圆锥曲线的中点弦公式

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圆锥曲线中点弦公式

抛物线中点弦公式

抛物线C: x A2=2py上，过给定点P=（a , B ）的中点弦所在直线方程为：py- a x=p B - a A2。

中点弦存在的条件：2p B>a A2 （点P在抛物线开口内）。

椭圆中点弦公式

椭圆C: xA2/aA2+yA2/bA2=1 上，过给定点P=（a , B ）的中点弦所在直

线方程为：

a x/aA2+ B y/bA2= a 八2加2+ B 八鸟恥。

中点弦存在的条件：a A2/aA2+ B A2/bA2<1 （点P在椭圆内）。

双曲线中点弦公式

双曲线C: xA2/aA2-yA2/bA2=1 上，过给定点P=（a , B ）的中点弦所在

直线方程为：

a x/aA2- B y/bA2= a A2/aA2- B 八2巾八2。

中点弦存在的条件：（a A2/aA2- B A2/bA2）（a八2怡八2- B八2巾八2-1）>0 （点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。

二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理

蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性•不少中数专著或杂志至今还频繁讨论•本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式.

引理：设两条不同的二次曲线

S：F（x，y）=a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33=0

有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点

的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：

（证明略）

定理1设三条不同的二次曲线（S、S1、S2）有A、B、C、D四个公共点，

其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦.若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合.

证设S、S1的方程为（1）、（2），则S2方程可表为（3）.因直线L0（设斜率为k）关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：

L：（a11x + a12y + a13）+ k（a12x + a22y + a23）=f（x ，y）=0

因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点0,显然L2也必通过点O,故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点.

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注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于0.故本定理包括了蝴蝶定理众多情形.

定理2设AB// CD, S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线. 若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等.

证设AB CD的中点分别为M N,又AB// CD,故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ EF 有共同中点0,故有PE=QF命题得证.

注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF故夹在S和

S1之间的两曲边区域△ 1和厶2面积相等.[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭.如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如.

定理1还可推广得到更一般的结论.

定理3若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，

沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ EF、GH则三

弦中点O 01、02之间有向线段之比为常数.

证不妨取坐标系使确定方向为x轴.于是该方向(k=0)关于S S1、S2

的共轭直径分别为(参见定理1):

L：a11x + a12y + a13=0

L1: b11x+b12y+b13=0

L2: (a11x + a12y + a13) + 入(b11x + b12y + b13)=0

设直线L0 方程为y=y0，PQ EF、GH的中点为O(x0 , y0)，O1(x1，y0)，

O2(x2 , y0)，于是由直径方程知：

a11x0 + a12y0 + a13=0, b11x1 + b12y0 + b13=0

(a11x2 + a12y0 + a13) + 入(b11x2 + b12y0 + b13)=0

故a11(x2 —x0)=入b11(x2 —x1) (4)

即OO2/O2O仁a (a11 工0 时)(5)

其中a二一入b11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定.当a1仁0时，L// L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列).

(5)式意即：在指定顺序O O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平

行移动而变化.

推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点

总在第三点同侧或异侧. 当O O1、O2中有两点重合时，第三点也重合.“蝴

蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质.