电路的过渡过程简介
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➢电路的激励：作用于电路中的电源或信号源 ➢电路的响应：电路在电源，信号源或储能元件作用
下所产生的电压、电流或引起电流电压的变化 ➢动态元件：储能元件L、C ➢动态电路：含有储能元件的电路 ➢一阶电路：储能元件电压u与i之间是微分关系→用
微分方程分析含有一个储能元件的电路→用一 阶线性微分方程求解
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
2.3.2 RL电路的零输入响应
我们以图(a)电路为例来说明RL电路零输入响
应的计算过程。
K1
iR
iR
I0
2
iL
iL
L
R
L uL
R
(a)
(b)
RL电路的零输入响应
电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的 磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的
电路如图(b)所示。
在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即
电路中的电流i：
i
c duc
c
d
(Uoe
t RC
)
U
0
t
e R
A
dt
dt
R
讨论
• τ=RC具有时间量纲 基本单位是秒，大小取决于电
路结构和元件参数与激励无关
•τ值大小反应放电大速度快慢
τ大→放电速度慢 τ小→放电大速度快
•理论上t→∞动态过程（放电过程）才结束
但实际上时间经过3~5τ的时间，放电过程就结束
一、初始条件
求解微分方程要用初始条件来确定常数 换路前的瞬间记为t=0-（可从数学上理解）
换路后的瞬间记为t=0+（左趋近，右趋近）
换路前电容电压为uC（0-）换路后瞬间电压为uC（0+）
UC
0
UC
0
1 C
0
ic(t)dt
0
即UC 0 UC 0
➢同理：
iL 0 iL 0
1 0 L 0
i dq d(cq) C du
dt dt
dt
dwC
Pdt
uidt
cu
du dt
dt
cudu
➢电容元件储存能量：
wc
u 0
cudu
1 2
cu 2
当C充电：u从0→u时：C获得的能量： 这些能量储存于C中，只与u有关与建立过程无关
二、电感元件：
➢L线性电感：伏安关系：
i
L
u L di dt
图2-12 例2-4图
时间常数为
L 9 1.5s R0 6
电感电流的零输入响应为
t
iL (t ) iL (0 )e
24V
uL(t)dt
0
即iL 0 iL 0
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
二、 什么是电路的过渡过程？ 稳定状态(稳态)
S Ri
过渡状态(动态)
US
+
C uC
S未动作前
–
i = 0, uC = 0
S Ri
+
S接通电源后进入另一稳态
US
C uC
–
i = 0, uC= US
三、换路定律： uC（0+）=uC（0-） 换路前后 ：电容电压不跃变
根据基尔霍夫定律:
duc
uC iR uC C dt 0
根据一阶线性齐次微分方程的解的形式：
令UC=Aept代入微分方程①中得：
ARCPePt AePt 0
特征方程为：
RCP 1 0 P 1 RC
其解为
从已知初始条件UC（0+）=UO代入上式得：A=UO
t
uC Ae RC
微分方程的解为：uC= UO (V)
W[t0,t]
t t0
p(t)dt
i(t)
Lidi
i(t0 )
1 2
L[i2 (t)
i2 (t0 )]
积分形式
i(t) 1 L
t
u (t
)dt
1 L
t0 u(t)dt 1
L
t
u(t)dt
t0
i(t0
)
1 L
t
u(t)dt
t0
第二节 动态电路的过渡过程和初始条件
换路：电路的接通和断开，电源或电路元件参数的突然变化
(b)
换路后，由KVL得
RiR uL
代入电感VCR方程
uL
L
diL dt
得到以下微分方程
L R
diL dt
iL
0
iL L uL
iR R uR
(b)
(2 24)
这个微分方程与式(2－16)相似，其通解为
Rt
iL( t ) Ae L
(t 0)
代入初始条件iL(0+)=I0求得 最后得到电感电流A和电I0感电压的表达式为
其波形如图所示。RHale Waihona Puke Baidu电路零输入响应也是按
