且f (-x )=log a (- x +1)-log a (1+x )=-[log a (x +1)-log a (1-x )]=-f (x ), 故f (x )为奇函数. (3)因为当a >1时,f (x )在定义域{x |-1<x <1}内是增函数, 所以f (x )>0⇔x +11-x >1.解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}.