二项分布与超几何分布问题区别举例

关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例

一．基本概念

1.超几何分布

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，

则事件X=k 发生的概率为：P(X=k)= n

N

k n M

N k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,,m ；其中，m = minM,n,且n N , M N . n,M,N N 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n M

N

2.二项分布

在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P,那么在n 次独立重复试中，事件A 恰好发生k 次的概率为：

P(X=k)= C n k

p k

(1-p)n-k

(k=0,1,2,3,,n),此时称随机变量X 服从二项分布.

记作：X B(n,p),EX= np

3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别

(1)“二项分布”所满足的条件

每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数.

(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;

(3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.即：把一个分布看成是“二项分布”或“超几何分布”时，它们的期望是相同的.

分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.

共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。

不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；

2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但

需要知道“成功率”；

联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．

二．典型例题

例1：袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：

（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；

（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．

解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次

取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1

~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．

3

03

1464(0)55125

P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；

12

13

1448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

2

1

23

1412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；

3

33

141(3)55125

P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．

因此，X 的分布列为

（2）．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：

03

283107

(0)15

C C P Y C ===

；12283107(1)15C C P Y C ===；21

283101

(2)15

C C P

Y C ===．

因此，Y 的分布列为

例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：

(1) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

(2) 记：X 表示“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的数量”，求X 的分布列并求EX;

分析：由题可知：从10件产品中分别任取两次得到“一等品”或“二等品”的概率是不相等的，因此是一种不放回抽样;随机变量 X 服从超几何分布.

解：(1) 记A 1：取出3件一等品；A 2：取出2件一等品；A 3：取出1件一等品，二件三等品.A 1、A 2、A 3互斥，P(A 1)= C 33C 103 = 1120 , P(A 2)= C 32C 71C 103 = 7

40 ,

P(A 3)= C 31C 72C 103 = 340 ; 所以，P = P(A 1)+ P(A 2)+ P(A 3)= 31

120 .

(2)X=0，1，2，3; X 服从超几何分布，

所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品)=310

13

1413C C C C = 310 ;

P(X=1)=P （二件一等品，一件二等品） = 31014

23C C C = 110 ;

P(X=2)=P(三件一等品，一件二等品)= 310

14

33C C C = 130 ;

P(X=3)= P （三件一等品，零件二等品）= 3

10

433C C C = 1120

;

EX =

nM N = 33

10

=

说明：谨防错误地认为随机变量X 服从二项分布，即：XB(3, 31120

).

例3.从某高中学校随机抽取16名学生，经校医检查得到每位学生的视力，其中“好视力”4人,以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望.

分析：本题就是从“该校（人数很多）任选3人”，由此得到“好视力”人数X ，若每次从该校任取一名学生为“好视力”这一事件的概率显然是相等的，因为该校“人数很多”相当于“有放回抽样”，因此，随机变量X 服从“二项分布”而不是“超几何分布”.

解：由题可知：X= 0,1,2,3；由样本估计总体，每次任取一人为“好视力”的概率为： P = 416 = 14 ，则XB(3,14 );P(X=0)= C 30

( 14 )0(1- 14 )3-0 = 2764 ;

P(X=1)= C 31( 14 )1(1- 14 )3-1 = 2764 ;P(X=2)= C 32( 14 )2(1- 14 )3-2 = 9

64 ;

P(X=3)= C 33

( 14 )3(1- 14 )3-3 = 164 ;EX = 3×14 = 3

4

.

说明：假设问题变为：“从16名学生中任取3名，记X 表示抽到“好视力”学生