指数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数 。 且时间常数 =L/R．
RL电路零输入响应的波形
[例2-4] 电路如图2－12所示，换路前K合于①，
电路处于稳态。 t=0 时Ｋ由① 合向②，求换路后的 iL (t )和uL (t )
① K 2Ω
24V 4Ω
②
i1 3Ω
iL(0+)= iL(0-)
电感电流不跃变
第三节 一阶电路的零输入响应
• 一阶电路:电路中只有一个储能元件L(或C) • 零输入响应:换路后,无外加输入激励作用.只由储 能元
件的储能使电路产生响应
一、RC电路的零输入响 应➢如图充放电RC电路:
➢分析: 过渡过程. 换路前C已充电uC（0-）=UO 换路后: UC（0+）=uC（0-）=UO
- Rt
iL( t ) I0e L
uL ( t )
L diL dt
- Rt
RI0e L
令 L ，则上式改写为
R
- Rt
-t
iL( t ) I0e L I0e
uL ( t
)
L diL dt
- Rt
RI0e L
-t
RI0e
(t 0) (t 0)
(t 0) (2 26) (t 0) (2 27)
第2章 电路的过渡过程
2.1 电容元件与电感元件 2.2 动态电路的过渡过程和初始条件 2.3 一阶电路的零输入响应 2.4 一阶电路的零状态响应 2.5 一阶电路的全响应
第一节 电容元件与电感元件
•一、电容：
•线性电容元件：C（为常数）与 U •无关的电容元件。 ➢伏安关系U直流→则i=0→相当于开路
4Ω
iL 6Ω
uL 9H
图2-12 例2-4图
解: 换路前电路已稳定
iL (0
)
4
24 2
2
3
6
6
2A
由换路定律可得
① K 2Ω
iL(0 ) iL(0 ) 2A
24V
换路后电路为零输
②
i1 3Ω
4Ω
iL 6Ω
入响应．从Ｌ两端视入的 4Ω
uL 9H
等效电阻为
( 2 4 )6 R0 3 ( 2 4 ) 6 6
iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻R时引起 能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直
到电流变为零为止。
综上所述，图(b)所示RL 电路是电感中的初始储能逐 渐释放出来消耗在电阻中的 过程。与能量变化过程相应 的是各电压电流从初始值， 逐渐减小到零的过程。
iL L uL
iR R uR
下所产生的电压、电流或引起电流电压的变化 ➢动态元件：储能元件L、C ➢动态电路：含有储能元件的电路 ➢一阶电路：储能元件电压u与i之间是微分关系→用
微分方程分析含有一个储能元件的电路→用一 阶线性微分方程求解
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
2.3.2 RL电路的零输入响应
我们以图(a)电路为例来说明RL电路零输入响
应的计算过程。
K1
iR
iR
I0
2
iL
iL
L
R
L uL
R
(a)
(b)
RL电路的零输入响应
电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的 磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的
电路如图(b)所示。
在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即
电路中的电流i：
i
c duc
c
d
(Uoe
t RC
)
U
0
t
e R
A
dt
dt
R
讨论
• τ=RC具有时间量纲 基本单位是秒，大小取决于电
路结构和元件参数与激励无关
•τ值大小反应放电大速度快慢
τ大→放电速度慢 τ小→放电大速度快
•理论上t→∞动态过程（放电过程）才结束
但实际上时间经过3~5τ的时间，放电过程就结束
一、初始条件
求解微分方程要用初始条件来确定常数 换路前的瞬间记为t=0-（可从数学上理解）
换路后的瞬间记为t=0+（左趋近，右趋近）
换路前电容电压为uC（0-）换路后瞬间电压为uC（0+）
UC
0
UC
0
1 C
0
ic(t)dt
0
即UC 0 UC 0
➢同理：
iL 0 iL 0
1 0 L 0
i dq d(cq) C du
dt dt
dt
dwC
Pdt
uidt
cu
du dt
dt
cudu
➢电容元件储存能量：
wc
u 0
cudu
1 2
cu 2
当C充电：u从0→u时：C获得的能量： 这些能量储存于C中，只与u有关与建立过程无关
二、电感元件：
➢L线性电感：伏安关系：
i
L
u L di dt
图2-12 例2-4图
时间常数为
L 9 1.5s R0 6
电感电流的零输入响应为
t
iL (t ) iL (0 )e
24V
uL(t)dt
0
即iL 0 iL 0
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
二、 什么是电路的过渡过程？ 稳定状态(稳态)
S Ri
过渡状态(动态)
US
+
C uC
S未动作前
–
i = 0, uC = 0
S Ri
+
S接通电源后进入另一稳态
US
C uC
–
i = 0, uC= US
三、换路定律： uC（0+）=uC（0-） 换路前后 ：电容电压不跃变
根据基尔霍夫定律:
duc
uC iR uC C dt 0
根据一阶线性齐次微分方程的解的形式：
令UC=Aept代入微分方程①中得：
ARCPePt AePt 0
特征方程为：
RCP 1 0 P 1 RC
其解为
从已知初始条件UC（0+）=UO代入上式得：A=UO
t
uC Ae RC
微分方程的解为：uC= UO (V)
W[t0,t]
t t0
p(t)dt
i(t)
Lidi
i(t0 )
1 2
L[i2 (t)
i2 (t0 )]
积分形式
i(t) 1 L
t
u (t
)dt
1 L
t0 u(t)dt 1
L
t
u(t)dt
t0
i(t0
)
1 L
t
u(t)dt
t0
第二节 动态电路的过渡过程和初始条件
换路：电路的接通和断开，电源或电路元件参数的突然变化
(b)
换路后，由KVL得
RiR uL
代入电感VCR方程
uL
L
diL dt
得到以下微分方程
L R
diL dt
iL
0
iL L uL
iR R uR
(b)
(2 24)
这个微分方程与式(2－16)相似，其通解为
Rt
iL( t ) Ae L
(t 0)
代入初始条件iL(0+)=I0求得 最后得到电感电流A和电I0感电压的表达式为
其波形如图所示。RHale Waihona Puke Baidu电路零输入响应也是按
指数规律衰减，衰减的快慢取决于时间常数 。 且时间常数 =L/R．
RL电路零输入响应的波形
[例2-4] 电路如图2－12所示，换路前K合于①，
电路处于稳态。 t=0 时Ｋ由① 合向②，求换路后的 iL (t )和uL (t )
① K 2Ω
24V 4Ω
②
i1 3Ω
iL(0+)= iL(0-)
电感电流不跃变
第三节 一阶电路的零输入响应
• 一阶电路:电路中只有一个储能元件L(或C) • 零输入响应:换路后,无外加输入激励作用.只由储 能元
件的储能使电路产生响应
一、RC电路的零输入响 应➢如图充放电RC电路:
➢分析: 过渡过程. 换路前C已充电uC（0-）=UO 换路后: UC（0+）=uC（0-）=UO
- Rt
iL( t ) I0e L
uL ( t )
L diL dt
- Rt
RI0e L
令 L ，则上式改写为
R
- Rt
-t
iL( t ) I0e L I0e
uL ( t
)
L diL dt
- Rt
RI0e L
-t
RI0e
(t 0) (t 0)
(t 0) (2 26) (t 0) (2 27)
第2章 电路的过渡过程
2.1 电容元件与电感元件 2.2 动态电路的过渡过程和初始条件 2.3 一阶电路的零输入响应 2.4 一阶电路的零状态响应 2.5 一阶电路的全响应
第一节 电容元件与电感元件
•一、电容：
•线性电容元件：C（为常数）与 U •无关的电容元件。 ➢伏安关系U直流→则i=0→相当于开路
4Ω
iL 6Ω
uL 9H
图2-12 例2-4图
解: 换路前电路已稳定
iL (0
)
4
24 2
2
3
6
6
2A
由换路定律可得
① K 2Ω
iL(0 ) iL(0 ) 2A
24V
换路后电路为零输
②
i1 3Ω
4Ω
iL 6Ω
入响应．从Ｌ两端视入的 4Ω
uL 9H
等效电阻为
( 2 4 )6 R0 3 ( 2 4 ) 6 6
iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻R时引起 能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直
到电流变为零为止。
综上所述，图(b)所示RL 电路是电感中的初始储能逐 渐释放出来消耗在电阻中的 过程。与能量变化过程相应 的是各电压电流从初始值， 逐渐减小到零的过程。
iL L uL
iR R uR